1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
|
|
- Jarosław Kalinowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica skończona) f f 0 + h) f 0 ) 0 )..) h 0 h Jeśli f ma pochodną w punkcie 0, to mówimy również, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0. Wyrażenie.) nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie 0. Podstawiając 0 + h, pochodną funkcji f w punkcie 0 możemy wyrazić następująco f f) f 0 ) 0 ). 0 0 Uwaga Często pochodną f 0 ), głównie w literaturze fizycznej i technicznej, oznacza się również symbolem df d 0). Mówiąc nieprecyzyjnie, symbole df i d oznaczają odpowiednio nieskończenie mały przyrost wartości funkcji f i argumentu. Przykład Niech f : R R będzie funkcją postaci f) oraz niech 0 3. Pokażemy, że funkcja f ma pochodną f 3) 6. Istotnie, mamy f3 + h) f3) 3 + h) 9 6h + h 6 + h) 6, h 0 h h 0 h h 0 h h 0 tzn. f 3) 6. Przykład Zbadać czy istnieje pochodna f ), gdzie f) { dla, ) dla [, ).
2 Obliczymy granicę lewostronną i prawostronną ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie 0, gdyż w lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwie punktu 0 funkcja f jest określona różnymi wzorami. Mamy + h) ) + 5) f + h) f) h 0 h 3 + 3h + h ) 3 h 0 oraz 3h + 3h + h 3 f + h) f) 3 + h) + 3) 3 + 3) 3h h 0 + h h 0 + h h 0 + h 3 3. h 0 + Ponieważ istnieją granice jednostronne i są równe, więc istnieje granica tzn. f ) 3. f + h) f) 3, h 0 h W powyższym ćwiczeniu aby sprawdzić, czy istnieje pochodna w danym punkcie obliczyliśmy granicę lewostronną i prawostronną ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie 0. Każdą z tych granic o ile istnieje) nazywamy, odpowiednio, pochodna lewostronna oraz pochodna prawostronna funkcji f w punkcie 0 i oznaczamy, odpowiednio, przez f 0 ) i f + 0 ), tzn. f f 0 + h) f 0 ) 0 ), f + f 0 + h) f 0 ) 0 ). h 0 + h Każdą z powyższych pochodnych nazywamy pochodna jednostronna funkcji f w punkcie 0. Własność Pochodna f 0 ) funkcji f w punkcie 0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodna lewostronna f 0 ) i pochodna prawostronna f + 0 ) i są równe. Pokazać, że funkcja f) nie posiada pochodnej w punkcie 0 0. Mamy oraz f0 + h) f0) h h h 0 h f0 + h) f0) h h 0 + h h 0 + h h h 0+ h.
3 Istnieje więc pochodna lewostronna i jest równa f 0) oraz istnieje pochodna prawostronna i jest równa f +0). Ponieważ pochodne jednostronne są różne, więc, na mocy własności, funkcja f) nie posiada pochodnej w punkcie 0 0. Własność Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, to jest w tym punkcie ciągła. Jeśli funkcja f : a, b) R ma pochodną f ) w każdym punkcie a, b), to przyporządkowanie punktowi pochodnej f ) w tym punkcie definiuje funkcję f : a, b) R określoną również na przedziale a, b). Nazywamy ją pochodna funkcji f. Mówimy wtedy, że funkcja f jest różniczkowalna lub różniczkowalna na zbiorze a, b)). Własność 3 i) Funkcje elementarne są różniczkowalne na swoich dziedzinach. ii) Jeśli funkcja f jest różniczkowalna, to jest ciągła. Przykład 3 Pokazać, że pochodną funkcji f), R \ {0}, jest funkcja f ), 0. Dla dowolnego 0 mamy f + h) f) h 0 h h 0 A zatem f ) dla każdego 0. +h h h 0 + h). h 0 + h) + h)h Przykład 4 Wyznaczyć pochodną funkcji f) sin, R. Niech R. Korzystając ze wzoru dostajemy sin y sin z sin y z sin + h) sin h 0 h cos y + z h 0 sin +h sin h h 0 h cos cos +h+ h + h cos + 0) cos. ) 3
4 Ostatecznie pochodną funkcji f) sin jest funkcja f ) cos. Pochodne funkcji elementarnych: f) const f ) 0 f) α f) sin f ) α α f ) cos f) cos f ) sin f) tg f ) cos f) ctg f ) sin f) e f ) e f) a a > 0) f ) a ln a f) ln f ) f) log a a > 0, a ) f ) ln a f) arc sin f ) f) arc cos f ) f) arc tg f ) + f) arc ctg f ) + f) sinh f ) cosh f) cosh f ) sinh f) tgh f ) cosh f) ctgh f ) sinh Uwaga Często będziemy pisać nieformalnie f) zamiast f ) jeśli funkcja f jest dana konkretnym wzorem. Na przykład, będziemy pisać 3 ) 3 lub sin ) cos zamiast f ) 3, gdzie f) 3 lub sin ) cos. 4
5 .. Podstawowe własności pochodnej Własność 4 Niech funkcje f i g posiadają pochodne f ) i g ). Wówczas i) c f) ) c f ), c R, ii) f + g) ) f ) + g ), iii) f g) ) f ) g ), iv) f g) ) f )g) + f)g ), v) ) f ) f )g) f)g ) g g), o ile g) 0. Przykład 5 Wyznaczyć o ile istnieje) wartość parametru a tak, aby funkcja była różniczkowalna. { f) e dla 0 3 a + dla > 0 Funkcja f jest oczywiście różniczkowalna w przedziałach, 0) i 0, ). Należy sprawdzić różniczkowalność funkcji f w punkcie 0. Obliczymy pochodne jednostronne. Ponieważ, patrz wzór??), oraz więc fh) f0) e h fh) f0) h 3 ah + e 0 a h 0 + h h 0 + h f 0) oraz f +0) a. Pochodne jednostronne są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a. Wówczas istnieje pochodna f 0) i jest równa. Przykład 6 Wyznaczyć o ile istnieją) wartości parametrów a i b tak, aby funkcja była różniczkowalna. { f) a sin dla < π cos + b dla π 5
6 Funkcja f jest oczywiście różniczkowalna w przedziałach ), π i π, ). Należy sprawdzić różniczkowalność funkcji f w punkcie 0 π. Na mocy własności, jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, to jest w tym punkcie ciągła. Ponieważ π ) f cos π + b b oraz f) a sin π π a, więc a b. Obliczmy pochodne jednostronne. Mamy f π + h) f ) π a sin π + h) cos π + b) a sin π + h) a sin π a + h) sin π a + h) sin π a cos π 0, gdyż ostatnia granica jest równa pochodnej funkcji sinus w punkcie 0 π. Ponadto f π + h) f ) π cos π + h) + b cos π + b) h 0 + h sin h h 0 + h Mamy więc f π ) π ) 0 oraz f +. Ponieważ pochodne jednostronne są różne, więc nie istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że f π ) istnieje...3 Pochodna złożenia funkcji Własność 5 Niech g : a, b) c, d) i f : c, d) R. Jeśli istnieją pochodna funkcji g w punkcie 0 a, b) i pochodna funkcji f w punkcie g 0 ) c, d), to istnieje pochodna funkcji f g w punkcie 0 i jest równa f g) 0 ) f g 0 ))g 0 )..) Zauważmy, że dla złożenia trzech funkcji, wzór.) przyjmuje postać f g h) 0 ) f gh 0 ))g h 0 ))h 0 )..3) Ogólnie, aby obliczyć pochodną złożenia kilku funkcji, najpierw obliczamy pochodną funkcji zewnętrznej przepisując argument tej funkcji, obliczoną pochodną mnożymy przez pochodną następnej funkcji ze złożenia przepisując jej argument, tak 6
7 długo, aż obliczymy pochodną funkcji ostatniej wewnętrznej ). Dokładniej obliczanie pochodnej złożenia funkcji jest zilustrowane w poniższych przykładach. Przykład 7 Obliczyć pochodną funkcji f w punkcie 0, gdzie ) f) 4 +, 0, ) f) ln + 3), 0, 3) f) sin 5, 0, 4) f) tg e 5, 0 0. W każdym z punktów wyznaczymy funkcje składowe funkcji f. ) Zauważmy, że funkcja f jest złożeniem funkcji g) i h) 4 +, gdyż g h)) gh)) g 4 + ) 4 + f). Ponieważ g ) oraz h ) 4 3, więc korzystając ze wzoru.) dostajemy f ) g h) ) g h))h ) h) A zatem f 0 ) f ) ) Zauważmy, że funkcja f jest złożeniem funkcji g) ln i h) +3, gdyż g h)) gh)) g + 3) ln + 3) f). Ponieważ g ) oraz h ), więc korzystając ze wzoru.) dostajemy f ) g h) ) g h))h ) h) + 3. A zatem f 0 ) f ) ) Funkcja f jest złożeniem funkcji g) 5, h) sin oraz k), gdyż g h k)) ghk))) gh )) gsin )) sin )) 5 f). 7
8 Ponieważ g ) 5 4, h ) cos oraz k ), więc korzystając ze wzoru.3) dostajemy A zatem f ) g h k) ) g hk)))h k))k ) 5hk))) 4 cosk)) 5sin ) 4 cos 0 sin 4 cos. f 0 ) f ) 0 sin 4 ) cos ) 0 sin 4 cos. 4) Funkcja f jest złożeniem funkcji g) tg, h) e oraz k) 5, gdyż g h k)) ghk))) gh 5 )) ge 5 ) tg e 5 f). Ponieważ g ) cos, h ) e oraz k ) 5 4 4, więc korzystając ze wzoru.3) dostajemy f ) g hk 0 ))h k 0 ))k 0 ) cos hk)) ek) 5 4 ) e ). cos e 5 A zatem f 0) e ) 0. cos e 05 0 Niech f : a, b) R będzie dowolną funkcją. Przypinamy, że funkcja f posiada funkcję odwrotną f wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest różnowartościowa. Podamy teraz zależność między pochodną funkcji f a pochodną funkcji odwrotnej f. Własność 6 Niech f : a, b) R będzie funkcją ciągłą i różnowartościową. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 a, b) oraz f 0 ) 0, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie y 0 f 0 ) oraz f ) y0 ) f 0 )..4) Równoważnie f ) y0 ) f f y 0 )). 8
9 Obliczyć pochodną f ) y0 ) o ile istnieje), gdzie ) f) 3 +, y 0 5, ) f) sin, y 0. ) Funkcja f jako różnowartościowa posiada funkcję odwrotną. Ponieważ f ) 3 dla każdego R, więc na mocy wzoru.4) dostajemy f ) y) 3 dla każdego y R. W szczególności f ) 5) 3. Zauważmy jeszcze, że funkcją odwrotną do funkcji f jest funkcja liniowa postaci f y) 3 y 3, skąd bezpośrednio dostajemy f ) 5) 3. ) Funkcją odwrotną do funkcji sinus na przedziale π, ) π jest funkcja arc sin. Ponieważ funkcja sinus przyjmuje wartość dla argumentu 0 π 6 π, ) π oraz f 0 ) cos 0 cos π 6 3, więc na mocy wzoru.4) dostajemy Przykład 8 Pokazać, że f ) ) f 0 ) 3. ) log a ) ln a wiedząc, że a ) a ln a, ) arc tg ) + wiedząc, że tg ) cos. ) Funkcja f ) log a jest funkcją odwrotną do funkcji f) a. Kładąc y f) a, na mocy wzoru.4) na pochodną funkcji odwrotnej, mamy log a y) a ) a ln a y ln a. Zastępując zmienną y przez zmienną otrzymujemy żądany wzór. ) Funkcja f ) tg jest funkcją odwrotną do funkcji f) arc tg. Przyjmując y f) arc tg, na mocy wzoru.4) na pochodną funkcji odwrotnej, mamy arc tg y) tg ) cos cos cos cos +sin cos cos + tg + y. cos cos + sin Zastępując zmienną y przez zmienną otrzymujemy żądany wzór. 9
10 . Zadania.. Na podstawie definicji znaleźć pochodną funkcji f) w punkcie 0... Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0. f) Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0. f) 3.4. Obliczyć z definicji pochodną funkcji f w punkcie 0, gdzie ) f) C, C R ) f) sin 3) f) cos 4) f) tg 5) f) 6) f) n, n N 7) f) a.5. Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0 0. f).6. Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0 0. f).7. Zbadać na podstawie definicji, czy podane funkcje są różniczkowalne we wskazanych punktach: ) ) f), 0 0 { 3 + dla, f) dla > Znaleźć pochodne funkcji podstawowe wzory): 0
11 ) f) ) f) sin + 4e 3) f) e 4) f) f) 3 3 ) 5) ) f) ) f) ) f) π 9) f) ) f) ) f) tg ctg ) f) 3 ln + 3) f) + ) 4) f) 5 + 6)4 3) + e 5) f) +.9. Znaleźć pochodne funkcji pochodna iloczynu): ) f) ln ) f) cos 3) f) sin 4) f) 3 5 5) f) e f) ln 6) 3 + ln 7) f) 6 ln 8) f) e cos 9) f) + 4)e + 3 0) f) e tg ) f) ln e ) f) sin ln + cos.0. Znaleźć pochodne funkcji pochodna ilorazu): f) + + ) 3 ) f) 3) f) 5 4) f) ) f) 6) f) cos ln 7) f) 4e 8) f) f) ) 9) 0) f) cos sin ) f) 3.. Znaleźć pochodne funkcji:
12 e ) f) 3 ) f) ln + 3) f) e 4) f) sin cos e f) 3 ln 5) e f) sin 6) sin ln f) + e 7) f) 3 e ln 8) 3 + sin sin.. Znaleźć pochodne funkcji: ) f) ln cos ) f) + 3) 5 3) f) sin5 4) f) + 3 5) f) ln 6) f) sin3 ) 7) f) ) f) 3 + 3) 3 9) f) sin 7 0) f) cos 3 ) f) sin 6 ) f) + 5) 4 3) f) ) 5 4) f) + 5) f) 3 + 6) f) ln + 5) 7) f) 3 ) 4 8) f) e 3 sin 3 9) f) ln ln 0) f) e 5 ) f) 5 cos 4 ) f) 3) f) ln ) 4) f) ln 5) f) sin 6) f) 7) f) ln ) sin.3. Znaleźć pochodne funkcji: +cos 4 5 ) f) + e f) sin ) π + π 4 + e ) 3) f) tg ) sin + e π 4) f) +sin e πe f) cos ) 5) π + π 8 + sin + 6) f) e sin + cos ) 4 ) 3 sin 4 cos 4 7) f) sin4 cos +e 4 )+sin 3 8) f) 9) f) tg ) cos + ln + 0) f) cosln ) ) f) sin 4 lnsin ) f) +sin3 ) cos 3) f) ln ) tg 3 cos ) 4) f) tglncos 3 + ))) 5) f) ln cos ) + cos3 sin ) 6) f) ln e sin +) + e πe4 7) f) sin 5 3 ) 4 + π 8) f) cos 5 lntg 3 ))+sin ) 3
13 f) +sinln )) cos ) 9) 3 + ln f) sin ln 4 cos + ) 0) e cos3 tg 4 +sin cos)))) )).3 Zastosowanie pochodnej funkcji jednej zmiennej..4. Znaleźć równanie stycznej do krzywej f) cos w punkcie 0 π Obliczyć, jaki kąt z osią O tworzy styczna do paraboli w punkcie 0. f) Obliczyć, w jakim punkcie styczna do krzywej jest równoległa do osi O. f) Obliczyć, w jakim punkcie styczna do krzywej jest równoległa do prostej y. f) e.8. Znaleźć równanie stycznej do krzywej y f) w punkcie o odciętej 0, jeżeli: ) f) , 0, ) f) sin, 0 0 3) f) ln, 0 e.9. Stosując twierdzenie de l Hospitala wyznaczyć następujące granice: e ) e ) ln cos 3) 4) 0 cos ln 5) 6) 0 sin 0 ctg sin ln + ) 7) 8) 0 tg 0 9) ln cos 0) 0 ln 0 + 3
14 0 ) ) ln ) ).0. Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji: ) f) ) f) 9 3) f) ) f) + ) 5) f) e 6) f) , ) f) ) f) sin, [0, π] 9) f) e 0) f) 3 f) ) ) f) ln.. Znaleźć ekstrema następujących funkcji: ) f) e ) f) e 3) f) 3 ) 4) f) + 4 5) f) cos, [0, π] 6) f) + 7) f) + f) 3 8) 4 + 9) f) ln 0) f) ln + ) ) f) e + e.. Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości następujących funkcji: ) f) ) f) e 3) f) e 4) f) + 5) f) ln 6) f) ln 7) f) + 8) f) 9) f) f) ) +.3. Wyznaczyć punkty przegięcia następujących funkcji: 4 ) f) + 6 ) f) ) f) ) f) ) f) ) f) sin, [0, π] 7) f) 8) f) ln 9) f) e 0) f) e
15 .4. Wyznaczyć asymptoty następujących funkcji: ) f) e ) f) 3) f) 4) f) ) f) 4 3 f) + 6) 7) 3 f) 8) f) 3 9) f) 4 0) f) + ) f) e ) f) e.5. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji: ) f) ) f) 3 3) f) ) f) ) 5) f) ) f) 3 7) f) + 8) f) + 9) f) f) + 0) ) f) e Niektóre odpowiedzi:.8. ) f ) 5 8 ) f ) 4 cos + 4e 3) f ) 3 3 4) f ) 3 5) f ) ) f ) 6 7) f ) ) f ) + 9) f ) ) f ) ) f ) cos + sin ) f ) 3 3) f ) ) f ) ) f ) +.9. ) f ) ln + ) f ) cos sin ) 3) f ) sin + cos ) 4) f ) ln 5) 5) f ) e + ) 6) f ) 3+ln ln + ) 7) f ) 6 ln +) 8) f ) e cos sin ) 9) f ) e +)+ 3 0) f ) e tg + e cos + ) f ) ln + ) + e ) ) f ) cos ln + 3 )+sin 3 ).0. ) f ) ) ) f ) ) 3) f ) 3 3 ) 4) f ) +3) 5) f cos sin ) cos ) 6) f ) ln ln 7) f ) e 4 ++) 3+) 8) f ) ) 9) f ) ) ) 0) f ) sin ) f ) 3 +3 ).. ) f ) tg ) f ) 5 + 3) 4 3) f ) sin 4 cos 4) f ) ) 5) f ) 6 ) cos3 ) 6) f ) ) 3 7) f ) 36+3)3 +3) 5
16 8) f ) 7 6 cos 7 9) f ) 3 sin cos 0) f ) 6 cos 6 ) f ) 0 + 5) 3 ) f ) ) 4 3) f ) + ) 4) f ) 3 + ) 3 5) f ) +5 6) f ) 4 3 ) 3 7) f ) 3e 3 sin 3 + cos 3) 8) f ) ln 9) f ) 5e 5 0) f ) 0 sin 4 ) f ) e ln ln + ) ) f ) e ln ln ln ln + ln ) 3) f ) e ln ln 4) f ) e sin ln cos ln + sin ) 5) f ) e ln ln ) 6) f ) e sin ln ln cos ln ln + sin ln ) 6
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoSIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji
SIMR 03/4, Analiza, wykład 5, 0--6 Pocodna funkcji Definicja: Niec będzie dana funkcja f : D R oraz punkt intd. Wtedy pocodną funkcji f w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f f(
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowo4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że
Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 5
Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 5 dr Mariusz Grządziel Rok akademicki 214/15, semestr zimowy Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoLista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowoZestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoAsymptoty funkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej
Temat wykładu: Asymptoty unkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Asymptoty unkcji Zagadnienia 2. Pochodna
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoFunkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część pierwsza Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? Funkcja dla każdego argumentu ma określoną dokładnie jedną
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoLiteratura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoFunkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoWYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowo