Opis ruchu obrotowego

Transkrypt

1 Opis ruchu obrotowego Oprócz ruchu translacyjnego ciała obserwujemy w przyrodzie inną jego odmianę: ruch obrotowy Ruch obrotowy jest zawsze względem osi obrotu W ruchu obrotowym wszystkie punkty zakreślają okręgi których środkiem jest oś obrotu Położenie kątowe Przesunięcie kątowe = 2 1 Q,t 2 P,t 1 θ 1 θ 2

2 Opis ruchu obrotowego Prędkość kątowa średnia śr = 2 1 t 2 t 1 = t [ rad. s ] Prędkość kątowa chwilowa = lim t 0 = t = d d t = 2 1 Q,t 2 P,t 1 θ 1 θ 2

3 Opis ruchu obrotowego Przyspieszenie kątowe średnie śr = 2 1 t 2 t 1 = t [ rad. s 2 ] Przyspieszenie kątowe chwilowe = lim t 0 t = d d t = d 2 d t 2 druga pochodna Prędkość kątowa, przyspieszenie kątowe jest takie samo dla wszystkich punktów bryły sztywnej, ale punkty nie poruszają się z taką samą prędkością liniową

4 Ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem Ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem opisujemy podobnie jak dla ruchu postępowego t = 0 0 t t 2 t = 0 t 1 0 =

5 Związek między prędkością kątową a prędkością liniową kiedy punkt P przemieszcza się to zakreśla łuk s = r wartość prędkości liniowej v = ds = d r = d r = r wartość przyspieszenia = d jest przyspieszeniem stycznym do toru!!! = d v/r a t = r = dv 1 r = a t r

6 Energia ruchu obrotowego Każdy punkt materialny ma energię kinetyczną E k i = m i v i = m i 2 r i 2 Kiedy sumujemy energię wszystkich punktów bryły E k = i m i v i 2 2 = i m i 2 r i 2 2 gdzie E k = 2 2 i I = i m i r i 2 m i r i 2 nazywamy momentem bezwładności bryły więc E k = I 2 2

7 Moment bezwładności bryły Moment bezwładności zależy od osi obrotu, np.: kiedy oś obrotu jest wzdłuż y I = M a 2 Ma 2 m0 2 m0 2 = 2Ma 2 kiedy oś obrotu jest prostopadła do x i y I = M a 2 Ma 2 mb 2 mb 2 I = 2 Ma 2 mb 2

8 Moment bezwładności bryły Ogólnie moment bezwładności liczy się wg formuły: I = r 2 dm Oto przykłady momentów bezwładności: I = M R 2 I = M 2 R 2 1 R 2 2 I = 1 2 M R2 I = M 12 a2 b 2 Trzeba zwrócić uwagę gdzie jest oś obrotu!!!

9 Moment bezwładności bryły Ogólnie moment bezwładności liczy się wg formuły: I = r 2 dm Oto przykłady momentów bezwładności: I = 1 12 M L2 I = 1 3 ML2 I = 2 5 M R2 I = 2 3 MR2 Trzeba zwrócić uwagę gdzie jest oś obrotu!!!

10 Moment bezwładności bryły szczególny punkt środek masy środek masy jest wektorem położenia r śr = i i m i r i m i y m 1 r 1 r śr m 2 r 2 m 3 r 3 i m i r i m 2 r 2 m 3 r 3 m 1 r 1 r śr x

11 Moment bezwładności bryły równoległe przesuniecie osi obrotu Twierdzenie Steinera nowa oś Obrotu równoległa do poprzedniej oś obrotu przechodząca przez środek masy d I = I 0 M d 2

12 Moment siły obracającej obiekt Def.: M = r F Wartość momentu siły: oś obrotu ramię siły linia działania siły M = r F sin M = F d ramię siły d = r sin Kierunek i zwrot momentu siły określa reguła śruby prawoskrętnej

13 Moment siły obracającej obiekt Def.: M = r F Kierunek i zwrot momentu siły określa reguła śruby prawoskrętnej

14 Moment sił obracających - przykład M = M 1 M 2 = r 1 F 1 r 2 F 2 Momenty sił F 1 i F 2 są przeciwnie skierowane M = F 1 d 1 F 2 d 2 M = F 1 R 1 F 2 R 2

15 Moment siły obracającej i przyspieszenie kątowe Faktyczna siła która obraca obiekt jest prostopadła do promienia obrotu F t = m a t r F t = r ma t = m r 2 M = m r 2 ogólnie : M = I II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego M = I Całkowity moment sił działających na bryłę Przyspieszenie kątowe Moment bezwładności względem osi obrotu

16 Energia toczącego się obiektu

17 Energia toczącego się obiektu Energia kinetyczna E k = 1 2 I 2 Z tw. Steinera E k = 1 2 I mr2 2 Ruch obrotowy względem chwilowej osi obrotu w punkcie P albo E k = 1 2 I mv 2 śr.m

18 Energia toczącego się obiektu Ruch toczącego się obiektu jest złożeniem ruchu obrotowego i ruchu translacyjnego E k = 1 2 I mv 2 śr.m Energia ruchu obrotowego względem osi przechodzącej przez środek masy Energia ruchu translacyjnego środka masy

19 Energia toczącego się obiektu - przykład F x = mg sin T = ma F y = n mg cos T R = I 0 a = R Moment siły tarcia, które powoduje obrót a = g sin 1 I 0 mr 2

20 Moment pędu obracającej się masy m Def.: L = r m v Wartość momentu pędu: L = r mv sin d L = d r mv = r dp d r p II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego M = d L Całkowity moment sił działających na cząstkę M = r dp 0 Zmiana w czasie momentu pędu cząstki

21 Moment pędu bryły (układu cząstek) Def.: L = L 1 L 2 L 3... L N = 2 i L = m i r 2 i = m i r i i i L = I L i Moment bezwładności bryły względem osi obrotu Prędkość kątowa bryły II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego d L = i d L i = d i L i M = d L Całkowity moment sił działających na bryłę Zmiana w czasie momentu pędu bryły

22 Zasada zachowania momentu pędu Wynika z II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego M = d L Jeśli na układ cząstek nie działają żadne momenty sił zewnętrznych (albo momenty te się równoważą) to moment pędu układu jest stały w czasie d L = 0 L = const I = const

23 Zasada zachowania momentu pędu - przykłady I = const I 1 1 = I 2 2 Łyżwiarz w trakcie wolnego obrotu zmienia (zmniejsza) swój moment bezwładności 2 = I 2 I 1 1 W konsekwencji rośnie jego prędkość obrotowa

24 Zasada zachowania momentu pędu - przykłady I 1 1 = I = 1 2 MR2 mr MR2 mr 2 1