Fizyka dla Informatyki Stosowanej

Transkrypt

1 Fizka dla Informaki Sosowanej Jacek Golak Semesr zimow 08/09 Wkład nr 7

2 Na poprzednim wkładzie zajmowaliśm się elemenami saki i dnamiki brł szwnej. Jes o z definicji zbiór punków maerialnch o ej własności że jego kszał się nie zmienia. Odległości międz każdą parą punków worzącch en układ pozosają sałe w czasie. Z mślą o dalszch zasosowaniach przpominam kilka podsawowch pojęć: Masa całkowia układu: Środek mas układu: M i m i M r m r cm i i rcm M i M d m r d m

3 Ab znaleźć prędkość kąową brł szwnej częso wgodnie jes skorzsać z zależności międz prędkością w układzie inercjalnm U oraz w układzie U szwno związanm z brłą. Częso (ale nie zawsze począek układu U umieszczam w środku mas brł szwnej. U O z r i z' U' R O ' r i' m i ' r ' i v i ri R dr d r ' i ' Jeśli znam prędkość dowolnego punku brł (poza punkem O i jego położenie względem punku O o z ego wzoru można policzć wekor prędkości kąowej!

4 nergia poencjalna brł szwnej w jednorodnm ziemskim polu grawiacjnm g (00 g g 0 g z d m g po z cm z d m o iloczn całkowiej mas brł szwnej warości przspieszenia ziemskiego oraz składowej z wekora położenia środka mas brł. Wgląda o ak jak energia poencjalna punku maerialnego o masie M kór znajduje się na wsokości z cm. g M

5 ' ' ' ' ' ' ' r dm dm r v M v r dm dm r v dm v r v r dm v r v dm dm v v m r r r r r r r i i i kin nergia kineczna jes sumą (całką po wszskich punkach brł szwnej: dm m M d dr v i i r

6 Ruch płaski brł szwnej Każd punk brł szwnej porusza się sale w płaszczźnie równoległej do pewnej usalonej płaszczzn w układzie odniesienia U zwanej płaszczzną kierującą. Chwilowa oś obrou jes sale prosopadła do płaszczzn kierującej podobnie jak wekor prędkości kąowej. Wówczas nie porzebujem ogólnego wzoru z ensorem momenu bezwładności i wsarcz nam momen bezwładności względem usalonej osi: dm r' I I dm l odległość od osi obrou l d m

7 Dwa szczególne przpadki: ( Jeden punk brł szwnej jes nieruchom w układzie U (na przkład ruch względem usalonej osi obrou kin M v r v dm r' dm r' r ( Zapisujem energię kineczną jako sumę energii kinecznej środka mas oraz energii kinecznej względem środka mas (na przkład saczanie się brł z równi pochłej kin M v r v dm r' dm r' r prędkość środka mas

8 Z punku widzenia dzisiejszego wkładu umiejęność znajdowania energii kinecznej i poencjalnej układu odgrwa kluczową rolę!

9 Na poprzednich wkładach poznaliśm zasad dnamiki Newona oraz ich konsekwencje zwłaszcza prawa zachowania dla pojednczego punku maerialnego i układu punków maerialnch. Wiem że prz pomoc równań Newona możem (w zasadzie przewidzieć jak będzie wglądać ruch układu punków maerialnch jeśli znam wszskie działające sił i warunki począkowe. Na m wkładzie będziem zajmować się elemenami formalizmu agrange a czli innego sformułowania dnamiki kórego auorem jes włosko-francuski asronom i maemak Joseph-ouis agrange ( Wśród wielu osiągnięć ego człowieka należ wmienić przede wszskim sworzenie podsaw rachunku wariacjnego. W zagadnieniach wariacjnch szukam funkcji dla kórej całka (zwana funkcjonałem przjmuje warość eksremalną.

10 Przkład : Jakim wzorem powinna bć dana krzwa łącząca na płaszczźnie dwa usalone punk P ( i P (? całka S( zależ od wboru funkcji ( S( ds d d d '( ( ' Ab całka S( (zwana funkcjonałem przjmowała warość eksremalną funkcja ( musi spełniać warunek zwan równaniem agrange a-ulera: d d '

11 0 '' 0 ' '' 3 Dlaego dosajem po prosu: co oznacza że ( b a gdzie oraz a b 3 ' '' ' ' ' ' 0 d d W naszm przpadku zachodzi:

12 Przkład : Powierzchnia obroowa powsaje w nasępując sposób: Dwa usalone punk ( i ( w płaszczźnie są połączone krzwą =(. Cała a krzwa jes nasępnie obracana wokół osi b sworzć powierzchnię. Pole powierzchni bocznej ej figur obroowej dane jes wzorem: S Można pokazać prz pewnch dodakowch założeniach że krzwa dla kórej powierzchnia boczna przjmuje warość eksremalną ma posać d o ( gdzie 0 i 0 są sałmi. '(. cosh( / o o

13 W mechanice agrange a zasadniczą rolę odgrwa funkcjonał zwan działaniem: di ( d s s i d kór jes zdefiniowan dla ruchu układu opisanego funkcjami i ( rwającego od chwili do chwili. Działanie jes więc funkcjonałem ruchu. Funkcjonał jes odwzorowaniem w kórm rolę zmiennej niezależnej pełni funkcja lub zbiór funkcji (prz danm zapisie jes o s funkcji i ( a warością odwzorowania jes warość całki oznaczonej z funkcji agrange a wkonanej po usalonm przedziale czasu (. s jes minimalną liczbą paramerów porzebnch do opisu położenia wszskich elemenów układu. Nazwam ją liczbą sopni swobod układu. Funkcje i ( wbierane z uwzględnieniem więzów do opisu sanu układu nazwam współrzędnmi uogólnionmi. Ich pochodne po czasie o zw. prędkości uogólnione.

14 Twierdzenie kóre podaję bez dowodu mówi że funkcja agrange a (lagranżjan dana jes wzorem: czli jes różnicą energii kinecznej i poencjalnej układu. Z zasad najmniejszego działania (ściślej z żądania b całka działania przjmowała warość eksremalną wnika że funkcje i ( spełniają układ równań ulera-agrange a: ( ( ( s s po s s kin s s...s. i i d i d

15 d i d i i...s. Te równania nazwam równaniami agrange a (mówiąc ściślej równaniami agrange a II rodzaju bo są jeszcze równania agrange a I rodzaju. Jes o układ s równań różniczkowch zwczajnch drugiego rzędu na s funkcji czasu i (. Rozwiązania ch równań zależą więc od s sałch kóre są wznaczone przez uogólnione położenia począkowe i (=0 oraz uogólnione prędkości począkowe d i /d(=0.

16 Przekonam się na konkrench przkładach że podejście agrange a posiada isone zale w suacji gd można zaniedbać zmian energii układu na skuek działania sił arcia: Równania agrange a mają ę samą posać niezależnie od wboru układu współrzędnch. W podejściu Newona jes inaczej: Nawe dla pojednczego punku maerialnego II zasada dnamiki ma inną posać we współrzędnch karezjańskich we współrzędnch walcowch i we współrzędnch sfercznch. To podejście pozwala całkowicie weliminować sił reakcji więzów. Sił reakcji więzów nie zawsze ławo jes znaleźć a częso nie jeseśm nimi bezpośrednio zaineresowani gd ważna jes dla nas informacja o ruchu układu. Przkład: ruch koralika bez arcia po drucie o zadanm kszałcie. Daje ławiejsz wgląd w wielkości zachowane: Jeśli na przkład zachodzi i 0 cons o aką współrzędną i nazwam współrzędną ckliczną. i

17 Inegralną częścią wkładu jes eks hp://users.uj.edu.pl/~golak/f8-9/lagrange.pdf Polecam akże opracowanie dokora Sławomira Brzezowskiego doczące mechaniki eorecznej dosępne na sronie: hp:// W dalszm ciągu wkładu będziem zajmować się konkrenmi przkładami opracowanmi w posaci noebooków i dosępnmi na mojej sronie. W szczególności są o: hp://users.uj.edu.pl/~golak/f8-9/wahadlo_maemaczne.nb hp://users.uj.edu.pl/~golak/f8-9/ruchoma_rownia.nb hp://users.uj.edu.pl/~golak/f8-9/krzwa_rzeciego_sopnia.nb hp://users.uj.edu.pl/~golak/f8-9/wahadlo_na_rowni.nb hp://users.uj.edu.pl/~golak/f8-9/wahadlo_maemaczne_o_zmiennej_dlugosci.nb hp://users.uj.edu.pl/~golak/f8-9/pre_po_osiach.nb hp://users.uj.edu.pl/~golak/f8-9/polkula_na_gladkiej_powierzchni.nb hp://users.uj.edu.pl/~golak/f8-9/polkula_na_szorskiej_powierzchni.nb

18 Przkład : osclaor harmoniczn pros Mam u pros układ o jednm sopniu swobod gdzie paramerem określającm san układu jes rozciągnięcie sprężn = kin po ( ( m k

19 ( ( ( k m po kin m m d d d d m k d d m k

20

21 Przkład : wahadło maemaczne płaskie Tu eż mam pros układ o jednm sopniu swobod gdzie paramerem określającm san układu jes ką wchlenia od pionu =φ. Uwaga: współrzędna uogólniona nie musi bć klasczną współrzędną i nie musi mieć wmiaru mera.

22 Najpierw wrażam położenie mas punkowej przez współrzędną uogólnioną : cos( ( ( sin( cos( cos( sin( mgl m g ml m l l l l po kin cos( ( ( ( mgl ml po kin

23 ml ml d d d d ml mgl d d sin( sin( sin( l g ml mgl cos( ( ( ( mgl ml po kin

24

25 Przkład 3: ruch koralika po drucie o zadanm kszałcie Mam u pros układ o jednm sopniu swobod gdzie paramerem określającm san układu jes współrzędna wekora położenia koralika. Pomimo ego że koralik porusza się w płaszczźnie jego współrzędna jes określona przez wzorem =a(-c +b(-c 3. Dlaego przjmujem że współrzędna uogólniona o =

26 3 3 b( - c a( - c ( 3 b ( a - 3 b c (c - ( ( 3 b ( a - 3 b c (-c b( - c a( - c mg m g m m po kin ( a - 3 b c + 3 b m (+ (c - + b c + b (a - -g m (c - ( ( ( po kin

27 d d d d -m (c - m (+ (c - d d - 4 m (c - (- a + 3 b c - 3 b (-a + 3 b c - 3 b m (+ (c - (- a + 3 b c - 3 b m (+ (c - ( a - 3 b c + 3 b ( a - 3 b c + 3 b (g - ( a - 3 b c + 3 b (a - 3 b c + 3 b +

28 ((c - (+ c ( a - 6 b c + 3 b (-4 a c + 6 b c ( a - 3 b c + 3 b (g + (a - 3 b c + 3 b ( a - 3 b c + / + ( a - 6 b c + 3 b To równanie jes paskudnie nieliniowe i nie ma co nawe marzć o isnieniu analicznego rozwiązania. Numerczne rozwiązanie ego równania nie swarza większch rudności! Każd krok porzebn do uzskania ego równania i samo numerczne rozwiązanie można uzskać (niemal auomacznie w programie Mahemaica

29

30 Przkład 4: ruch pręa po osiach układu współrzędnch (brła szwna! Jednorodn cienki prę o masie m i długości ślizga się po osiach układu współrzędnch i nie odrwa się od nich w żadnm momencie ruchu (więz!. Położenie pręa jes jednoznacznie określone przez ką ϕ co oznacza że mam do cznienia z układem o jednm sopniu swobod.

31 W m prosm przpadku możem policzć energię kineczną na dwa sposob: (a wpros z definicji jako sumę (całkę energii kinecznch wszskich punków pręa (b sumując energię kineczną środka mas pręa i energię kineczną pręa liczoną względem środka mas. W przpadku (b należ znaleźć prędkość kąową ω( i wrazić ją przez pochodną ϕ'(. Na wkładzie z braku czasu ograniczę się do ego pierwszego sposobu i policzę energię kineczną pręa prz pomoc całki. Drugi sposób można znaleźć w noebooku. Dowoln punk pręa ma położenie i prędkość dane przez paramer l ( lcos( ( l sin( l cos( v l sin( l cos ( ( l sin (

32 nergię kineczną policzm jako sumę (całkę energii kinecznch wszskich punków pręa: d kin kin 0 mdl dm dm 0 0 mdl l cos ( ( l sin ( m nergia poencjalna zależ jednie od wsokości środka mas pręa. Dla jednorodnego pręa środek mas znajduje się oczwiście w jego środku geomercznm. po mg sin( 6

33 Mam więc bardzo prosą funkcję agrange a: ( kin ( po ( 6 m mg sin( d d d d 3 mgcos( m d d 3 m 3 m mgcos( 3 g cos( m 3

34 W efekcie dosajem rochę mniej rwialne wahadło:

35 Przkład 5: dwa wahadła sprzężone Dwa wahadła o ej samej długości l z masami m i m zawieszono na ej samej wsokości w odległości a. Mas połączono nieważką sprężną o sałej sprężsości k. Zakładam że swobodna sprężna ma długość a.

36 Współrzędnmi uogólnionmi są ką ϕ i ϕ ( =ϕ oraz =ϕ ( l sin( ( ( lcos( ( ( a l sin( ( ( lcos( ( kin m m po m g m g k a kin po To koniec naszej prac! Teraz pracuje Mahemaica.

37 równania agrange a

38 m m ( 0 ( 0 0 ( 0 ( 0 0 W każdej chwili wahadła mają e same wchlenia więc sprężna nie jes ani ściskana ani rozciągana.

39 m m ( 0 ( 0 0 ( 0 ( 0 0 W każdej chwili wahadła mają przeciwne wchlenia.

40 m m ( 0 0 ( 0 0 ( 0 ( 0 0 ciągł przekaz energii międz wahadłami

41 Zachęcam do obejrzenia wielu innch przgoowanch przeze mnie przkładów: hp://users.uj.edu.pl/%7golak/zesawf.hml hp://users.uj.edu.pl/%7golak/zesawnof.hml