Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Transkrypt

1 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

2 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje na (a,b) to istnieje punkt c (a, b) taki, że f (c) = f (b) f (a). b a Innymi słowy, dla funkcji spełniajacej warunki 1 2 istnieje w przedziale (a, b) punkt c, w którym styczna do wykresu jest równoległa do siecznej łacz acej jego końce. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

3 Zadanie Zastosować twierdzenie Lagrange a do funkcji f (x) = arc tg x na przedziale [ 1, 3]. Wyznaczyć odpowiednie punkty. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

4 Zadanie Zbadać, czy istnieja pochodne podanych funkcji: { x 1, x 1 a) f (x) = 1 2 x(x 1), x < 1., x 0 = 1 b) f (x) = x 3 + x, x 0 = 0 Zadanie Dobrać parametry a, b i c tak, aby funkcja f miała pochodna na R. 1, x < 0 f (x) = a sin x + b cos x + c, 0 x π 1, x > π. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

5 Reguła de L Hospitala Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

6 Regułę de L Hospitala stosujemy do liczenia pewnych granic typu lim x x 0 f (x) g(x) albo f (x) lim x ± g(x) Zakładamy, że f i g sa funkcjami różniczkowalnymi. Przez A oznaczamy tu liczbę albo ±. Reguła de L Hospitala Jeżeli funkcje f i g spełniaja warunki { { lim f (x) = 0 lim f (x) = ± 1 x A lim g(x) = 0 albo x A lim g(x) = ± x A x A 2 lim x A f (x) g (x) = k, to f (x) lim x A g(x) = k. Zauważmy, że k może przyjmować również wartości ±. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

7 Krócej można to zapisać: f (x) lim x A g(x) = co rozumiemy następujaco: [ ] 0 0 albo H f (x) = lim x A g (x), " jeśli istnieje granica lim wynosi k." f (x) x A g (x) f (x) i wynosi k, to granica lim x A g(x) również Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

8 Przykład a) lim x 0 x cos x x 5 3x 3 +2x (3x 1) ln x b) lim x 1 x 4 3x 2 +2 sin 5x sin 2x c) lim x 0 cos 4x+2x 1 d) ln sin x lim x 0 + ln tg x e) lim x 0 + f) lim x 1 + x ln(x 1) Wskazówka W przykładzie e) skorzystać z przedstawienia f g = [0 ] = f 1 g albo = g 1 f Wskazówka W przykładzie f ) skorzystać z tego, że dla wyrażeń f g przedstawiajacych symbole 1, 0, 0 0 mamy przedstawienie: f g = e g ln f. Dodatkowo z granica możemy przejść wtedy do wykładnika funkcji wykładniczej. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

9 Rozwiazanie przykładu e): ln x lim x ln x = [0 ( )] = lim x 0 + x x = [ ] H (ln x) = lim x 0 + ( 1 = x ) = lim x x 1 x 2 = lim x 0 +( x) = 0. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

10 Rozwiazanie przykładu f ): bo lim x ln(x 1) = [1 ] = lim eln(x 1) ln x = e lim [ln(x 1) ln x] x 1 + x 1 + x 1 + = e ( ) = e 0 = 1, ln(x 1) ( ) = lim x 1 +[ln(x 1) ln x] = [( ) 0] = lim x H (ln(x 1)) = lim x 1 + ( 1 ln x ) 1 x 1 = lim x ln 2 x x H (x(ln x) 2 ) (ln x) ln x = lim x 1 + ( x + 1) = lim x ln x = lim x 1 + x(ln x) 2 x + 1 = = = = 0. [ ] 0 0 [ ] 0 0 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

11 Monotoniczność funkcji Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

12 Twierdzenie o monotoniczności funkcji Jeżeli dla każdego x z pewnego przedziału A funkcja f spełnia warunek: f (x) = 0, to f jest stała dla x A f (x) > 0, to f jest rosnaca dla x A f (x) 0, to f jest niemalejaca dla x A f (x) < 0, to f jest malejaca dla x A; f (x) 0, to f jest nierosnaca dla x A. Uwaga Jeżeli f (x) 0 dla każdego x A, przy czym równość f (x) = 0 zachodzi tylko dla skończonej liczby punktów tego przedziału, to funkcja f jest rosnaca dla x A. Analogicznie dla funkcji malejacej. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

13 Przykład Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji a) f (x) = x 1+x 2 b) f (x) = (x + 1)e x c) f (x) = ln 3 x 3 ln x Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

14 Asymptoty Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

15 Asymptota funkcji - prosta, do której zbliża się wykres danej funkcji, ale nigdy go nie przetnie. pionowa x = x 0 pozioma y = y 0 ukośna y = ax + b Przykład y = e x ma asymptotę pozioma y = 0 lewostronna (czyli w ) y = ln x ma asymptotę pionowa prawostronna x = 0 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

16 Asymptota pionowa jeśli lim x x 0 x = x 0, f (x) = ± albo lim x x + 0 f (x) = ± Asymptota pionowa może istnieć w punktach x 0, które do dziedziny nie należa, ale ich otoczenia należa do dziedziny, czyli np. gdy D = (, x 0 ), D = (x 0, ) Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

17 Przykład Funkcja y = ln x ma asymptotę pionowa prawostronna x = 0. Funkcja y = 1 x ma asymptotę pionow a x = 0 (obustronna). Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

18 Asymptota pozioma lewostronna y = A, gdy lim f (x) = A. x Asymptota pozioma prawostronna y = B, gdy lim f (x) = B x Asymptota pozioma w albo w może istnieć, o ile albo odpowiednio należy do dziedziny funkcji. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

19 Przykład Funkcja y = e x ma asymptotę pozioma lewostronna y = 0. Funkcja y = 1 x ma asymptotę poziom a y = 0 (obustronna). Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

20 Asymptota ukośna y = Ax + B Jeżeli f (x) A = lim ±, x ± x to B = lim (f (x) Ax). x ± Gdy A = 0, to asymptota ukośna=asymptota pozioma. Uwaga. W i moga być inne wzory asymptot ukośnych. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

21 Przykłady Zbadać istnienie asymptot funkcji: a) f (x) = x 2 1, b) f (x) = x x 2 4 Odpowiedzi a) as. pionowych brak, as. ukośna prawostronna y = x (w ) oraz as. ukośna lewostronna y = x (w ); b) as. pionowa x = 2 (obustronna), as. ukośna y = x (obustronna) Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

22 Ekstrema funkcji Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

23 Definicja Funkcja f ma w x 0 R minimum lokalne (właściwe), jeśli δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ) f (x) > f (x 0 ). Funkcja f ma w x 0 R maksimum lokalne (właściwe), jeśli δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ) f (x) < f (x 0 ). Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

24 Twierdzenie Fermata Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x 0 oraz f (x 0 ) istnieje, to f (x 0 ) = 0. Zauważmy, że implikacja odwrotna jest fałszywa. Wystarczy rozważyć funkcję f (x) = x 3. f (x) = (x 3 ) = 3x 2, dla x 0 = 0 zachodzi f (0) = 0, ale ekstremum lokalnego w zerze nie ma (patrz wykres). Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

25 Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie oraz jeżeli w tym punkcie wykres funkcji ma styczna, to ta styczna jest pozioma. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

26 Fakt - o lokalizacji ekstremów funkcji (tzw. punkty podejrzane) Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje. Twierdzenie - I warunek dostateczny Jeżeli f (x 0 ) = 0 oraz f (x) zmienia w x 0 znak, to f ma w x 0 ekstremum lokalne. Jeżeli zmiana: + - maksimum lokalne w x minimum lokalne w x 0 Twierdzenie - II warunek dostateczny Jeżeli f (x 0 ) = 0 oraz f (x) istnieje w otoczeniu punktu x 0, to a) f (x 0 ) > 0, to f ma w x 0 minimum lokalne b) f (x 0 ) < 0, to f ma w x 0 maksimum lokalne c) f (x 0 ) = 0, to nie można nic stwierdzić. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

27 Zadanie Korzystajac z I i II warunku dostatecznego istnienia ekstremum znaleźć ekstrema lokalne funkcji: a) f (x) = x 3 3x b) f (x) = ln x x c) f (x) = (x 5)e x Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

28 Rozwiazanie a) f (x) = x 3 3x 2 + 4, D f = R, f (x) = 3x 2 6x, D f = R f (x) = 0 x = 0 x = 2 Metoda 1 Na podstawie wykresu f (x) = 3x 2 6x mamy, że w punktach x = 0 oraz x = 2 następuje zmiana znaku. W x = 0 zmiana z "+" na " ", zatem f ma w x = 0 maksimum lokalne. W x = 2 zmiana z " " na "+", zatem f ma w x = 2 minimum lokalne. Odp. f max (0) = 4, f min (2) = 0. Metoda 2 Wyliczamy f (x) = (f (x)) = (3x 2 6x) = 6x 6, D f = R. Wyliczamy teraz wartość f w punktach podejrzanych x = 0 oraz x = 2. f (0) = 6 < 0, zatem f ma w x = 0 maksimum lokalne. f (2) = 6 > 0, zatem f ma w x = 2 minimum lokalne. Odp. f max (0) = 4, f min (2) = 0. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

29 Rozwiazanie b) f (x) = ln x x, D f = (0, ), f (x) = 1 ln x x 2, D f = (0, ) f (x) = 0 ln x = 1 x = e Metoda 1 Badamy znak f (x). Zauważmy, że znak f zależy tylko od 1 ln x, bo mianownik jest zawsze dodatni, więc na znak całości nie wpływa. Zatem f (x) > 0 1 ln x > 0 x (0, e) f (x) < 0 1 ln x < 0 x (e, ). Dla x = e następuje zmiana znaku z "+" na " ", zatem f ma w x = e maksimum lokalne. Odp. f max (e) = e 1. Metoda 2 Wyliczamy f (x) = (f (x)) = ( 1 ln x ) 2 ln x 3 =, D x 2 x 3 f = (0, ). Wyliczamy teraz wartość f w punkcie podejrzanym x = e. f (e) = 1 < 0, zatem f ma w x = e maksimum lokalne. e 3 Odp. f max (e) = e 1 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

30 Rozwiazanie c) f (x) = (x 5) e x, D f = R, f (x) = ( x + 6)e x, D f = R f (x) = 0 x = 6 (bo e x > 0 dla x R) Metoda 1 Badamy znak f. Ponieważ e x > 0 dla x R, więc nie wpływa na znak f. Zatem f (x) > 0 x + 6 > 0 x < 6. f (x) < 0 x + 6 < 0 x > 6. Stad w x = 6 zmiana z "+" na " ", zatem f ma w x = 6 maksimum lokalne. Odp. f max (6) = e 6. Metoda 2 Wyliczamy f (x) = (f (x)) = (x 7)e x, D f = R. Wyliczamy teraz wartość f w punkcie podejrzanym x = 6. f (6) = e 6 < 0, zatem f ma w x = 6 maksimum lokalne. Odp. f max (6) = e 6 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

31 Zadanie Korzystajac z I warunku dostatecznego istnienia ekstremum znaleźć ekstrema lokalne funkcji: Zauważmy, że D f = R oraz f (x) = 3 (x 2 2x) 2 = (x 2 2x) 2 3 f (x) = 4 3 x 1 3 x 2 2x = 4 3 x 1 3 x 3 x 2, D f = R\{0, 2} f (x) = 0 x = 1. Stad mamy punkty podejrzane: x = 1 x = 0 x = 2. (bo w 0 i 2 pochodna nie istnieje) Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

32 Badamy znak f. Zauważmy, że x 1 > 0 x > 1 Stad 3 x > 0 x > 0 3 x 2 > 0 x 2 > 0 x > 2 f (x) > 0 x (0, 1) (2, ) f (x) < 0 x (, 0) (1, 2) W x = 0 zmiana z " " na "+", zatem f ma w x = 0 minimum lokalne. (tzw. minimum ostrzowe) W x = 1 zmiana z "+" na " ", zatem f ma w x = 1 maksimum lokalne. W x = 2 zmiana z " " na "+", zatem f ma w x = 2 minimum lokalne. (tzw. minimum ostrzowe ) Odp. f min (0) = 0, f max (1) = 1, f min (2) = 0. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

33 Wypukłość i wklęsłość funkcji Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

34 Mówimy, że f (x) jest wypukła w punkcie x = x 0, jeżeli dla pewnego sasiedztwa punktu x 0 wykres tej funkcji leży całkowicie nad styczna w punkcie (x 0, f (x 0 )). Mówimy, że f (x) jest wklęsła w punkcie x = x 0, jeżeli dla pewnego sasiedztwa punktu x 0 wykres tej funkcji leży całkowicie pod styczna w punkcie (x 0, f (x 0 )). Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

35 Twierdzenie - warunek dostateczny Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to f jest wypukła na (a, b). Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x (a, b), to f jest wklęsła na (a, b). Punkty przegięcia Punktem przegięcia (p.p.) funkcji nazywamy taki punkt x 0, w którym zmienia się charakter funkcji z wypukłej na wklęsła, albo z wklęsłej na wypukła. Punkty przegięcia moga istnieć w punktach, w których f (x) = 0 albo takich, w których f nie istnieje. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

36 Przykład Jeżeli f (x) = x 3, to f jest wypukła dla x > 0, f jest wklęsła dla x < 0, x = 0 jest punktem przegięcia Przykład Jeżeli f (x) = x 2, to f jest wypukła dla x R, punktów przegięcia nie ma Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

37 UWAGA f jest wypukła - jest "kawałkiem" paraboli skierowanej ramionami do góry (o a > 0); f jest wklęsła - jest "kawałkiem" paraboli skierowanej ramionami do dołu (o a < 0); Przykład Określić przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: a) f (x) = x 4 b) f (x) = x 2 ln x. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

38 Rozwiazanie a) f (x) = x 4, x R f (x) = 4x 3, f (x) = 12x 2 f (x) = 0 x = 0 Na podstawie wykresu f (x) = 12x 2 stwierdzamy, że f (x) 0 dla x R, zatem f jest wypukła dla x R i punktów przegięcia nie ma. Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

39 Rozwiazanie b) f (x) = x 2 ln x, x (0, ) f (x) = 2x ln x + x, f (x) = 2 ln x + 3 Zauważmy, że f (x) = 0 2 ln x + 3 = 0 ln x = 3 2 x = e 3 2. f (x) > 0 2 ln x + 3 > 0 x > e 3 2 f (x) < 0 2 ln x + 3 < 0 0 < x < e 3 2 Zatem f jest wypukła dla x > e 3 2 x = e 3 2 jest punktem przegięcia. oraz wklęsła dla 0 < x < e 3 2. Punkt Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

40 Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39