2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)

Transkrypt

1 Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza wychylenie sruny z położenia równowagi w punkcie x, w chwili czasu. Funkcja f(x, ) przedsawia gęsość siły zewnęrznej, działającej na srunę. Posać a jes równoważna posaci (1.2). Dla powyższego równania rozważać będziemy zagadnienie począkowe w przypadku jednorodnym (gania swobodne) i niejednorodnym (gania wymuszone). Załóżmy, że mamy do czynienia z ganiami swobodnymi, zn. f. Rozważamy nasępujące zagadnienie. Wyznaczyć funkcję u spełniającą równanie (2.1) i warunki począkowe Zakładamy, że ϕ jes klasy C 2, zaś ψ jes klasy C 1. u (x, ) = ϕ (x), u (x, ) = ψ (x) dla x R. (2.2) Zagadnienie (2.1)-(2.2) rozwiążemy sosując meodę d Alembera. Sosując w równaniu (2.1) zamianę zmiennych ξ =, η = sprowadzamy je do posaci kanonicznej u ξη = (porównaj (1.9)). Ogólne rozwiązanie ego równania wyraża się wzorem u = F (ξ) + G (η), gdzie F i G są dowolnymi funkcjami klasy C 2. Wracając do zmiennych x i orzymujemy u (x, ) = F (x + c) + G (x c). (2.3) Funkcje F i G należy dobrać w en sposób, aby spelnione były warunki począkowe (2.2). Warunki (2.2) prowadzą do układu równań funkcyjnych { F (x) + G (x) = ϕ (x) cf (x) cg (x) = ψ (x), 14

2 WYKŁAD 2. STRUNA NIEOGRANICZONA 15 z kórych ławo wyznaczamy wzory na funkcje szukane x x F (x) = 1 2 ϕ(x) + 1 ψ(s)ds i G (x) = 1 2 ϕ(x) 1 ψ(s)ds. (2.4) Podsawiając wzory (2.4) do (2.3) orzymujemy zw. wzór d Alembera dla sruny swobodnej u(x, ) = 1 2 (ϕ(x c) + ϕ(x + c)) + 1 ψ(s)ds. (2.5) Z powyższych wzorów wynika, że zaburzenie kszału sruny spowodowane przez przyjęe warunki począkowe rozchodzi się ze skończoną prędkością wzdłuż osi Ox. Funkcja G(x c) wysępująca we wzorze (2.3) przedsawia falę rozchodzącą się z prędkością c w dodanim kierunku osi Ox, zaś funkcja F (x + c) - falę rozchodzącą się z prędkością c w ujemnym kierunku osi Ox. Rozwiązanie u(x, ) jes sumą ych dwóch fal. P r z y k ł a d 1 Rozwiązać zagadnienie (2.1)-(2.2) przyjmując c = 1, oraz ϕ(x) = x 2, ψ(x) = { (1 x 2 ) 2 dla x 1 dla x > 1. Poniższy rysunek przedsawia kszał sruny w chwili począkowej wraz z rozkładem na funkcje F (linia kropkowana) oraz G (linia kreskowana). P r z y k ł a d 2 Rozwiązać zagadnienie (2.1)-(2.2) przyjmując c = 1, ψ oraz { 3 sin 3 x ϕ(x) = dla x π dla x / [, π]. Nasępny rysunek przedsawia kszał sruny w chwili począkowej wraz z rozkładem na funkcje F i G. W ym przypadku funkcje e są idenyczne.

3 WYKŁAD 2. STRUNA NIEOGRANICZONA 16 Rozdzielenie zaburzenia nasępuje w chwili = π Zagadnienie Cauchy ego dla równania niejednorodnego Rozważmy eraz zagadnienie niejednorodne dla równania (2.1) z jednorodnymi warunkami począkowymi (2.2), zn ϕ, ψ. Rozważmy funkcję u (x, ) określoną wzorem u (x, ) = 1 x+c( r) f(s, r)ds. (2.6) Poprzez bezpośrednie różniczkowanie ławo sprawdzić, że funkcja u spełnia równanie (2.1) oraz, że u (x, ) =. Ponieważ u (x, ) = v (x, ; r), gdzie v (x, ; r) = 1 x+c( r) f(s, r)ds, więc również u (x, ) =. Wynika sąd, że rozwiązanie zagadnienia począkowego (2.1)-(2.2) można zapisać jako sumę rozwiązania danego wzorem d Alembera (2.5) i funkcji u określonej wzorem (2.6). W en sposób orzymujemy wzór d Alembera dla równania niejednorodnego u(x, ) = 1 2 (ϕ(x c) + ϕ(x + c)) + 1 ψ(s)ds + 1 x+c( r) f(s, r)ds (2.7) 2.3 Sabilność rozwiązania Niech u 1 i u 2 będą rozwiązaniami zagadnienia (2.1)-(2.2) odpowiednio dla par funkcji danych (ϕ 1, ψ 1 ) i (ϕ 2, ψ 2 ). Załóżmy, że dla wszyskich x R zachodzą nierówności ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) < δ i ψ 1 (x) ψ 2 (x) < δ. (2.8)

4 WYKŁAD 2. STRUNA NIEOGRANICZONA 17 Na mocy wzoru d Alembera (2.7) można napisać, że u i (x, ) = 1 2 (ϕ i(x c) + ϕ i (x + c)) + 1 ψ i (s)ds + 1 x+c( r) f(s, r)ds dla i = 1, 2. Jeśli rozważać będziemy ewolucję kszału sruny w przedziale czasowym [, T ], o korzysając z (2.8) różnicę pomiędzy rozwiązaniami u 1 i u 2 możemy oszacować nasępująco u 1 (x, ) u 2 (x, ) < 1 2 ϕ 1 (x + c) ϕ 2 (x + c) ϕ 2 (x c) ϕ 2 (x c) ψ 1 (s) ψ 2 (s) ds < 1 2 δ δ + 1 T δ = δ (1 + T ). (2.9) Osania nierówność oznacza, że powyższe zagadnienie jes sabilne. O ile bowiem warunki począkowe zadania nie różnią się o więcej niż o δ, o również rozwiązania w dowolnym zadanym lecz usalonym przedziale czasowym nie różnią się o więcej niż o liczbę δ (1 + T ). Oznacza o ciagłą zależność rozwiązania od warunków począkowych, ponieważ lim δ + δ (1 + T ) =. W akim razie zagadnienie Cauchy ego dla równania sruny jes poprawnie posawione. 2.4 Sruna jednosronnie ograniczona Rozważmy zagadnienie polegające na znalezieniu rozwiązania równania gań półograniczonej sruny swobodnej z warunkami począkowymi 1 2 u c 2 2 u = dla x>, >, (2.1) 2 x2 u (x, ) = ϕ (x), u (x, ) = ψ (x) dla x >. (2.11) Sruna z zamocowanym końcem W ym przypadku poszukujemy funkcji u spełniającej dodakowy warunek u (, ). O funkcjach danych ϕ i ψ założymy, że spełniają one zw. warunki zgodności ϕ ( +) =, ψ ( +) =. (2.12) Dodakowo zakładamy, że ϕ, ϕ, ψ są ciągłe na półprosej [, + ). W celu rozwiązania powyższego zagadnienia, funkcje ϕ i ψ przedłużamy do funkcji nieparzysych określonych na całej osi rzeczywisej. Warunki (2.12) gwaranują ciągłość orzymanych przedłużeń. Nasępnie, dla ak określonych przedłużeń, sosujemy wzór d Alembera dla sruny swobodnej (2.5) u(x, ) = 1 2 (ϕ(x c) + ϕ(x + c)) + 1 ψ(s)ds. (2.13)

5 WYKŁAD 2. STRUNA NIEOGRANICZONA 18 Podsawiając x = orzymujemy u(, ) = 1 2 (ϕ( c) + ϕ(c)) + 1 c c ψ(s)ds = 1 ( ϕ(c) + ϕ(c)) = 2 na mocy nieparzysości funkcji danych ϕ i ψ. Oznacza o, że u jes rozwiązaniem zagadnienia gań sruny z zamocowanym końcem Sruna ze swobodnym poziomym końcem Rozważamy zagadnienie polegające na wyznaczeniu rozwiązania u, spełniającego dodakowo warunek u x (, ) = (koniec sruny może poruszać się swobodnie w pionie, np. w prowadnicy dla x = ). O funkcjach danych ϕ i ψ założymy, że spełniają one zw. warunki zgodności ϕ ( +) =, ψ ( +) =. (2.14) Zakładamy również, że ϕ, ϕ, ψ są ciągłe na półprosej [, + ). W celu rozwiązania powyższego zagadnienia, funkcje ϕ i ψ przedłużamy do funkcji parzysych określonych na całej osi rzeczywisej (wówczas pochodna ϕ jes nieparzysa). Sosując podobnie jak poprzednio, wzór d Alembera (2.5) przedsawiamy rozwiązanie u w posaci (2.13). Wynika sąd, że oraz u x (x, ) = 1 2 (ϕ (x c) + ϕ (x + c)) + 1 (ψ (x + c) ψ (x c)) u x (, ) = 1 2 (ϕ ( c) + ϕ (c)) + 1 (ψ (c) ψ ( c)) = na mocy nieparzysości funkcji ϕ i parzysości funkcji ψ. Oznacza o, że u jes rozwiązaniem rozważanego zagadnienia. 2.5 Wzór Kirchhoffa Rozważmy funkcję u = u (x, y, z, ) spełniającą równanie falowe w przypadku rzech zmiennych przesrzennych, zn. równanie u 1 c 2 u = f (x, y, z, ). (2.15) Niech punk M (x, y, z ) należy do obszaru V ograniczonego powierzchnią S. Wówczas można udowodnić, że warość szukanej funkcji u (M, ) daje się zapisać za pomocą nasępującego wzoru Kirchhoffa u (M, ) = 1 4π gdzie: S { 1 r MM [ u n - r MM jes odległością punków M i M, - n oznacza pochodną normalną zewnęrzną, ] [u] u ( ) [u ] r } MM ds M + 1 n r MM cr MM n 4π V - symbol [F ] oznacza, że warość funkcji w nawiasach brana jes dla warości = r MM c. [f] r MM dv M,