Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
|
|
|
- Elżbieta Łuczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47
2 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu Q punktu ( 0, 0 ). Mówim, że funkcja f (, ) osiąga w punkcie ( 0, 0 ) minimum lokalne, gd istnieje sąsiedztwo S punktu ( 0, 0 ) zawarte w zbiorze Q takie, że f (, ) > f ( 0, 0 ). (,) S JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 2 / 47
3 PRZYKŁAD. Funkcja f (, ) = osiąga minimim lokale w punkcie (1, 1) z JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 3 / 47
4 Ekstrema lokalne Mówim, że funkcja f (, ) osiąga w punkcie ( 0, 0 ) maksimum lokalne, gd istnieje sąsiedztwo S punktu ( 0, 0 ) zawarte w zbiorze Q takie, że (,) S f (, ) < f ( 0, 0 ). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 4 / 47
5 PRZYKŁAD. Funkcja f (, ) = osiąga maksimum lokalne w punkcie ( 1, 1) z JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 5 / 47
6 PRZYKŁAD. Funkcja f (, ) = osiąga minimum lokale w punkcie (1, 1) oraz maksimum lokalne w punkcie ( 1, 1) z JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 6 / 47
7 WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM Jeżeli funkcja f (, ) ma ekstremum lokalne w punkcie ( 0, 0 ) i jeżeli istnieją pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie ( 0, 0 ), to f ( 0, 0 ) = 0 i f ( 0, 0 ) = 0. OZNACZENIE. D(, ) = [ f (, ) ] 2 f (, )f (, ) Wrażenie to nazwam wróżnikiem funkcji f w punkcie (, ). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 7 / 47
8 WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM Załóżm, że w pewnm otoczeniu punktu ( 0, 0 ) istnieją ciągłe pochodne drugiego rzędu funkcji f (, ) oraz że f ( 0, 0 ) = 0 i f ( 0, 0 ) = 0. 1 Jeżeli D( 0, 0 )> 0, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie ( 0, 0 ). 2 Jeżeli D( 0, 0 )< 0, to funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie ( 0, 0 ); gd f ( 0, 0 )< 0, to osiąga maksimum, a gd f ( 0, 0 )> 0 to osiąga minimum. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 8 / 47
9 WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM Uwaga. Jeśli f ( 0, 0 ) = 0, f ( 0, 0 ) = 0 i to funkcja f w punkcie ( 0, 0 ) D( 0, 0 ) = 0, może osiągać maksimum lokalne, tak jak funkcja f (, ) = 4 4 w punkcie (0, 0); może osiągać minimum lokalne, tak jak funkcja f (, ) = w punkcie (0, 0); może nie osiągać ekstremum lokalnego, tak jak funkcja f (, ) = 4 4 w punkcie (0, 0). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 9 / 47
10 PRZYKŁAD Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (, ) = Dziedzina: D f = R 2. Pochodne cząstkowe: f (, ) = 5 4 5, f (, ) = zerują się dla 1 = 0, 1 = 0 oraz 2 = 1, 2 = 1, zatem punkt podejrzane o ekstremum to P 1 (0, 0), P 2 (1, 1). Ponadto, f = 20 3, f = 5, f = Wróżnik: D(, ) = ( 5) Badam znak wróżnika punktach podejrzanch : D(0, 0) = 25> 0, zatem funkcja f nie osiąga ekstremum w punkcie P 1 (0, 0); D(1, 1) = < 0, więc funkcja f osiąga ekstremum w punkcie P 2 (1, 1). O tm, cz jest to minimum, cz maksimum decduje znak pochodnej niemieszanej drugiego rzędu (oczwiście f (P 2 ) oraz f (P 2 ) są tego samego znaku). W tm punkcie f (1, 1) = > 0, co oznacza, że funkcja osiąga minimum w P 2. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 / 47
11 PRZYKŁAD Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (, ) = Dziedzina: D f = R 2. Pochodne cząstkowe: f (, ) = , f (, ) = zerują się dla 1 = 0, 1 = 0 oraz 2 = 1, 2 = 1, zatem punkt podejrzane o ekstremum to P 1 (0, 0), P 2 ( 1, 1). Ponadto, f = 20 3, f = 5, f = Wróżnik: D(, ) = Badam znak wróżnika punktach podejrzanch : D(0, 0) = 25> 0, zatem funkcja f nie osiąga ekstremum w punkcie P 1 (0, 0); D( 1, 1) = < 0, więc funkcja f osiąga ekstremum w punkcie P 2 ( 1, 1). O tm, cz jest to minimum, cz maksimum decduje znak pochodnej niemieszanej drugiego rzędu (oczwiście f (P 2 ) oraz f (P 2 ) są tego samego znaku). W tm punkcie f ( 1, 1) = 20( 1) 3 < 0, co oznacza, że funkcja osiąga maksimum w P 2. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
12 Ekstrema globalne TWIERDZENIE. Funkcja ciągła w zbiorze domkniętm i ograniczonm osiąga w pewnch punktach tego zbioru swoją wartość największą i najmniejszą (ekstrema globalne). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
13 PRZYKŁAD. Funkcja f (, ) = osiąga w zbiorze D : 2 2, 2 2 wartość największą 4 (w czterech punktach) oraz wartość najmniejszą 4 (też w czterech punktach) z JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
14 Ab znaleźć ekstrema globalne funkcji f (, ) w zbiorze domkniętm i ograniczonm D wstarcz: 1 znaleźć punkt podejrzane o ekstremum we wnętrzu zbioru D (to znacz punkt, w którch obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zero lub prznajmniej jedna z nich nie istnieje); 2 obliczć wartości funkcji f w tch punktach; 3 znaleźć punkt podejrzane na brzegu zbioru D (na ogół dzieląc brzeg na dogodne fragment) oraz obliczć wartości funkcji f w tch punktach; 4 z uzskanch liczb wbrać największą i najmniejszą. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
15 PRZYKŁAD 1A. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (, ) = Pochodne cząstkowe f (, ) = 2, f (, ) = 2 zerują się dla = 0, = 0, zatem punktem podejrzanm o ekstremum jest (0, 0). W tm punkcie funkcja f osiąga minimum lokalne, gdż wróżnik D(0, 0) = 0 2 2< 0 oraz f (0, 0) = 2> 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
16 PRZYKŁAD 1B. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w zbiorze D = {(, ) : }. Punkt (0, 0) ( podejrzan ) należ do zbioru D, więc go uwzględniam prz szukaniu ekstremów globalnch funkcji f w zbiorze D. Obliczam wartość funkcji: f (0, 0) = 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
17 PRZYKŁAD 1B, f (, ) = 2 + 2, f (0, 0) = 0. b Pozostaje zbadać zachowanie funkcji f na brzegu b zbioru D, czli okręgu = 0. Podzielim brzeg na czter fragment (w tm zadaniu nie musim tego robić, gdż funkcja f jest stała na brzegu zbioru D - jej wartości są równe 0). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
18 PRZYKŁAD 1B, f (, ) = 2 + 2, f (0, 0) = 0. b 1 B 3 B 4 b 2 Dzielim brzeg na czter fragment: b 1 = {(, ) : = 0 2, < < }, b 2 = {(, ) : = 0 2, < < }, B 3 = (, 0), B 4 = (, 0). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
19 PRZYKŁAD 1B, f (, ) = 2 + 2, f (0, 0) = 0. b 1 B 3 B 4 b 2 Badam zachowanie funkcji f na tch fragmentach. f (, ) = 2 + ( 0 2 ) 2 = 0 dla (, ) b 1, f (, ) = 2 + ( 0 2 ) 2 = 0 dla (, ) b 2, f (B 3 ) = ( ) = 0, f (B 4 ) = = 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
20 PRZYKŁAD 1B, f (, ) = 2 + 2, f (0, 0) = 0 f (, ) = 0 dla (, ) b b Zatem wartością największą funkcji f w D jest 0, a wartością najmniejszą jest 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
21 PRZYKŁAD 1C. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = zbiorze D = {(, ) : , 8}. w
22 PRZYKŁAD 1C. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = zbiorze D = {(, ) : , 8}. w
23 PRZYKŁAD 1C. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = zbiorze D = {(, ) : , 8}. w
24 PRZYKŁAD 1C. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = zbiorze D = {(, ) : , 8}. w JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
25 PRZYKŁAD 1C Punkt (0, 0) ( podejrzan ) należ do zbioru D, więc go uwzględniam; f (0, 0) = 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
26 PRZYKŁAD 1C Badam zachowanie funkcji f na brzegu zbioru D. Dzielim brzeg tlko na dwa fragment (na b 1 nasza funkcja jest stała): b 1 = {(, ) : = 0, 8} b 2 = {(, ) : = 8, 6 < < 6}. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
27 PRZYKŁAD 1C, f (, ) = b 1 = {(, ) : = 0, 8} JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
28 PRZYKŁAD 1C, f (, ) = b 1 = {(, ) : = 0, 8} Funkcja f (, ) = 0 dla (, ) b 1. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
29 PRZYKŁAD 1C. f (0, 0) = 0, f b1 = 0 b 2 = {(, ) : = 8, 6 < < 6} Badam f na b 2 : f (, ) = dla (, ) b 2. Niech f 2 () = Oczwiście f 2 () = 2. Pochodna ta się zeruje dla = 0. Obliczam wartość funkcji: f 2 (0) = 64. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
30 PRZYKŁAD 1C. f (0, 0) = 0, f b1 = 0 Z liczb: 0, 0, 64 wbieram największą i najmniejszą. Wartością największą funkcji f w D jest 0, a wartością najmniejszą jest 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
31 PRZYKŁAD 1D. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = zbiorze D = {(, ) : , 8}. w
32 PRZYKŁAD 1D. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = zbiorze D = {(, ) : , 8}. w
33 PRZYKŁAD 1D. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = zbiorze D = {(, ) : , 8}. w
34 PRZYKŁAD 1D. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = zbiorze D = {(, ) : , 8}. w JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
35 PRZYKŁAD 1D. D = {(, ) : , 8}. W tm przkładzie punkt (0, 0) nie należ do zbioru D, więc go nie uwzględniam prz szukaniu ekstremów globalnch. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
36 PRZYKŁAD 1D. Pozostaje zbadać zachowanie funkcji f na brzegu zbioru D.
37 PRZYKŁAD 1D. Pozostaje zbadać zachowanie funkcji f na brzegu zbioru D. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
38 PRZYKŁAD 1D. Tm razem podzielim brzeg na czter fragment (mogliśm na dwa): b 1 = {(, ) : = 0 2, 6 < < 6}, b 2 = {(, ) : = 8, 6 < < 6}, B 3 ( 6, 8), B 4 (6, 8). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
39 PRZYKŁAD 1D, f (, ) = b 1 = {(, ) : = 0 2, 6 < < 6}, Funkcja f (, ) = 0 dla (, ) b 1. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
40 PRZYKŁAD 1D, f (, ) = b 2 = {(, ) : = 8, 6 < < 6}, Funkcja f (, ) = 0 dla (, ) b 1. Ponadto f (, ) = dla (, ) b 2. Niech f 2 () = Oczwiście f 2 () = 2. Pochodna ta się zeruje dla = 0 ( 6, 6). Obliczam wartość funkcji: f 2 (0) = 64. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
41 PRZYKŁAD 1D, f (, ) = B 3 ( 6, 8), Funkcja f (, ) = 0 dla (, ) b 1. Ponadto f (, ) = dla (, ) b 2. Niech f 2 () = Oczwiście f 2 () = 2. Pochodna ta się zeruje dla = 0 ( 6, 6). Obliczam wartość funkcji: f 2 (0) = 64. Pozostało do wliczenia: f (B 3 ) = ( 6) = 0 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
42 PRZYKŁAD 1D, f (, ) = B 4 (6, 8). Funkcja f (, ) = 0 dla (, ) b 1. Ponadto f (, ) = dla (, ) b 2. Niech f 2 () = Oczwiście f 2 () = 2. Pochodna ta się zeruje dla = 0 ( 6, 6). Obliczam wartość funkcji: f 2 (0) = 64. Pozostało do wliczenia: f (B 3 ) = ( 6) = 0 oraz f (B 4 ) = 0. Wartością największą funkcji f w zbiorze D jest 0, a wartością najmniejszą jest 64. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
43 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
44 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 W tm przkładzie punkt (0, 0) leż na brzegu zbioru D; albo go teraz uwzględniam prz szukaniu ekstremów globalnch (i liczm f (0, 0)), albo - tak zrobim - dopiero w drugiej części (badając f na brzegu zbioru D). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
45 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
46 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
47 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; b 2 : =, 0 < < 1; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
48 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; b 2 : =, 0 < < 1; b 3 : = 1, 1 < < 1; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
49 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; b 2 : =, 0 < < 1; b 3 : = 1, 1 < < 1; B 4 (0, 0); JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
50 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; b 2 : =, 0 < < 1; b 3 : = 1, 1 < < 1; B 4 (0, 0); B 5 (1, 1); JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
51 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; b 2 : =, 0 < < 1; b 3 : = 1, 1 < < 1; B 4 (0, 0); B 5 (1, 1); B 6 (1, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
52 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 b 1 : =, (0, 1) Funkcja f na b 1 przjmuje postać: f b1 = = 2 2. Oznaczm tę funkcję przez f 1 (). Ponieważ f 1 () = 4, jednm punktem zerującm tę pochodną jest = 0. Nie uwzgędniam go, gdż 0 / (0, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
53 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 b 2 : =, (0, 1) Funkcja f na b 2 przjmuje postać: f b1 = 2 + ( ) 2 = 2 2. Oznaczm tę funkcję przez f 2 (). Ponieważ f 2 () = 4, jednm punktem zerującm tę pochodną jest = 0. Nie uwzgędniam go, gdż 0 / (0, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
54 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 b 3 : = 1, ( 1, 1) Funkcja f na b 3 przjmuje postać: f b3 = (1) = Oznaczm tę funkcję przez f 3 (). Ponieważ f 3 () = 2, jednm punktem zerującm tę pochodną jest = 0. Uwzgędniam go, gdż 0 ( 1, 1): f 3 (0) = = 1. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
55 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Ponadto, f (B 4 ) = f (0, 0) = = 0; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
56 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Ponadto, f (B 4 ) = f (0, 0) = = 0; f (B 5 ) = f (1, 1) = = 2; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
57 PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Ponadto, f (B 4 ) = f (0, 0) = = 0; f (B 5 ) = f (1, 1) = = 2; f (B 6 ) = f (1, 1) = ( 1) 2 = 2. Wartością największą jest 2, a najmniejszą 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
58 Ekstrema warunkowe DEFINICJA. Liczba M jest globalnm maksimum warunkowm funkcji f (, ) prz warunku g(, ) = 0, jeżeli spełnione są dwa warunki: 1 istnieje punkt ( 0, 0 ) taki, że f ( 0, 0 ) = M i g( 0, 0 ) = 0; 2 dla każdego (, ) takiego, że g(, ) = 0 mam f (, ) M. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
59 Ekstrema warunkowe Liczbę m nazwam globalnm minimum warunkowm funkcji f (, ) prz warunku g(, ) = 0, jeżeli spełnione są dwa warunki: 1 istnieje punkt ( 0, 0 ) taki, że f ( 0, 0 ) = m i g( 0, 0 ) = 0; 2 dla każdego (, ) takiego, że g(, ) = 0 mam f (, ) m. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
60 SCHEMAT ZNAJDOWANIA EKSTREMÓW WARUNKOWYCH. Zakładam, że funkcje f (, ) oraz g(, ) mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Tworzm funkcję Lagrange a: F (, ) = f (, ) + λg(, ). Punkt podejrzane o warunkowe ekstremum (lokalne) otrzmujem rozwiązując układ trzech równań: F (, ) = 0, F (, ) = 0, g(, ) = 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
61 SCHEMAT ZNAJDOWANIA EKSTREMÓW WARUNKOWYCH. Jeżeli krzwa opisana warunkiem (tzn. zbiór punktów opisanch równaniem g(, ) = 0) jest krzwą zamkniętą, to liczm wartości funkcji f w punktach podejrzanch i wbieram z nich wartość największą i najmniejszą. Jeżeli krzwa opisana warunkiem ma końce, to liczm wartości funkcji f w punktach podejrzanch leżącch na tej krzwej oraz liczm wartości f na końcach krzwej i następnie z uzskanch wartości wbieram wartość największą i najmniejszą. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
62 PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = warunku = 2. Tworzm funkcję Lagrange a: prz F (, ) = 0 Rozwiązując układ F (, ) = 0 g(, ) = 0 otrzmam czter rozwiązania: F (, ) = + λ( )., czli + 2λ = 0 + 2λ = 0 1 = 1, 1 = 1; 2 = 1, 2 = 1; 3 = 1, 3 = 1; 4 = 1, 4 = 1 (tutaj lambd nas nie interesują ). Są więc czter punkt podejrzane : P 1 (1, 1), P 2 ( 1, 1), P 3 (1, 1), P 4 ( 1, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
63 PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku = 2. Krzwa opisana warunkiem = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
64 PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku = 2. Krzwa opisana warunkiem = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch f (1, 1) = 1, JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
65 PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku = 2. Krzwa opisana warunkiem = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1, JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
66 PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku = 2. Krzwa opisana warunkiem = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1, f (1, 1) = 1, JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
67 PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku = 2. Krzwa opisana warunkiem = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1, f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
68 PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku = 2. Krzwa opisana warunkiem = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1, f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1. Wartością największą jest 1, a najmniejszą jest 1. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
69 PRZYKŁAD 2B. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = warunku = 2 dla 0, 0. prz Tm razem krzwa opisana warunkiem to (pierwsza) ćwiartka okręgu razem z końcami : K 1 (0, 2), K 2 ( 2, 0). Z przkładu 2A wiem, że są czter punkt podejrzane : P 1 (1, 1), P 2 ( 1, 1), P 3 (1, 1), P 4 ( 1, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
70 Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku = 2 dla 0, 0. P 1 Na naszej krzwej leż jednie punkt P 1 (1, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
71 Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku = 2 dla 0, 0. P 1 Na naszej krzwej leż jednie punkt P 1 (1, 1). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w P 1 i na końcach krzwej: JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
72 Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku = 2 dla 0, 0. P 1 Na naszej krzwej leż jednie punkt P 1 (1, 1). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w P 1 i na końcach krzwej: f (P 1 ) = f (1, 1) = 1, f (K 1 ) = f (0, 2) = 0, f (K 2 ) = f ( 2, 0) = 0. Wartością największą jest 1, a najmniejszą jest 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
73 RÓŻNICZKA DEFINICJA. Różniczką funkcji f (, ) w punkcie ( 0, 0 ) (dla przrostów d, d) nazwam wrażenie df ( 0, 0 ) = f ( 0, 0 )d + f ( 0, 0 )d (zakładam tu, że funkcje f, f, f są ciągłe w pewnm obszarze). Preczjniejsz zapis różniczki to: df ( 0, 0, d, d). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
74 RÓŻNICZKA WŁASNOŚĆ. df ( 0, 0 ) f = f ( 0 + d, 0 + d) f ( 0, 0 ), czli f ( 0 + d, 0 + d) f ( 0, 0 ) + df ( 0, 0 ). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
75 f ( 0 + d, 0 + d) f ( 0, 0 ) + df ( 0, 0 ). Stosując powższą własność oblicz przbliżoną wartość wrażenia (8, 02) 2 + (6, 03) 2. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
76 f ( 0 + d, 0 + d) f ( 0, 0 ) + df ( 0, 0 ). Stosując powższą własność oblicz przbliżoną wartość wrażenia (8, 02) 2 + (6, 03) 2. Przjmujem: f (, ) = 2 + 2, 0 = 8, d = 0, 02, 0 = 6, d = 0, 03. Wted f (, ) = f (, ) = , f (8, 6) = , f (8, 6) = 8 = 0, 8, = 0, Zatem (8, 02) 2 + (6, 03) 2 = f ( 0 + d, 0 + d) f ( 0, 0 ) + df ( 0, 0 ) = f (8, 6)d + f (8, 6)d = + 0, 8 0, , 6 0, 03 =, 034. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
77 SZACOWANIE BŁĘDU WŁASNOŚĆ. Pewne wielkości fizczne są powiązane wzorem z = f (, ) (zakładam tu, że funkcje f, f, f są ciągłe). Jeżeli, oznaczają błęd (bezwzględne) prz pomiarze wielkości oraz, to błąd (bezwzględn) prz obliczeniu wielkości z jest w przbliżeniu równ z f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 ). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
78 z f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 ). Zmierzono objętość ciała V 0 = cm 3 z dokładnością V = 0, 01cm 3 oraz masę m 0 = 6g z dokładnością m = 0, 05g. Z jaką, w przbliżeniu, dokładnością obliczm gęstość tego ciała stosując wzór ϱ = m V? Zastosujem wzór: ϱ ϱ m(m 0, V 0 ) m + ϱ V (m 0, V 0 ) V. Ponieważ ϱ m = 1 V, ϱ m(m 0, V 0 ) = 1, ϱ V = m, ϱ V 2 V (m 0, V 0 ) = 6 więc ϱ 0, 1 0, , 06 0, 01 = 0, , Oznacza to, że błąd bezwzględn prz obliczaniu gęstości wnosi w przbliżeniu 0, 0056 g cm 3. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
79 PŁASZCZYZNA STYCZNA do wkresu funkcji z = f (, ) w punkcie ( 0, 0, z 0 ) ma równanie z z 0 = f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) (zakładam tu, że funkcje f, f, f są ciągłe w pewnm obszarze). PRZYKŁAD. Napisz równanie płaszczzn stcznej do wkresu funkcji f (, ) = w punkcie (1, 2, 2). f = 9 2, f (1, 2, 2) = 1 2 2, f = 9 2 2, f (1, 2, 2) = 1; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
80 PŁASZCZYZNA STYCZNA do wkresu funkcji z = f (, ) w punkcie ( 0, 0, z 0 ) ma równanie z z 0 = f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) (zakładam tu, że funkcje f, f, f są ciągłe w pewnm obszarze). PRZYKŁAD. Napisz równanie płaszczzn stcznej do wkresu funkcji f (, ) = w punkcie (1, 2, 2). f = 9 2, f (1, 2, 2) = 1 2 2, f = 9 2 2, f (1, 2, 2) = 1; płaszczzna ma równanie: z 2 = 1 2 ( 1) + ( + 2), czli 1 + z + 4, 5 = 0. 2 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA / 47
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Funkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y
Elementy algebry i analizy matematycznej II
Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu
Matematyka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowych
Matematka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowch. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(, ) = ( 2 + 2 2 )e (2 + 2 ) Odp. Jedno minimum (w p. (, )),
Równania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Równania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)
Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Analiza Matematyczna II.1, kolokwium rozwiazania 9 stycznia 2015, godz. 16:15 19:15
Analiza Matematczna II., kolokwium rozwiazania 9 stcznia 05, godz. 6:5 9:5 0. Podać definicj e zbioru miar 0. Udowodnić, że jeśli A = {(x,, z) : (x )(x + + z ) = 0}, to l (A) = 0. Zbiorem miar zero jest
9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi
Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór
Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.
Pochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych
Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona
EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012
Centralna Komisja Egzaminacjna EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA ODPOWIEDZI I PROPOZYCJE OCENIANIA PRZYKŁADOWEGO ZESTAWU ZADAŃ PAŹDZIERNIK 2011 Zadania
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego
NIELINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego ma postać:
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji
Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0
Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Definicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Wektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
FINAŁ 10 marca 2007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut. x +
FINAŁ 0 marca 007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut ZADANIE Największ wspóln dzielnik dwóch liczb naturalnch wnosi 6, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność tch liczb równa jest
Ekstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)
1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 8 Ekstrema warunkowe (mnożnik Lagrange a) ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Częśd 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Jak
Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 7 Największe i najmniejsze wartości funkcji (ekstrema globalne) ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Częśd 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Tematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Macierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim
Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy
Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników
Rozwiązwanie układu równań metodą przeciwnch współcznników Sposob postępowania krok po kroku: I. przgotowanie równań. pozbwam się ułamków mnoŝąc kaŝd jednomian równania równań przez najmniejszą wspólną
Pochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.
WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Funkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Zadania optymalizacyjne
Zadania optymalizacyjne Zadania optymalizacyjne, to zadania, w których należy obliczyć, jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna wielkość osiągała największą lub najmniejszą wartość Żeby żądane warunki
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
W. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon Zadanie 0. an jest sześcian (zobacz rsunek), którego krawędź ma długość 5. unkt i dzielą krawędzie i w stosunku :, to znacz, że 0. łaszczzna
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Programowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
AB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY MARCA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Stężenie roztworu poczatkowo wzrosło
Równania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Funkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Elementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Zadania do rozdziału 10.
Zadania do rozdziału 0. Zad.0.. Jaką wsokość musi mieć pionowe zwierciadło ab osoba o wzroście.80 m mogła się w nim zobaczć cała. Załóżm, że ocz znajdują się 0 cm poniżej czubka głow. Ab prawidłowo rozwiązać
Funkcje wielu zmiennych (c.d.)
Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40 Minimum lokalne
Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Warsztat pracy matematyka
Warsztat prac matematka Izabela Bondecka-Krzkowska Marcin Borkowski Jęzk matematki Teoria Jednm z podstawowch pojęc matematki jest pojęcie zbioru. Teorię opisującą zbior nazwa sie teorią mnogości. Definicja
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4
ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie 4. 0-0,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie 4.- 0-0,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane?
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.
Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY
PRÓNY EGZMIN GIMNZJLNY Z MTEMTYKI ZESTW PRZYGOTOWNY PRZEZ SERWIS WWW.ZDNI.INFO 19 MRC 2016 CZS PRCY: 90 MINUT 1 Informacja do zadań 1 i 2 Promocja w zakładzie frzjerskim jest zwiazana z wiekiem klienta
(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej