ver b drgania harmoniczne

Transkrypt

1 ver b drgania harmoniczne

2 drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne N = n=1 A n cos nω n Fig (...)

3 analiza Fouriera

4 małe drgania E p E E k jeden sopień swobody: E p -A E p A 0 równowaga rwała: de p d =0, d 2 E p d 2 0 usalmy: E p 0 =0 MacLaurin: E p = E p 0 de p d d 2 E p 2 d 2 0

5 przybliżenie małych drgań E p E k E E p = 1 2 d 2 E p 2 d 2 0 = 1 2 k 2, k 0 E p F = de p d = k -A 0 A

6 siła sprężysości siła sprężysości: F= k k - współczynnik sprężysości (R.Hooke, 1676)

7 oscylaor harmoniczny F = k r r F =0 ruch jes płaski y v 0 r 0 F 0 siła cenralna siła zachowawcza ogólnie orem jes elipsa w płaszczyźnie: r 0, v 0

8 oscylaor jednowymiarowy F= k k 0 m d 2 d 2 = k d 2 d ω =0 ω 0= k m A rozwiązanie: T = Acos ω 0 ϕ /ω 0

9 paramery A T = Acos ω 0 ϕ /ω 0 ω 0= k m ω 0 - częsość kołowa A - ampliuda ϕ - faza począkowa ω 0 - faza w chwili periodyczność: dla każdego (zależy od war. począkowych) (zależy od war. począkowych) T = T - okres drgań: T = 2π ω 0 częsoliwość: ν= 1 T

10 A ω 0 ϕ A 2 = 1 2 A 1 ω 2 =2ω 1 2 = 1 π 4

11 v a A = Acos ω 0 v = Aω 0 sin ω 0 = Aω 0 cos ω 0 π 2 v ω 0 A ampliuda: Aω 0 przesunięcie fazy: π/2 a = Aω 0 2 cos ω 0 = Aω 0 2 cos ω 0 π ampliuda: Aω 0 2 przesunięcie fazy: π a ω 02 A

12 warunki począkowe A, ϕ są określone przez warunki począkowe w chwili = 0 : 0 = Acos v 0 = ω 0 Asin czyli: A= 2 0 v ω 0 an ϕ= v 0 0 ω 0

13 energia E p = 0 F d =k 0 d = k 2 2 k E p = 1 2 k 2 = 1 2 ka2 cos 2 ω 0 = 1 2 E [1 cos 2 ω 0 ] E k = 1 2 mv 2 = 1 2 ma2 ω 0 2 sin 2 ω 0 = 1 2 E [1 cos 2 ω 0 ] k=mω 0 2 więc: E p ma =E k ma =E E= E p E k = 1 2 ka2 = 1 2 ma2 ω 0 2 siła sprężysa jes zachowawcza i energia całkowia jes sała w czasie

14 rys. E p E/2 E k E/2

15 drgania dwóch ciał 1 2 d 0 m 1 m 2 m 1 d 2 1 d 2 m 2 d 2 2 d 2 =k = k nowa zmienna: = 2 1 d jes o wydłużenie sprężyny, > 0 położenie równowagi: = 0 m 1 m 2 m 1 m 2 d 2 2 d 2 d 2 1 d = k m 1 m ozn 2 = 2 m 1 m 2 μ μ d 2 d 2 = k masa zredukowana ω 2 = k μ T =2π μ k

16 wahadło maemayczne M momen sił: M = mgd sin α ω α d momen bezwładności: równanie: I =md 2 md 2 d 2 α = mgd sin α 2 d mg d 2 α d 2 g d sin α=0 dla małych drgań: ω 0= g d d 2 α d 2 g d α=0 T =2π d g [ sin 2 α ma α = Acos ω sin α 4 ma 4 2 ]

17 wahadło fizyczne α d momen sił: M = mgd sin α momen bezwładności: I mg sin α mg cos α równanie: I d 2 α = mgd sin α 2 d mg d 2 α d mgd 2 I sin α=0 dla małych drgań: d 2 α d mgd 2 I np. prę zawieszony na jednym z końców: I = ml2 12 m l /2 2 = ml 2 3 (w. Seinera) α=0 ω 0= mgd I ω 0= mgl/2 ml 2 /3 = 2g 3l

18 wahadło

19 superpozycja drgań równoległych 1 = A 1 cos ω =A 2 cos ω 0 2 = 1 2 = Acos ω 0 ω 0 A A 2 = A 1 2 A 2 2 2A 1 A 2 cos 2 1 A 2 ϕ 2 ϕ ϕ 1 A 1 an = A 1 sin 1 A 2 sin 2 A 1 cos 1 A 2 cos 2

20 częsość kołowa

21 składanie drgań 1 2 =0 A= A 1 A =±π A= A 1 A 2

22 dudnienia ω ' =ω Δω Δω << ω 1 = Acos ω 2 =A cos ω Δω A = A, ϕ = ϕ = 0 =[ = 1 2A cos Δω ] cos ω

23 drgania prosopadłe { = Acos ω y= Bcos ω równania parameryczne oru 2 A 2 y2 B 2 2 y AB cos =sin 2 elipsa y

24 przykłady B { =0 y= A =±π y= B A degeneracja do prosej =± 1 2 π A = B = R { = R cos ω y=±r cos ω ruch po okręgu z prędkością kąową ω krzywe Lissajous: (ω 1 ω 2 ) hp://galeb.ef.bg.ac.yu/~milosr/java/lissajou/lissajou.hm hp://

25 drgania łumione m d 2 d = k r 2 d d r = cons - współczynnik oporu siła sprężysa siła oporu (niezachowawcza) d 2 d 2β 2 d d ω 2 0 =0 ω 2 0 = k m - własna częsość kołowa def β = r 2m - współczynnik łumienia rozwiązanie: = A 0 e β cos ω

26 drgania łumione (cd.) = A 0 e β cos ω A = A 0 e β ω= ω 0 2 β 2 - zmienna ampliuda... dekremen: λ=ln A A T = βt energia maleje: dl d =Fv= r d 2 (<0) d

27 częsość = A 0 e β cos ω ω= ω 0 2 β 2 - częsość drgań łumionych ω 0 β łumienie powoduje zmniejszenie częsości ale ω =cons T = 2π ω 2 0 β 2 rośnie wraz z β

28 ruch aperiodyczny β=ω 0 - ruch kryyczny =e β 1 β β ω 0 - ruch aperiodyczny = Ae β β 2 2 ω 0 Be β β 2 2 ω 0

29 drgania wymuszone d 2 d F =F 0 cos ω f 0 = F 0 2β 2 d d ω 2 0 = f 0 cos ω m równanie niejednorodne rozwiązanie: ogólne + szczególne drgania zanikające drgania o sałej ampliudzie (nie zależą od war. począkowych)

30 rezonans A= f 0 ω 0 2 ω 2 4β 2 ω 2 an = 2 βω ω 0 2 ω 2

31 częsość rezonansowa maksimum ampliudy: da dω =0 4 ω 0 2 ω 2 ω β 2 ω=0 ω r = ω 0 2 2β 2 f 0 A r = 2β ω 2 0 β 2 β 0 2β 2 ω 0 2 ω r =ω 0 A r brak rezonansu ω 0 A F 0 mω 0 2

32 krzywe rezonansowe A β 1 > β 2 > β 3 > β 4 > β 5 ω 0 ω

33 rezonans parameryczny l l hp://

34 koniec

35 zagadnienia małe drgania ruch harmoniczny energia drgań harmonicznych wahadło składanie drgań drgania łumione rezonans

36 glossary periodic moion elasiciy Hook s law spring poenial energy simple pendulum, large ampliude p. equilibrium period, frequency, ampliude resonan freqency damped harmonic oscillaor driven oscillaor over(under)damped, criical damping double pedulum