Przykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx =

Transkrypt

1 achunek prawdopodobieństwa MAP6 Wdział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wkładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przkład do list : Całki podwójne Przkład do zadania. : Obliczć dane całki podwójne po wskazanch prostokątach [ (a) sin( + ) dd, =, ] [, ] sin( + ) dd = = ( cos( + ) = = d d = = = ( sin( + ) + sin sin( + )d = ( cos( + ) + cos )d = = sin + sin + sin sin ( ) = (b) = ( + ) dd, = [, ] [, ] ( + ) dd = = ( + d ( + )d = = d = = ( + ) d = (c) (d) = = e + dd, = [, ] [, ] e + dd = e e dd = = e d e d = e d = = = e = (e ) = ( + ) dd, = [, ] [, ] ( + ) dd = dd + dd = = d d + d d = d d =, bo druga całka w ilocznie równa jest jako całka z funkcji nieparzstej po przedziale smetrcznm względem.

2 Przkład do zadania. : Podane całki podwójne zamienić na całki iterowane i obliczć. Narsować obszar całkowania. (a) ( + + ) dd, gdzie = { (, ) :, rsunek.5 }.5.5 =.5.5 =/ (b) = ( + + ) dd = ( e dd, gdzie = rsunek d d ( + + ) = + + = = = d = ) d = ln + + ln + = = ln 7 + ln { (, ) : e, }.5.5 =/ = e e dd = ( = e (e ) ln d =e = e d = = e e = e d = = e ( e ) d =

3 (c) dd, gdzie = { (, ) :, }. rsunek.5 =( ) /.5 dd = = d d = d = / / = = = = = d = d = = d = d = Przkład do zadania. : Obszar ograniczon jest krzwmi o podanch równaniach. Całke podwójną (gdzie f(, ) jest ciągła na ) zamienić na dwa rodzaje całek iterowanch. f(, ) dd (a) =, =, = rsunek.5 =.5 = = to obszar normaln względem osi, bo = {(, ) :, } Stąd f(, ) dd = d f(, )d to także obszar normaln względem osi, bo = {(, ) :, } Stąd f(, ) dd = d f(, )d

4 (b) =, = rsunek.5.5 = /.5 = szukam punktów wspólnch podanch krzwch: = =, (, ) =, = = dla = mam = =, dla = mam = = to obszar normaln względem osi, bo = {(, ) :, } Stąd f(, ) dd = rsunek d f(, )d.5.5 =.5 = / to także obszar normaln względem osi, bo = {(, ) :, } Stąd f(, ) dd = d f(, )d

5 5 (c) ( ) + ( + ) = krzwa to okrąg o środku (, ) i promieniu wznaczenie dolnej i górnej funkcji: ( ) + ( + ) = + = ± ( ) = ± ( ), d() = ( ), g() = + ( ), rsunek.5.5 = +( ( ) ) /.5.5 (, ).5 = ( ( ) ) / to obszar normaln względem osi, bo = { } (, ) :, ( ) + ( ) Stąd f(, ) dd = d + ( ) f(, )d ( ) wznaczenie lewej i prawej funkcji: ( ) + ( + ) = = ± ( + ) = ± ( + ), l() = ( + ), p() = + ( + ), rsunek (, ) = ( (+) ) /.5 =+( (+) ) / to także obszar normaln względem osi, bo = { } (, ) :, ( + ) + ( + ) Stąd f(, ) dd = d + (+) f(, )d (+)

6 6 (d) =, =, =, = + dwie ostatnie krzwe to półokręgi: = = ( ) = ( ) + =, lew półokrąg o środku (, ) i promieniu = + + = ( + ) = ( + ) + =, praw półokrąg o środku (, ) i promieniu rsunek = ( ) / = +( ) / (,) (,) to obszar normaln względem osi, bo = { (, ) :, + } Stąd f(, ) dd = d + f(, )d

7 7 nie jest obszarem normalnm względem osi, ale jest sumą takich obszarów o rozłącznch wnętrzach = 5 gdzie = { } (, ) :, ( + ) = { (, ) :, ( + ) } = [, ] [, ] = { } (, ) :, ( ) 5 = { (, ) :, ( ) } rsunek.5 =.5 =( (+) ) / =( ( ) ) /.5 = ( (+) ) / = ( ( ) ) / =.5 Stąd f(, ) dd = + d f(, )d + d (+) f(, )d + d ( ) f(, )d + d f(, )d+ (+) d f(, )d ( )

8 8 (e) =, = to obszar międz parabolą = a prostą = + rsunek.5.5 =.5 =+.5.5 szukam punktów wspólnch tch krzwch: = + = = 9 = =, = + = to obszar normaln względem osi, bo = {(, ) :, + } Stąd f(, ) dd = d + f(, )d jest też obszarem normalnm względem osi, wgodniej przedstawić go jako sumę takich obszarów o rozłącznch wnętrzach = gdzie = {(, ) :, } = {(, ) :, } rsunek.5.5 = /.5 =.5 = / Stąd f(, ) dd = d f(, )d + d f(, )d

9 9 (f) =, = e, = e rsunek 8 7 e =e 6 5 = =ln() =e to obszar normaln względem osi, bo = {(, ) : e, ln } Stąd f(, ) dd = = ln = e e d ln f(, )d Zatem to także obszar normaln względem osi, bo = {(, ) :, e e } Stąd f(, ) dd = e d f(, )d e

10 (g) =, = sin, prz czm rsunek.5 =sin().5 = to obszar normaln względem osi, bo = {(, ) :, sin } Stąd f(, ) dd = d sin f(, )d = sin, = arc sin, = sin, = arc sin,.5 rsunek =arcsin() = arcsin() Zatem to także obszar normaln względem osi, bo = {(, ) :, arc sin arc sin } Stąd f(, ) dd = d arc sin arc sin f(, )d

11 Przkład do zadania. : Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczć podane całki podwójne po wskazanch obszarach: (a) e ( + ) dd, gdzie to obszar ograniczon krzwą + = = {(, ) : + } - koło o środku (, ) i promieniu.5.5 / (b) we współrzędnch biegunowch odpowiada = {(ϕ, ρ) : ϕ, ρ } e ( + ) dd = e ρ ρ dρdϕ = dϕ e ρ ρ dρ = dϕ e ρ ρ dρ = = e ρ = ( e ) dd +, gdzie to obszar ograniczon krzwmi + = 9 i + = 5 = {(, ) : 9 + 5} - pierścień kołow o środku (, ) i promieniu wewnętrznm, zewnętrznm we współrzędnch biegunowch odpowiada = {(ϕ, ρ) : ϕ, ρ 5} 5 dd + = ρ ρ dρdϕ = ρ 5 dϕ ρ dρ = ρ dϕ ρ dρ = 5 = ln ρ = (ln ln 8) = ln

12 (c) dd, gdzie to obszar ograniczon krzwmi + =, + =, =, =, (, ) = {(, ) : +, } - wcinek pierścienia kołowego o środku (, ) i promieniu wewnętrznm, zewnętrznm = = (d) we współrzędnch biegunowch odpowiada = { (ϕ, ρ) : ϕ, ρ } dd = (ρ sin ϕ) ρ dρdϕ = dϕ ρ sin ϕ dρ = sin ϕ dϕ ρ dρ = ϕ= = cos ϕ ρ ρ= ( ) ( 8 = + = ) 7( ) ϕ= ρ= dd, gdzie to obszar ograniczon krzwmi + ( ) =, =, ( ) = {(, ) : + ( ), } - fragment koła o środku (, ) i promieniu leżąc poniżej prostej = = ( ) + ρ ρ sin ϕ ρ sin ϕ Zatem we współrzędnch biegunowch odpowiada = { (ϕ, ρ) : ϕ, ρ sin ϕ} sin ϕ dd = (ρ cos ϕ) ρ dρdϕ = dϕ ρ cos ϕ dρ = ρ ρ= sin ϕ cos ϕ dϕ = = sin ϕ cos ϕ dϕ = sin ϕ = ( ) = 6 ρ=