Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Transkrypt

1 Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy 8 6 Całki nieoznaczone 0 7 Całki oznaczone 8 Zadania trudniejsze 3 9 Powtórzenie 6 0 Pierwsze kolokwium Zestaw A Zestaw B Zestaw C Zestaw D Zestaw E Zestaw F Zestaw G Zestaw H Drugie kolokwium 7 Zestaw A Zestaw B Zestaw C

2 Zestaw D Egzamin 30 Zestaw A Zestaw B Zestaw C Zestaw D Zestaw E Zestaw F Zestaw G Zestaw H Zestaw I Zestaw J Zestaw K Zestaw L Elementy logiki, zbiory, funkcje.. Określ jako zdanie, funkcję (inaczej: formę, formułę) zdaniową na podanym zbiorze X lub jako żadne z powyższych dwóch wyrażenie: (a) tydzień ma siedem dni, (b) tydzień ma osiem dni, (c) 3 < 0, (d) >, X = (0, ), x (e) >, X = R. x Zdania określ jako prawdziwe lub fałszywe oraz podaj ich wartości logiczne... Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań (tautologią) wyrażenie (a) (p q) (p q), (b) [p (q r)] [(p q) (p r)], (c) [(p q) r] [(p r) q]. Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki..3. Niech oznacza spójnik Pierce a, tzn. p q = ( p q). Za pomocą spójnika Pierce a (jedyny, obok kreski Shefera, spójnik dwuargumentowy o tej własności) wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację..4. Zbadaj prawdziwość zdania:

3 (a) x R y R [ (xy 0) ( x < 0 )], [ (y = ) ( x < 0 )]. (b) x R y R.5. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: (a) [(A B) \ C] [(A C) \ B] oraz A (B C), (b) (A \ B) (A \ C) oraz A B C. Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna... (a) Zdanie prawdziwe o wartości logicznej, (b) zdanie fałszywe o wartości logicznej 0, (c) zdanie prawdziwe o wartości logicznej, (d) funkcja zdaniowa, (e) ani zdanie, ani funkcja zdaniowa... (a) nie, (b) tak, (c) tak, (d) tak..3. Np. p = p p, p q = (p p) (q q), p q = (p q) (p q)..4. (a) zdanie prawdziwe, (b) zdanie fałszywe..5. L lewa strona, P prawa strona, (a) L P, (b) L P =. Funkcje trygonometryczne.. Niech x oznacza miarę łukową kąta. Naszkicuj na płaszczyźnie okrąg o środku w (0, 0) i promieniu, a następnie kąt x. (a) Wyjaśnij znaczenie liczby x. (b) Zaznacz na osiach współrzędnych sin x, cos x, tg x, ctg x (o ile dwie ostatnie wartości istnieją). 3

4 ( (c) Załóżmy, że x 0, π ). Udowodnij, że sin x < x < tg x... Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres funkcji (a) f(x) = ctg x sin x, (b) f(x) = ctg x + tg ( ) x π, ( ) 5 (c) f(x) = cos π + arc sin x, (d) f(x) = tg arc cos x... (a) Jest to długość łuku okręgu, odpowiadającego kątowi. (b) Dla zaznaczenia sin x, cos x wykorzystaj trójkąt prostokątny o jednostkowej (długości ) przeciwprostokątnej. Dla zaznaczenia tg x, ctg x wykorzystaj trójkąty prostokątne o jednostkowych przyprostokątnych. (c) Porównaj pola wycinka koła i odpowiednich trójkątów... (a) Dziedzina { D f = R \ {kπ : k Z}, cos x dla x (kπ, (k + )π), f(x) = cos x dla x ((k + )π, (k + )π), zbiór wartości W f = (, ), { ctg x dla x (kπ, π (b) D f = R \ {kπ : k Z}, f(x) = + kπ), 0 dla x [ π + kπ, kπ), W f = [0, ), (c) D f = [, ], f(x) = x, W f = [, ], (d) D f = [, 0) (0, ], f(x) = 3 Ciągi W f = R. 3.. Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach x dla x [, 0), x dla x (0, ], (a) a n = 7 + arc tg arc tg n + arc tg n, n (b) f n = k!, k=0 gdzie n N. 3.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach 4

5 (a) a n = n 3 n 5 n + 7 n, (b) a n = n + n + + n + n n + n n + n Rozważmy niektóre symbole nieoznaczone dla granic ciągów: (a), (b) 0, (c) 0 0, (d). Dla dowolnego λ [, ] podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu (w przypadku granic niewłaściwych) do λ. Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłaściwej Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n ( ) n+3 n (a) a n =, n ( n ) n 3 + n + (b) a n = n. + n Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. 3.. (a) 7, (b). ( 3.3. Np. lim ((n + λ) n) = λ R, lim n n ) =, n ( ) n n n =, lim ((n + n ( )n ) n) nie istnieje. lim n 3.4. (a) e, (b) e. 4 Granice funkcji, ciągłość 4.. Wyznacz granicę funkcji lim x x 0 f(x), jeśli (a) f(x) = sin x x π, x 0 = π, 5

6 (b) f(x) = ( 3 sin x) x π, x 0 = π, (c) f(x) = (d) f(x) = x 3 (e) f(x) = ( + sin x ) x, x0 = 0, ( x3 + x 3 ), x 0 =, tg(7x) 6 + 4x 4, x 0 = 0. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. 4.. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji (x + )3 (a) f(x) = x + 6x + 8, (b) f(x) = 4x + arc sin 5 x, (c) f(x) = 3x + ln x x +, x 4 (d) f(x) = x + arc tg x, x (e) f(x) = cos x x ( ). x + π 4.3. Wyznacz asymptoty pionowe wykresu funkcji f(x) = x + π cos x Naszkicuj wykres funkcji f : R R, spełniającej warunki: lim f(x) = lim f(x) =, lim f(x) =, lim f(x) =, x x x x + f( ) = f(). Czy może być ona ciągła w całej swojej dziedzinie? 4.5. Wyznacz zbiór punktów ciągłości funkcji f(x) = x sin πx, gdzie symbol m oznacza część całkowitą, a m jest liczbą całkowitą, różną od Dla jakich wartości parametru a R w podpunkcie (a) i parametrów a, b R w pozostałych podpunktach, funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli { a (a) f(x) = x (x ) dla x 0, ln dla x = 0, ln( 4x) x dla x < 0, (b) f(x) = a + dla x = 0, tg(bx) x dla x S + (0), gdzie S + (0) oznacza pewne sąsiedztwo prawostronne punktu x 0 = 0, (c) f(x) = sin(bx) x dla x < 0, dla x = 0, (a + ) ln(x + e) dla x > 0. 6

7 4.7. Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja sin(x) x dla x < 0, f(x) = ax + b dla 0 x 5, cos ( ) jest ciągła na R? πx 3 dla 5 < x 4.8. Wyznacz granicę ciągu lim n (ln(n + ) ln n). n 4.9. Udowodnij, że równanie arctgx + x 3 = ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale (0, ) Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x 5 + x 3 + x = (a) π, (b) e 3, (c) e, (d), (e) (a) x = 4 asymptota pionowa obustronna, y = x asymptota ukośna w i w, (b) y = 4x asymptota ukośna w i w, (c) x = asymptota pionowa lewostronna, x = asymptota pionowa prawostronna, y = 3x asymptota ukośna w i w, (d) y = x + π asymptota ukośna w, y = x π asymptota ukośna w, (e) x = 0 asymptota pionowa obustronna, y = 0 asymptota ukośna (pozioma) w i w x = π + kπ, k Z \ {0} Nie może być ciągła w punkcje x 0 = Funkcja f(x) jest ciągła na zbiorze (R \ Z) {km : k Z} (a) a =, (b) a =, b = 0, (c) a = 0, b = a = 3 0, b = Wykorzystaj własność Darboux na przedziale [0, ]. Dla uzasadnienia jednoznaczności zauważ monotoniczność występującej funkcji Jedno rozwiązanie, x

8 5 Rachunek różniczkowy 5.. Oblicz pochodną f (x 0 ), jeśli (a) f(x) = x sin( π x), x 0 =, (b) f(x) = sin x x + π, x 0 = π. 5.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie o odciętej x 0, jeśli (a) f(x) = 5 + (x + 0, 5)ln(x + 0, 5), x 0 = 0, 5, (b) f(x) = (x + e) ln(x+), x 0 = Za pomocą różniczki zupełnej wyznacz przybliżoną wartość funkcji f(x) = (e + x) sin x w punkcie x = 0, Napisz równanie takiej stycznej do wykresu funkcji f(x) = 3 x3 x + 3, która jest prostopadła do prostej y = x Wyznacz kąt, pod którym przecinają się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych wykresy funkcji f(x) = x i g(x) = x + x Wykaż, że funkcja f(x) ma dokładnie jedno mejsce zerowe w przedziale I, jeśli ( (a) f(x) = tg x 3x +, I = 0, π ), 4 (b) f(x) = x arc tg x, I = (, ) Udowodnij, że dla x > zachodzi nierówność ln x < x Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji (a) f(x) = ( x + x + ) e x, (b) f(x) = xe x Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji (a) f(x) = x 64 x, (b) f(x) = x sin x cos x Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) na przedziale I, jeśli 8

9 [ ] 3 (a) f(x) = x 3 9x + x 4, I = 4,3. [ (b) f(x) = x 3 3x, I = 3, 3 ]. 5.. Za pomocą wzoru Taylora oblicz sin 0, z dokładnością do Wyznacz wzór wielomianu, według którego [ można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji cos x w przedziale π 4, π ] z dokładnością do Wyznacz granicę lim x x 0 f(x), jeśli (a) f(x) = ln(x) tg x, x 0 = 0 +, (b) f(x) = 5.. (a), (b). 5.. (a) y = x + 9, (b) y = x f(0, ), y = x π 4. ln( + x) x x, x 0 = Do uzasadnienia istnienia miejsca zerowego można wykorzystać własność Darboux na przedziale I (domknięcie przedziału I, czyli w tym przypadku przedział wraz z końcami) w podpunktach (a) i (b), a w podpunkcie (c) na przedziale [δ, ], gdzie liczba dodatnia δ jest wystarczająco mała. Jedyność miejsca zerowego można uzasadnić za pomocą ścisłej monotoniczności każdej z funkcji, wykazanej za pomocą pochodnej Obie strony nierówności są funkcjami są ciągłymi na [, ). Porównaj pochodne tych funkcji na przedziale (, ) i wartości w punkcie lub równoważnie, rozważ różnicę tych funkcji, jej pochodną na (, ) i wartość w (a) Funkcja f(x) maleje na przedziałach (, 0], [, ), rośnie na przedziale [0, ] i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: minimum lokalne właściwe (w punkcie x 0 = 0), 3 e maksimum lokalne właściwe (w punkcie x 0 = ), 9

10 (b) f(x) maleje na przedziałach [, 0), (0, ], rośnie na przedziałach (, ], [, ) i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: e minimum lokalne właściwe (w punkcie x 0 = ), e maksimum lokalne właściwe (w punkcie x 0 = ) (a) Funkcja f(x) jest ściśle wypukła na przedziałach (, 0), [4, ), ściśle wklęsła na przedziale (0, 4], a punktem przegięcia wykresu funkcji jest (4, 0), (b) f(x) jest ściśle wypukła na przedziale [ π, π], przedziałach postaci [kπ, (k + )π] i przedziałach postaci [ (k + )π, kπ], gdzie k N + = {,, 3,...}, f(x) jest ściśle wklęsła na przedziałach postaci [(k )π, kπ] i przedziałach postaci [ kπ, (k )π, ], gdzie k N +, punkty przegięcia wykresu funkcji są postaci (kπ, ) dla k Z \ {0} oraz ((k + )π, ) dla k Z (a) Największą wartością jest 5, a najmniejszą 0, (b) największą wartością jest, a najmniejszą sin 0, 0, 0,3 3! + 0,5 5!. 5.. cos x x! + x4 4! x6 6! + x8 8! x0 0! (a) 0, (b). 6 Całki nieoznaczone 6.. Oblicz f(x) dx, jeśli (a) f(x) = x cos x, (b) f(x) = x x x + x. (c) f(x) = x cos(4x). 6.. Oblicz całkę f(x) dx z funkcji wymiernej (a) f(x) = 4x + 8x + 5, (b) f(x) = x + 3x + x 3 + x + x Oblicz całkę f(x) dx z funkcji trygonometrycznej (a) f(x) = 3 sin x sin (x), 0

11 (b) f(x) = 7tg x sin x, (c) f(x) = ctg x cos x. 6.. (a) x tg x + ln cos x + C, (b) ln ln (x + x ) + C. 6.. (a) arc tg(x + ) + C, (b) ln x + arc tg(x + ) + C, (c) ln x x + ln ( x + x + ) arc tg(x + ) + C (a) ln 3 + C, 3sin (b) ln 7 7tg x + C, (c) ln ctg x + C. 7 Całki oznaczone 7.. Niech symbol oznacza część całkowitą. Naszkicuj wykres funkcji f i z jego pomocą oblicz całkę b (a) f(x) = x, a = 0, b = 9, (b) f(x) = x, a =, b =, (c) f(x) = x, a =, b =. a f(x) dx, jeśli: 7.. Za pomocą całki oznaczonej oblicz lim n n ( tg π ) π 3π (n )π + tg + tg tg. 4n 4n 4n 4n Uwaga: nie ma pomyłki w zapisie ostatniego składnika. { x dla x 0, 7.3. Wyznacz funkcje H pierwotne na R do funkcji h(x) = cos x dla 0 < x Udowodnij, że πe 7.5. Oblicz 0 0 4x x x + 3 dx. ( ( π ) ) e x π cos 3 x + 4 arc tg x dx 3πe.

12 7.6. Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi: ( ) x (a) y = oraz y = ln x, e (b) oś OX, y = x ln x, x = e, (c) y = ln(x), y = 0, x =, (d) y = x, y = ln x, y = 0, (e) y = cos x, y = x π 4, (f) y = x sin x dla x [ 0, π 3 ], oś OX, x = π Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji (a) f(x) = tg x dla x [ π 4, ] π 3, (b) f(x) = ctg ( [ ] π x) dla x,, (c) f(x) = 3 [ x cos(x) dla x 0, π ] Wyznacz długość wykresu funkcji: [ (a) f(x) = (x ) 3, ograniczonej do przedziału, 7 ], 3 (b) f(x) = 7.. (a) 3, (b) 5 ln ln 3, 7.. π ln. (c) H(x) = ( ) 3 3 x, ograniczonej do przedziału [,3]. { x x + C dla x 0, sin x + C dla 0 < x Wskazówka: oszacuj największą i najmniejszą wartość funkcji na przedziale arc tg (a) 4 e 3, (b) e + 4,

13 (c) ln, (d) e 5 3, (e) + π3 6, (f) π 36 3π (a) ( 3 π ) π, (b) π, (c) π(30,5π ln 3) (+ln 3) (a) 56 7, (b) Zadania trudniejsze T.. Przyjmuje się, że (a) dla dowolnego zbioru X i obiektu a: a X lub a / X oraz (b) jeśli ϕ( ) jest dowolną formułą zdaniową na zbiorze X (tzn. po podstawieniu elementu a X, wyrażenie ϕ(a) jest zdaniem), to elementy ze zbioru X, spełniające formułę ϕ, tworzą zbiór. Z powyższych dwóch przesłanek wywnioskuj, że nie istnieje twór będący zbiorem złożonym ze wszystkich zbiorów (tzw. paradoks Russela). T.. Udowodnij, że różnica symetryczna zbiorów jest działaniem łącznym i przemiennym. T.3. Udowodnij, że różnica symetryczna skończonej ilości zbiorów składa się z elementów należących do nieparzystej liczby zbiorów. T.4. Wyprowadź wzory na sinus i kosinus sumy kątów. T.5. Udowodnij następujące twierdzenia o granicach ciągów: (a) lim n n n =, (b) dla 0 < a < zachodzi lim n a n =, (c) dla < a < i r R zachodzi lim n T.6. Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach e n = n r a n = 0. ( + n) n, n N + = {,, 3,...}. T.7. Oznaczmy lim e n = e, lim f n = f, gdzie ciągi (e n ), (f n ) zostały określone w poprzednich dwóch zadaniach. Udowodnij, że e = n n f. 3

14 ( ) T.8. Udowodnij, że jeśli lim a n =, to lim + an n n a n = e. T.9. Niech x oznacza miarę łukową kąta. Wykaż, że lim x 0 sin x x =. T.0. Załóżmy, że funkcja f : O(x 0 ) R jest określona w pewnym otoczeniu O(x 0 ) punktu x 0 R oraz że przyjmuje w x 0 ekstremum lokalne (właściwe lub nie). Udowodnij, że jeśli istnieje pochodna f (x 0 ), to f (x 0 ) = 0 (twierdzenie Fermata). T.. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b], różniczkowalna na (a, b) oraz że f(a) = f(b), gdzie a < b R. Udowodnij istnienie takiego c (a, b), dla którego f (c) = 0 (twierdzenie Rolle a). T.. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b] i różniczkowalna na (a, b), gdzie a < b R. Udowodnij istnienie takiego c (a, b), dla którego f f(b) f(a) (c) = (twierdzenie Lagrange a). b a T.3. Załóżmy, że funkcje f, g : [a, b] R są ciągłe na [a, b] i różniczkowalne na (a, b), gdzie a < b R. Udowodnij istnienie takiego c (a, b), dla którego [g(b) g(a)]f (c) = [f(b) f(a)]g (c) (twierdzenie Cauchy ego). T.4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = sinh x 5 4 x na przedziale I = [0, ], gdzie funkcja sinh x = ex e x hiperboliczny. T.5. Oblicz: oznacza sinus x arc ch x dx, gdzie symbol arc ch oznacza funkcję odwrotną do ograniczonej do przedziału [0, ) funkcji kosinus hiperboliczny. T.6. Wyznacz długość wykresu funkcji: (a) f(x) = ln(x + ), ograniczonej do przedziału [ 0, ], (b) f(x) = e x, ograniczonej do przedziału [, ln(e)]. T.. Gdyby taki zbiór X istniał, to zbiorem byłby rownież Y = {A X : A / A}, a wtedy jednocześnie Y Y oraz Y / Y. T.. Wynika to z łączności i przemienności spójnika logicznego albo. T.3. Różnica symetryczna n zbiorów powstaje w wyniku obliczenia n razy różnicy symetrycznej. Zauważ, że jeśli element należy do parzystej ilości zbiorów, to przy kolejnym obliczeniu pojawia się, znika lub pozostaje 4

15 bez miany, a po ostatniej zmianie znika. Podobnie dla przynależności do nieparzystej ilości zbiorow. T.4. Niech x, y ( 0, π ) dla innych x, y można wykorzystać wzory redukcyjne. (a) Naszkicuj trójkąt, aby kąt α przy jednym z jego wierzchołków wynosił α = x + y, a wysokość opuszczona z tego wierzchołka dzieliła α na kąty x i y. (b) Oblicz pole dużego trójkąta na dwa sposoby: bezpośrednio i jako sumę pól dwóch mniejszych trójkątów. Z równości pól wyprowadź wzór na sinus sumy kątów. (c) Zastosuj otrzymany wzór na sinus sumy kątów i wzory redukcyjne sin ( ) ( ) ϕ + π = cos ϕ, cos ϕ + π = sin ϕ do przekształcania cos(x+ y) = sin ( x + ( )) y + π. T.5. (a) Z jednej strony, n n > dla dowolnego n N +. Z drugiej strony, niech δ > 0 będzie dowolną liczbą. Dla dostatecznie dużych n, n n < + δ, gdyż ( + δ) n = + nδ + n(n ) δ δ n > n(n ) δ > n. T.6. (b) Dla a, a n < n n od pewnego miejsca. (c) Oznaczmy a = + δ, gdzie δ > 0. Ustalmy liczbę k, r < k N +. Dla dostatecznie dużych n, a n = ( + δ) n = + nδ + n(n ) δ n(n )(n )...(n k) (k+)! δ k δ n > n(n )(n )...(n k) (k+)! δ k+ > δ k+ n k+ (k+)!. (a) Wykorzystując wzór Newtona na potęgę dwumianu zauważ, że e n = + + ( n) + ( n)( n) ( n)( n)...( n (b) Wywnioskuj, że ciąg (e n ) jest rosnący. (c) Udowodnij, że e n + n k=0 n ) 3... n. k oraz że ciag (e n ) jest ograniczony. T.7. (a) Zauważ, że e n f n dla n N +. Wywnioskuj, że e f. (b) Ustalmy dowolne n 0 N +. Rozważ ciąg (g n ) o wyrazach g n = + + ( n) + ( n)( n) ( n)( n)...( n0 n ) 3... n 0, określonych dla n n 0. Zauważ, że g n e n. Udowodnij, że lim g n = f n0 i dalej, n że f n0 e. Wywnioskuj, że f e. T.8. Niech x oznacza część całkowitą liczby x R. Dla wystarczająco dużych n zachodzi a n >. ( Jeśli a n, to + a n + ( ) an ( ) + a n + a n. ) an + ( ) ( ) + a n + + an a n 5

16 Dla a n < wykorzystaj równość ( ) + an ( a n = + a n T.9. Zauważ, że ) an ( + a n lim cos x =. Za pomocą twierdzenia o trzech funkcjach i x 0 + nierówności z zadania.. wywnioskuj, że skorzystaj z nieparzystości funkcji sin x i x. ). sin x lim x 0 + x =. Dla x < 0 T.0. Oznaczmy I(x) = f(x) f(x0) x x 0 (iloraz różnicowy) dla x S(x 0 ) = O(x 0 ) \ {x 0 } (sąsiedztwo punktu). Zauważ, że ilorazy różnicowe I(x) z jednej strony punktu x 0 są niedodatnie, a z drugiej nieujemne. T.. W pewnym punkcie c (a, b) funkcja f przyjmuje najmniejszą lub największą wartość na całym przedziale [a, b]; wartość ta jest równocześnie ekstremum lokalnym, zatem f (c) = 0. T.. Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji h(x) = f(x) f(b) f(a) b a (x a). T.3. Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji h(x) = [f(b) f(a)]g(x) [g(b) g(a)]f(x). T.4. Największą wartością jest 0, a najmniejszą T.5. 8 ln ( + 3 ) + 3 ln ( + 3 ) ln 4. T.6. (a) 5 + ln + 5 +, (b) 5 + ln ln Powtórzenie. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań (tautologią) wyrażenie [ p (q r) ] [ (p q) (p r) ], gdzie symbol oznacza albo (alternatywę wykluczającą koniunkcję). Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki.. Niech oznacza kreskę Shefera, tzn. p q = ( p q). Za pomocą kreski Shefera wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację. 3. Zbadaj prawdziwość zdania: (a) x R y R [(x + y > 0) (x + y < 0)], 6

17 (b) x R y R [(xy = 0) (xy = )]. 4. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: (a) (A B) (A C) oraz (A B) (A C), gdzie różnica symetryczną jest określona wzorem X Y = (X \ Y ) (Y \ X), (b) [A \ (B C)] oraz [(A \ (B C)] (A B C). Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna. 5. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres funkcji (a) f(x) = tg x + tg x, ( (b) f(x) = tg x + π ) sin x, ( π ) (c) f(x) = ctg + arc tg x, (d) f(x) = ctg arc sin x. 6. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach (a) a n = n 00n + sin n 3 n + 0 n, (b) a n = n n n n n n n 3 + n. 7. Rozważmy symbole nieoznaczone dla granic ciągów: (a), (b) 0 0, (c) 0. Dla dowolnego λ [0, ] w (a), λ [0, ] w (b) oraz λ [, ] w (c), podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu (w przypadku granicy niewłaściwej) do λ. Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłasciwej. 8. Wyznacz granicę funkcji lim x x 0 f(x), jeśli 7

18 ln(x ) (a) f(x) = x 4, x 0 =, (b) f(x) = ( + sin x) ( x, x 0 = 0, (c) f(x) = x 3 x ) x 3, x 0 =, (d) f(x) = cos x x ln(x + ), x 0 = 0, (e) f(x) = ln( + sin(5x)) ln( + sin x), x 0 = 0. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. 9. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f : D R, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R, jeśli (a) f(x) = x + arc tg(3x), (b) f(x) = 5x + arc tg 7 x, (c) f(x) = cos x + ln + x x, (d) f(x) = x3 + sin x (x π). 0. Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli e ax x dla x < 0, (a) f(x) = b dla x = 0, sin(x) x dla x > 0, a x ln (x ) dla x < 0, (b) f(x) = dla x = 0, sin(bx) 4x dla x > 0, ax ln( 4x) dla x < 0, (c) f(x) = b dla x = 0, sin(x) arc tg(8x). Udowodnij, że równanie ( π ) (a) ln x = sin 4 x, ( π ) (b) = sin x 3 x, dla x > 0? ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale (0, ).. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x 3 x = 4. 8

19 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x 0, jeśli (a) f(x) = (x + ) e x + x, x 0 = 0, ( (b) f(x) = + ) ln x, x0 =. x 4. Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f(x) = (x + 3) (x ). 5. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji (a) f(x) = e sin x, (b) f(x) = e arc tg x. 6. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = 8 ln x x na przedziale I = [, 3]. 7. Wyznacz granicę lim x x 0 f(x), jeśli (a) f(x) = ln sin x ln sin( 3x), x 0 = π, (b) f(x) = tg x x x 3, x 0 = Oblicz f(x) dx, jeśli (a) f(x) = x e 4x, (b) f(x) = 3 x cos x. 9. Oblicz całkę f(x) dx z funkcji wymiernej f(x) = x3 + 3x + 4x + x 4 + x 3 + x. 0. Oblicz całkę f(x) dx z funkcji trygonometrycznej (a) f(x) = cos x sin x + 9, sin x (b) f(x) = cos x(cos x + ).. Niech symbol oznacza część całkowitą. Naszkicuj wykres funkcji f i z jego pomocą oblicz całkę b (a) f(x) = x x, a = 0, b = 4, a f(x) dx, jeśli: 9

20 (b) f(x) = e x, a = 0, b = ln.. Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi: (a) y x = 0, 3y x = 0, (b) 5x + 4y = 0, x + y = 0, (c) y = e x, y = x, x =, (d) x =, y = x, xy = 8, 8 (e) y = x ln, y = ln( + x). 3. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji (a) f(x) = [ x cos x dla x 0, π ], (b) f(x) = e x+, dla x [0,], (c) y = ln(e + x) dla x [0, e].. Tautologia.. Np. p = p p, p q = (p p) (q q). 3. (a) Zdanie prawdziwe, (b) zdanie fałszywe. 4. L lewa strona, P prawa strona, (a) L P =, (b) L = P. 5. (a) Dziedzina D f { = R \ { π + kπ : k Z}, 0 dla x ( π wzór f(x) = + kπ, kπ), tg x dla x [kπ, π + kπ), zbiór wartości W f = [0, ), { cos x dla x (kπ, π (b) D f = R \ {kπ : k Z}, f(x) = + kπ), cos x dla x [ π + kπ, kπ), W f = (, ), (c) D f = [, ], f(x) = x, W f = [, ], (d) D f = [, 0) (0, ], f(x) = W f = R. x dla x [, 0), x dla x (0, ], 0

21 6. (a) 0, (b). 7. Np. lim lim n n 8. (a) 4, (b) e, (c) 3, (d), (e) 5. ( ) + ln λ n n = λ (0, ), lim ( + n) (n ) =. n ( n) (n ) = 0, 9. (a) y = x+ π asymptota ukośna w, y = x π asymptota ukośna w, (b) y = 5x asymptota ukośna w i w, (c) x = asymptota pionowa prawostronna, x = asymptota pionowa lewostronna, (d) x = π asymptota pionowa, y = x + π asymptota ukośna w i w. 0. (a) a = b =, (b) a =, b = 8, (c) a = ln, b = 4.. Dla różnicy funkcji wykorzystaj własność Darboux na przedziale [δ, ], gdzie liczba dodatnia δ jest wystarczająco mała. Dla uzasadnienia jednoznaczności wykaż ścisłą monotoniczność różnicy funkcji na przedziale (0, )... Jedno rozwiązanie, x (a) y = x +, (b) y = x ln ln f(x) maleje na przedziałach (, 3], [, ], rośnie na przedziałach [ 3, ], [, ), przyjmuje ekstrema lokalne: 0 dwukrotnie jako minimum lokalne właściwe (w punktach x 0 = 3 i x 0 = ), 6 maksimum lokalne właściwe (w punkcie x 0 = ). 5. (a) [ f(x) jest ściśle wypukła na przedziałach postaci 3 4 π + kπ, 4 π + (k + )π] dla k Z, f(x) jest ściśle wklęsła na przedziałach postaci [ 4 π + kπ, 3 4 π + kπ] dla k Z, punkty przegięcia wykresu funkcji są postaci ( 4 π + kπ, e) oraz ( 3 4π + kπ, e) dla k Z,

22 (b) f(x) jest ściśle wypukła na przedziale (, ], ściśle wklęsła na przedziale [, ), a wykres ma jeden punkt przegięcia: (, e π ). 6. Największą wartością jest 8 ln 4, a najmniejszą. 7. (a), (b) (a) 4 x e 4x 8 xe4x + 3 e4x + C, (b) 3 x 4+ln 3 [ x sin(4x) + 6 cos(4x) + C. sin(x) + ln 3 4 cos(x)] + 3x ln 3 + C. 0. (a) sin x 3 arc tg 3 + C, (b) ln cos x + ln ( cos x + ) + C.. (a) 5, (b) 5 ln ln 3.. (a) 6, (b) 5, (c) e ln, (d) 8 ln 7 3, (e) 5 3 ln. 3. (a) π3 6 π 4, (b) π(e6 ) 4, (c) πe ln. 0 Pierwsze kolokwium Zestaw A. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań (tautologią) wyrażenie [p (q r)] (p q).. Wyznacz granicę lim a n 7 n ciągu o wyrazach a n = n + 9 n n n 3 n n. 3. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x) = x arc sin x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. 4. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli f(x) = dla x = 0, sin(bx) x dla x < 0, (a + ) ln(x + e) dla x > 0.

23 . Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i r oraz fałszywości q.. 3. Po wyłączeniu przed pierwiastek 9/3 występują tylko symbole oznaczone (nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach). 3. Dziedziną naturalną jest zbiór (, ] [, ). Nie ma asymptot pionowych. Prosta o równaniu y = x jest asymptotą ukośną w oraz w. 4. b =, a = 0. Zestaw B. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [(A B) \ C] (A C) oraz A (B C). Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna.. Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n n + arc tg n + arc tg n + arc tg n a n = n + n n. 3. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x) = x + ln x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. Uwaga: można wykorzystać wzór lim x ln x x = Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli arc tg(bx) x dla x < 0, f(x) = dla x = 0, (a + ) sin ( ) x + 3π dla x > 0.. Zbiory są równe... Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. 3. Dziedziną naturalną jest przedział (0, ). Prosta o równaniu x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną. Nie ma asymptot ukośnych. 4. b =, a =. 3

24 Zestaw C. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f(x) = (x sin 3π ) tg x.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n arc tg(n n ) sin n. 3. Wyznacz granicę funkcji lim f(x), jeśli f(x) = cos x x x 0 x 3π oraz x 0 = 3π. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. 4. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x x = 0.. Dziedzina D = R \ ( π, π ), k Z Jedno rozwiązanie, x { π + kπ : k Z }, f(x) = f(x + kπ) = sin x dla x Zestaw D. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f(x) = ctg x + ( ) tg x + π.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n sin n + + n sin n n sin n n + n. 3. Wyznacz granicę funkcji lim f(x), jeśli f(x) = ctg x x x 0 x 5π oraz x 0 = 5π. Uwaga: nie można wykorzystywać reguły de l Hospitala. 4. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania x arc tg(x ) = 0. 4

25 . Dziedzina { D = R \ {kπ : k( Z}, ) ctg x dla x kπ, kπ + π f(x) =, k Z, 0 dla x ( kπ + π, (k + )π), k Z Jedno rozwiązanie, x Zestaw E. Używając symboli negacji i alternatywy oraz nawiasów wyraź koniunkcję. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki.. Wyznacz dziedzinę ( naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f(x) = tg x π ) sin x. 3. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n n + sin n 4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x) = x + arc tg x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D x + R.. p q = [( p) ( q)].. Dziedzina { D = R \ {kπ : k ( Z}, ) cos x dla x kπ, kπ + π f(x) =, k Z, cos x dla x ( kπ + π, (k + )π), k Z Asymptota pionowa obustronna o równaniu x =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y = x. Zestaw F. Używając symboli negacji i koniunkcji oraz nawiasów wyraź równoważność. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki.. Wyznacz dziedzinę( naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres π ) funkcji f(x) = ctg arc tg x. 5

26 3. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n n n n n n n 3 + n. 4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x) = x rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. + ln + x 4 x,. p q = { [p ( q)] [( p) q]}.. Dziedzina D = R, f(x) = x Asymptota pionowa obustronna o równaniu x = 0, asymptota pionowa prawostronna o równaniu x =, asymptota pionowa lewostronna o równaniu x =. Wskazówka: dziedziną naturalną jest D = (, 0) (0, ). Zestaw G. Używając symbli negacji i alternatywy, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź koniunkcję. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f(x) = (x tg + 7π ) sin x. ( 3. Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach a n = ln + ) n nn + n n 4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x) = x arc ctg x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D x R.. p q = [( p) ( q)].. Dziedzina { D = R \ {kπ : k ( Z}, ) cos x dla x kπ, kπ + π f(x) =, k Z, cos x dla x ( kπ + π, (k + )π), k Z Asymptota pionowa obustronna o równaniu x =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y = x +. 6

27 Zestaw H. Używając symboli negacji i koniunkcji, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź alternatywę. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki.. Wyznacz dziedzinę ( naturalną D) R, uprość wzór i naszkicuj wykres 3π funkcji f(x) = tg + arc ctg x. 3. Wyznacz granicę lim a n ciągu o wyrazach n a n = n + n 3 + n + n n + n n 3 n. 4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x) = x + rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R.. p q = [( p) ( q)].. Dziedzina D = R, f(x) = x ln + x 9 x, 4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu x =, asymptota pionowa prawostronna o równaniu x = 3, asymptota pionowa lewostronna o równaniu x = 3. Wskazówka: dziedziną naturalną jest D = ( 3, ) (, 3). Drugie kolokwium Zestaw A. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x 0, jeśli f(x) = ln(x + cos x), x 0 = 0.. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f(x) = (x+) (x+). 3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y x = 0, 3y x = Oblicz e x cos x dx. 7

28 . y = x. [. Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach, 3 ściśle malejąca na przedziałach (, ], ], [, ), f jest [ 3, ] ; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem. 3. Punkty przecięcia wykresów to (, ), (4, ), pole to np. P = y )dy = 6. (3y 4. Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki na sin x + cos x jedą stronę, I = e x + C.. Zestaw B. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x 0, jeśli f(x) = sin (π + ln x), x 0 =.. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji f(x) = x 64 x. 3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5x + 4y = 0, x + y = 0, 4. Oblicz x e 4x dx. y = x +.. (, 0), [4, ); drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd. ( 3. Punkty przecięcia wykresów to (0, 0), 5, 5 ), pole to np. P = 5 0 ( 4 ) 5 y + y dy = Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = 4 x e 4x 8 xe4x + 3 e4x +C. 8

29 Zestaw C. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x 0, jeśli f(x) = ln(x + sin x), x 0 = π.. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f(x) = x (x + ). 3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach x y = 0, 3x y = Oblicz e x sin x dx.. y = ( x π π + ) + ln ( π + ).. Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach [, ], [0, ), f jest ściśle malejąca na przedziałach (, ], [, 0]; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem. 3. Punkty przecięcia wykresów to (, ), (, 4), pole to np. P = (3x x )dx = Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki na sin x cos x jedą stronę, I = e x + C. Zestaw D. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x 0, jeśli f(x) = cos (π + ln x), x 0 =.. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji f(x) = 9x 64 3x. 3. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5y + 4x = 0, y + x = 0, 4. Oblicz x e x dx. y =.. (, 0), [ 4 3, ) ; drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd. 9

30 ( ) 5 3. Punkty przecięcia wykresów to (0, 0),, 5, pole to np. P = 5 0 ( 4 ) 5 x + x dx = Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = x e x xex + 4 ex + C. Egzamin Zestaw A. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań (tautologią) wyrażenie [p (q r)] (p r).. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x) = x + arc sin 5 x, rozpatrywanej z dziedziną naturalną D R. 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x 0 = 0, jeśli f(x) = ln( + sin x). 4. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f(x) = (x ) (x + 5). 5. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y x = 0, 3y x = Oblicz e x cos x dx.. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i q oraz fałszywości r.. Dziedziną naturalną jest D = (, 5] [5, ). Nie ma asymptot pionowych. Prosta o równaniu y = x jest asymptotą ukośną w oraz w. 30

31 3. y = x. 4. f (x) = 4(x )(x + 5)(x + ), f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 5, ], [, ) (lub przedziały otwarte), f jest ściśle malejąca na przedziałach (, 5], [, ] (lub przedziały otwarte); suma, np. [ 5, ] [, ), to błąd. ( ) 5. Punkty przecięcia to,, (, ), pole to np. P = ( 3y y ) dy = =. 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = Zestaw B sin x + cos x e x + C. 5. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji ( π ) f(x) = sin x tg x.. Wyznacz dwa pierwsze wyrazy ciągu (a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, jeśli n a n = n + 3 arc cos n + n + 3 arc cos n n + 3 arc cos n n. 3. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania 3 x = x, 4. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji f(x) = 9x 64 3x. 5. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji f(x) = e 5x dla x [0,]. 6. Oblicz (x + ) e x dx. 3

32 . Dziedzina D = R \ ( dla x π, π { π + kπ : k Z }, f(x) = sin x ), funkcja jest okresowa o okresie π.. a =, a = π 3 = + π 4 4, lim a n =. n Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. 3. Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji f(x) = 3 x ( x, ) przynajmniej jedno z własności Darboux: f(0) > 0, f() < 0, f < 0. Odpowiedź: x f (x) = 8x x, f (x) = 7x3 64 3x 3, przedziałami ścisłej wypukłości [ ) 4 są (, 0), 3, (ten drugi przedział może być otwarty). Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 5. V = π ( e 0 ) Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = (x+) e x (x+)ex + 4 ex + C. Zestaw C. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [(A C) \ B] (A B), A (B C). Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach ( n 3 n + 5 n ) n a n =. 7 n + 0 n 3. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x 0 = 0, jeśli f(x) = 5 dla x = 0, a arc tg(x) x dla x < 0, (b + ) sin ( ) x + 7π dla x > Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = ln x x na przedziale I = [, e]. 5. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5x + y = 0, 5x + y = 0. 3

33 6. Oblicz całkę f(x) dx z funkcji trygonometrycznej f(x) = cos x ( sin x + ).. Zbiory są równe... Po wyłączeniu przed pierwiastek 5/0 występują tylko symbole oznaczone (nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach). 3. a = 5, b = f (x) = x = x, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = x {f(), f(), f(e)} = {, ln, e}. Łatwo f() < f(e). Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem (od x = ) maleje, zatem m =, M = ln. 5. Punkty przecięcia to ( 5 ),, (0, 0), pole to np. P = 0 ( 5 y + 5 ) y dy = ( ) = Podstawienie t = sin x, zatem I = (t + ) dt = 5 sin5 x 3 sin3 x sin x + C. Zestaw D. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f(x) = ctg x + ( ) tg x + π.. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu (a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, n jeśli a n = n + arc tg n + n + n + arc tg n + n n + arc tg n n + n. ( ) 3. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania arc tg 3 x = ln ( + (e )x). ln cos(4x) 4. Wyznacz granicę lim f(x), jeśli f(x) = x x 0 x, x 0 = 0. 33

34 5. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji y = ln x dla x [, e]. 6. Oblicz całkę f(x) dx z funkcji trygonometrycznej f(x) = sin x cos x Dziedzina { D = R \ {kπ : k( Z}, ) ctg x dla x kπ, kπ + π f(x) =, k Z, 0 dla x [ kπ + π, (k + )π), k Z.. a = 4 + π, lim 8 a n =, można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. n 3. Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji f(x) = ( ) arc tg 3 x + ln ( + (e )x), przynajmniej jedno z własności Darboux: f(0) = < 0, f() = π 3 > 0. Odpowiedź: x Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0, otrzymujemy po 0 pierwszym kroku l (x) 4 sin(4x) m = (x) x cos(4x) = e 5. V = π 0 8 cos(4x) sin(4x) 8. 4x ln x dx = π [x ln x x] e x= = π.. 6. Podstawienie t = 5 + cos x, zatem dt I = dt = ln 5 + cos x + C. t + 5 Zestaw E. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań (tautologią) wyrażenie [p (q r)] (p r).. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x 0 = 0, jeśli f(x) = ln( + arc tg x). 34

35 3. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f(x) = x (x + 4). 4. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y 4x = 0, 3y 4x = Oblicz e x sin x dx. 6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji f(x) = sin x w przedziale [ π 4, π 4 ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy fałszywości zdań p i r (zdanie q dowolne).. f(0) = 0, f (x) = ( + x )( + arc tg x), f (0) =, y = x. 3. f (x) = 4x(x+4)(x+), f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 4, ], [0, ) (lub przedziały otwarte), f jest ściśle malejąca na przedziałach (, 4], [, 0] (lub przedziały otwarte); suma, np. [ 4, ] [0, ), to błąd. ( ) 4. Punkty przecięcia to 4,, (, ), pole to np. P = 5. np. I = ( 3y 4 y 4 ) dy = = 4. e x sin xdx = e x cos x e x cos xdx = e x cos x e x sin x I, skąd I = cos x + sin x e x + C. 6. R k+ (x) = ( )k cos c (k + )! xk+ stąd wystarczy k =, zatem sin x x x

36 Zestaw F. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji ( π ) f(x) = cos + x ctg x.. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu (a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, n jeśli n arc tg n arc tg n arc tg n a n = n + n n. 3. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji f(x) = 9x 8 3x. 4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji f(x) = x dla x [0,]. 5. Oblicz (x + 3) sin x dx. 6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji f(x) = ln( + x) w przedziale [0, ] z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f(x) = cos x dla x (0, π), funkcja jest okresowa o okresie π.. a = π 4, n π n a n, lim n a n =. 3. f (x) = 8x + 8 3x, f (x) = 7x3 8 3x 3, przedziałami ścisłej wypukłości [ ) są (, 0), 3, (ten drugi przedział może być otwarty). Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 4. V = π x dx = 3π ln. (x+3) sin xdx = (x+3) cos x+ (x + 3) sin x + cos x + C. (x+3) cos xdx = (x+3) cos x+ 36

37 6. R n (x) = ( )n x n x stąd wystarczy n = 3, zatem ln( + x) x n( + c) n. Zestaw G. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: [(B C) \ A] (B A), B (A C). Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna.. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = ( n 3 n + 5 n + 7 n + 0 n ) n. 3. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji na przedziale I = [, e ]. f(x) = ln(x) x 4. Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5x + 8y = 0, 5x + 4y = Oblicz całkę f(x) dx z funkcji trygonometrycznej f(x) = sin x ( tg x + ). 6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji f(x) = cos x w przedziale [ π 4, π 4 ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.. Zbiory są równe.. 0. Po wyłączeniu przed pierwiastek 0 występują tylko symbole oznaczone (nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach). 3. f (x) = x = x, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = x {f(/), f(), f(e/)} = { /, ln, (e/)}. Łatwo f(/) < f(e/). Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem (od x = ) maleje, zatem m = /, M = ln. 37

38 ( 4. Punkty przecięcia to 5, ), (0, 0), pole to np. P = 0 5. I = ( 85 y + 45 ) y dy = ( ) = 30. sin x cos x dx = cos x + C. 6. R k (x) = ( )k cos c x k stąd wystarczy k = 3, zatem cos x x / + (k)! x 4 /4. Zestaw H. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f(x) = tg x + ( ctg x + π ).. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu (a n ) n=, a następnie oblicz granicę lim a n, n jeśli a n = n + arc ctg n + n + n + arc ctg n + n n + arc ctg n n + n. ln cos( x) 3. Wyznacz granicę lim f(x), jeśli f(x) = x x 0 x, x 0 = Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji y = ln (x ) dla x [, e]. 5. Oblicz całkę f(x) dx z funkcji trygonometrycznej f(x) = cos x + ctg x. 6. Wyznacz wzór wielomianu, według którego można wypełniać tablice matematyczne dla funkcji f(x) = e x w przedziale [0, ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. 38

39 . Dziedzina D = R \. a = 3 + π, n { π + kπ : k Z }, f(x) = n + n a n n + π n + n, lim n a n =. { tg x, gdy tg x 0, 0, gdy tg x < Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0 0, otrzymujemy l (x) m (x) = e 4. V = π 0 sin( x) cos( x)x = cos( x) sin(x) x. ln ( x ) e dx = π [x ln x x] x= = π( e). 5. I = sin x cos x dx = 3 sin3 x + C. 6. R n (x) = ec n! xn, stąd wystarczy n = 5, zatem e x Zestaw I. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach ( 0 n 3 n ) n a n =. n + 5 n 4 n=0 x n n!.. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja sin((a +)x) x dla x < 0 f(x) = 0 dla x = 0 (b + cos x) ln ( x + e 5) dla x > 0 jest ciągła w punkcie x 0 = 0? 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x 0 = 0. f(x) = ln(cos x + sin x) 4. Oblicz sin z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. 5. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y 8x = 0, 3y 8x = 0. 39

40 6. Oblicz e x cos(4x) dx.. Po wyłączeniu 0 5 = przed pierwiastek, symbol oznaczony 0 =.. a {3, 3}, b =. 3. y = x. 4. Reszta we wzorze Maclaurina dla f(x) = sin x: R n (c) < n! n 0 3, wystarczy n = 5, sin 48 = 3 ( ) 5. Punkty przecięcia to 8,, ( 3y P = y 8 8 (, ), pole to np. ) dy = = Po dwukrotnym całkowaniu przez części, 4 sin(4x) + cos(4x) I = e x + C. 7 Zestaw J. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n7 n n7 n n7 n n 8 + n.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R oraz, o ile istnieją, asymptoty ukośne wykresu funkcji f(x) = 3x + arc tg x Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f(x) = (x + 3) (x + ). 4. Wyznacz ln, 5 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. 5. Oblicz objętość bryły zakreślonej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji f(x) = 5 x dla x [0,] Oblicz (x ) e x dx. 40

41 . Z tw. o trzech ciągach, granica wynosi.. D = R \ { }, asymptoty ukośne w obu nieskończonościach o równaniu y = 3x. 3. f (x) = 4(x+)(x+)(x+3), funkcja rośnie na przedziałach [ 3, ], [, ), maleje na przedziałach (, 3, ], [, ] (dopuszczalne są przedziały otwarte). Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 4. Reszta R n (c) we wzorze Maclaurina dla f(x) = ln( + x): R n (c) < n n 0, wystarczy n = 5, ln, V = π ln Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = (x ) e x (x )e x + e x + C. Zestaw K. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach ( 4 n 3 n ) n a n =. 8 n 5 n. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja (a + x) cos (πx) dla x < 0 f(x) = 8 dla x = 0 ln(+(b +4)x) x dla x > 0 jest ciągła w punkcie x 0 = 0? 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x 0 = 0. f(x) = sin( ln( + x) ) 4. Oblicz cos z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. 5. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach x 8y = 0, 3x 8y = Oblicz 7 x sin x dx. 4

42 . Po wyłączeniu 4 8 = przed pierwiastek, symbol oznaczony 0 =.. b {, }, a = y = x. 4. Reszta R n (c) we wzorze Maclaurina dla f(x) = cos x: R n (c) < n! n 0 3, wystarczy n = 5, cos + 5. Punkty przecięcia to P = ( 3x 8 (, 8 ), (, ), pole to np. ) x dx = = Po dwukrotnym całkowaniu przez części, cos x + ln 7 sin x I = + ln 7 x + C. 7 Zestaw L. Wyznacz granicę lim n a n ciągu o wyrazach a n = n5 + n 6 + n5 + n n5 + n n 6 n. 4! 4.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R oraz, o ile istnieją, asymptoty ukośne wykresu funkcji f(x) = x + cos x Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f(x) = (x ) (x + 5). 4. Wyznacz ln, z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. 5. Oblicz objętość bryły zakreślonej przez obrót dookoła osi OX pola pod wykresem funkcji f(x) = e x+ dla x [0,]. 6. Oblicz x 7 x dx. 4

43 . Z tw. o trzech ciągach, granica wynosi.. D = R \ { 4}, asymptoty ukośne w obu nieskończonościach o równaniu y = x f (x) = 4(x )(x+)(x+5), funkcja rośnie na przedziałach [ 5, ], [, ), maleje na przedziałach (, 5, ], [, ] (dopuszczalne są przedziały otwarte). Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 4. Reszta R n (c) we wzorze Maclaurina dla f(x) = ln( + x): R n (c) < n 5 n 0 3, wystarczy n = 4, ln, V = π ( e 6 ). 4 ( x 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = ln 7 x ln 7 + ) ln 3 7 x + 7 C. 43