Funkcje wielu zmiennych

Transkrypt

1 Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennch str. 1/40

2 Funkcje wielu zmiennch Niech R n def = {( 1, 2,..., n ): 1 R 2 R n R }. Funkcja n zmiennch określoną na zbiorze D R n o wartościach w R nazwam przporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru D dokładnie jednej liczb rzeczwistej. Funkcję taką oznaczam przez f : D R lub w = f ( 1, 2,..., n ), gdzie ( 1, 2,..., n ) D. Wartość funkcji f w punkcie ( 1, 2,..., n ) oznaczam przez f ( 1, 2,..., n ). Funkcje wielu zmiennch str. 2/40

3 Dla n = 2 mam funkcję dwóch zmiennch z = f(, ) (, ) z = f(, ) D R 2 (, ) R z = f(, ) Funkcje wielu zmiennch str. 3/40

4 Dla n = 3 mam funkcję trzech zmiennch w = f(,, z) z (,, z) w = f(,, z) D R 3 R w = f(,, z) Funkcje wielu zmiennch str. 4/40

5 Dziedzina funkcji Zbiór wszstkich punktów przestrzeni R n, dla którch funkcja f jest określona nazwam dziedzina funkcji f i oznaczam przez D f. Jeżeli dan jest wzór określając funkcję, to zbiór punktów przestrzeni R n, dla którch wzór ten ma sens, nazwam dziedzina naturalna funkcji. Funkcje wielu zmiennch str. 5/40

6 Przkład funkcji dwóch zmiennch Niech f(, ) = arc sin. Wówczas D f = {(, ) : 1 1 0}. Funkcje wielu zmiennch str. 6/40

7 Przkład funkcji trzech zmiennch Niech g(,, z) = z 2. Wówczas D g = {(,, z) : z 2 1}. z Funkcje wielu zmiennch str. 7/40

8 Wkres funkcji n-zmiennch Wkresem funkcji n-zmiennch nazwam zbiór {( 1,..., n, w) : ( 1,..., n ) D f w = f( 1,..., n )} R n R. Dla n = 2 {(,, z) : (, ) D f z = f(, )} R 3. z z = f(, ) D f Funkcje wielu zmiennch str. 8/40

9 Poziomice wkresu funkcji dwóch zmiennch Poziomica wkresu funkcji dwóch zmiennch z = f(, ) odpowiadającą poziomowi h R nazwam zbiór {(, ) : (, ) D f f(, ) = h} R 2. z z = f(, ) f(, ) = h poziomica wkresu funkcji f Funkcje wielu zmiennch str. 9/40

10 Warstwice wkresu funkcji wielu zmiennch Warstwica wkresu funkcji f : D f R, n 3 odpowiadającą warstwie h R nazwam zbiór {( 1,..., n ) D f : ( 1,..., n ) D f f( 1,..., n ) = h} R n. Funkcje wielu zmiennch str. 10/40

11 Wkres ważniejszch funkcji dwóch zmiennch f : R 2 R Wkresem funkcji z = A + B + C jest płaszczzna o wektorze normalnm n = [ A, B, 1], przechodząca przez punkt (0, 0, C). z Funkcje wielu zmiennch str. 11/40

12 Wkres ważniejszch funkcji dwóch zmiennch f : R 2 R Wkresem funkcji z = a( ) jest paraboloida obrotowa, t.j. powierzchnia obrotowa powstała z obrotu paraboli z = a 2 (lub z = a 2 ) wokół osi Oz. z a > 0 Funkcje wielu zmiennch str. 12/40

13 Wkres ważniejszch funkcji dwóch zmiennch f : R 2 R Wkresem funkcji z = ± R jest górna lub dolna półsfera o środku w początku układu współrzędnch i promieniu R. z z z = R z = R Funkcje wielu zmiennch str. 13/40

14 Wkres ważniejszch funkcji dwóch zmiennch f : R 2 R Wkresem funkcji z = k jest stożek, t.j. powierzchnia powstała z obrotu półprostej z = k, = 0, dla 0 wokół osi Oz. z k > 0 Funkcje wielu zmiennch str. 14/40

15 Wkres ważniejszch funkcji dwóch zmiennch f : R 2 R Wkresem funkcji z = h( ) jest powierzchnia obrotowa powstała z obrotu wkresu funkcji z = h(), = 0, dla 0 wokół osi Oz. z Funkcje wielu zmiennch str. 15/40

16 Wkres ważniejszch funkcji dwóch zmiennch f : R 2 R Wkresem funkcji z = g() lub z = k() jest powierzchnia walcowa powstała z przesunięcia wkresu funkcji z = g(), dla = 0 równolegle do osi OY lub wkresu funkcji z = k(), dla = 0 równolegle do osi OX. z z Funkcje wielu zmiennch str. 16/40

17 Wkres funkcji z = f( a, b) + c powstaje z wkresu funkcji z = f(, ) przez przesunięcie o wektor v = [a, b, c]. z v = [a, b, c] Funkcje wielu zmiennch str. 17/40

18 Wkres funkcji z = f(, ) powstaje z wkresu funkcji z = f(, ) przez smetrczne odbicie względem płaszczzn OXY. z Funkcje wielu zmiennch str. 18/40

19 Jeżeli funkcja przjmuje wartości w zbiorze R m f : R n R m to obok n zmiennch niezależnch ( 1,..., n ) będziem mieli m zmiennch zależnch 1,..., m. Taką funkcję możem opiswać: 1 = f 1 ( 1,..., n ). m = f m ( 1,..., n ) = f() = f 1 ( 1,..., n ). f m ( 1,..., n ) Funkcje wielu zmiennch str. 19/40

20 Przkład Niech (, ) R 2. Niech r będzie odległościa punktu P (, ) od początku układu współrzędnch (0, 0), zaś ϕ będzie kątem jaki tworz odcinek P O z dodatnią półosia OX. = r cos ϕ Wted równanie r = r sin ϕ ϕ P definiuje funkcję f : 0, + ) 0, 2π) R 2, gdzie f(r, ϕ) = ( ) = ( r cos ϕ r sin ϕ ) zmienne, są zmiennmi zależnmi od zmiennch r i ϕ. Funkcje wielu zmiennch str. 20/40

21 Funkcje f : R R 2 Funkcje zadane na zbiorze liczb rzeczwistch (lub jego podzbiorze) można uważać za opis parametrczne krzwch w R n. Niech f : 0, 2π) R 2, gdzie f(t) = = a cos t a sin t Wted f jest opisem parametrcznm okręgu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu a. a a Funkcje wielu zmiennch str. 21/40

22 Funkcje f : R R 3 Niech g : R R 3, gdzie g(t) = z = t t t Wted g jest opisem parametrcznm prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnch (0, 0, 0) i równoległej do wektora [ 1, 1, 1]. z ( 1, 1, 1) (0, 0, 0) Funkcje wielu zmiennch str. 22/40

23 Powierzchnie obrotowe Krzwa obracająca się dookoła prostej zatacza powierzchnię obrotowa. Obróćm krzwą o równaniu = (t), = (t), z = z(t), t a, b dookoła osi OZ. Wówczas punkt P ((t 0 ), (t 0 ), z(t 0 )) krzwej zatocz okrąg o równaniu ( ) = [(t 0 )] 2 + [(t 0 )] 2 leżąc na płaszczźnie z = z(t 0 ). Po eliminacji t 0 z ( ) otrzmujem równanie powierzchni obrotowej zataczanej przez krzwą. Funkcje wielu zmiennch str. 23/40

24 Powierzchnie obrotowe z Funkcje wielu zmiennch str. 24/40

25 Przkład powierzchni obrotowej Niech linia prosta = t, = t, z = 2t, t R obraca się dookoła osi OZ. Wówczas punkt P (t 0, t 0, 2t 0 ) prostej zatocz okrąg o równaniu ( ) = 2(t 0 ) 2 leżąc na płaszczźnie z = 2t 0. Po eliminacji t 0 z ( ) otrzmujem równanie = z2 2 < równanie stożka powierzchni obrotowej zataczanej przez daną prostą. Funkcje wielu zmiennch str. 25/40

26 Przkład powierzchni obrotowej = z2 2 < równanie stożka z Funkcje wielu zmiennch str. 26/40

27 Przkład powierzchni obrotowej Niech okrąg = a + r cos t, = 0, z = r sin t, t R obraca się dookoła osi OZ. Wówczas punkt P (a + r cos t 0, 0, r sin t 0 ) prostej zatocz okrąg o równaniu ( ) = (a + r cos t 0 ) 2. Po eliminacji t 0 z ( ) otrzmujem równanie ( a) 2 + z 2 = r 2 < równanie torusa powierzchni obrotowej zataczanej przez okrąg = a + r cos t, = 0, z = r sin t, t R. Funkcje wielu zmiennch str. 27/40

28 Przkład powierzchni obrotowej ( a) 2 + z 2 = r 2 < równanie torusa z Funkcje wielu zmiennch str. 28/40

29 Powierzchnie stopnia drugiego Powierzchnia stopnia drugiego nazwam zbiór punktów przestrzeni trójwmiarowej, które spełniają równanie: ( ) A 2 + B 2 + Cz 2 + D + Ez + F z + G + H + Iz + K = 0, gdzie A, B,..., K są stałmi. Ponadto prznajmniej jedna ze stałch A, B, C, D, E, F musi bć różna od zera. Równanie ( ) to równanie ogólne powierzchni stopnia drugiego. Funkcje wielu zmiennch str. 29/40

30 Przkład powierzchni stopnia drugiego Równanie z 2 = 1 opisuje sferę o środku w punkcie O(0, 0, 0) i promieniu 1. Równanie z z + 6 = 0 opisuje sferę o środku w punkcie S( 1, 0, 3) i promieniu 2. Funkcje wielu zmiennch str. 30/40

31 Każdą powierzchnie stopnia drugiego można tak obrócić i przesunąć, ab miała ona jedno z następującch równań: 2 a b 2 + z2 = 1 < elipsoida c2 2 a b 2 z2 = 1 < hiperboloida jednopowłokowa c2 2 a 2 2 b 2 z2 = 1 < hiperboloida dwupowłokowa c2 2 a b 2 = z2 c 2 < stożek z = 2 a b 2 z = 2 a 2 2 b 2 < paraboloida eliptczna < paraboloida hiperboliczna 2 a b 2 = 1 < walec eliptczn 2 a 2 2 b 2 = 1 < walec hiperboliczn z = a 2 < walec paraboliczn Funkcje wielu zmiennch str. 31/40

32 Równania 2 a b 2 + z2 c 2 = 1, 2 a b 2 z2 c 2 = 1, 2 a 2 2 b 2 z2 c 2 = 1, 2 a b 2 = z2 c 2, z = 2 a b 2, z = 2 a 2 2 b 2, 2 a b 2 = 1, 2 a 2 2 b 2 = 1, z = a2, nazwam równaniami kanonicznmi powierzchni stopnia drugiego (niezdegenerowanch). W niektórch przpadkach ogólne równanie powierzchni stopnia drugiego może przedstawiać zbiór punktów przestrzeni, będąc zbiorem pustm, zbiorem jednopunktowm, prosta, suma dwóch prostch, płaszczzna, suma dwóch płaszczzn. Powierzchnie takie nazwam zdegenerowanmi. Uwaga: Kształt powierzchni opisanch w twierdzeniu można ocenić na podstawie ich przekrojów z płaszczznami równoległmi do płaszczzn układu współrzędnch. (rsunki podstawowch powierzchni stopnia drugiego patrz osobna kartka). Funkcje wielu zmiennch str. 32/40

33 Powierzchnie utworzona przez rodzinę prostch równoległch do danej prostej i przechodzącch przez punkt krzwej L nazwam powierzchnia walcowa. Krzwą L nazwam kierownica, a każda prostą z tej rodzin - tworzaca powierzchni walcowej. Na przkład równanie 2 a + 2 = 1 na płaszczźnie OXY 2 b2 opisuje elipsę, w przestrzeni równanie to opisuje powierzchnie walcowa, której kierownicą jest elipsa a tworzące sa równoległe do osi OZ. Powierzchnię tę nazwam walcem eliptcznm. Funkcje wielu zmiennch str. 33/40

34 Granice funkcji wielu zmiennch Niech (P k ( k1,..., kn )) ki N będzie ciągiem punktów w Rn. Mówim, że ciąg (P k ) dąż do punktu P 0 ( 01,..., 0n ) R n, jeżeli lim k i = 0i, dla każdego i = 1, 2,..., n, k i + oznacza to zbieżność dla każdej ( współrzędnej. ) 1 Przkład: Niech P n ( n, n ) = n, ( 1)n ciąg punktów w n przestrzeni R 2. Wówczas lim ( n, n ) = (0, 0). n + Funkcje wielu zmiennch str. 34/40

35 Granice funkcji wielu zmiennch Niech f : R n R będzie funkcją n-zmiennch. Niech P 0 ( 01,..., 0n ) R n oraz niech funkcja f będzie określona prznajmniej na S(P 0 ) def = {( 1,..., n ) R n : gdzie r > 0 jest pewną liczbą. ( 1 01 ) ( n 0n ) 2 < r} \ {P 0 }, lim f( 1,..., n ) = g P P 0 [ def ] ( k1,..., kn ) ki 0i lim k i = 0i, i = 1,..., n k i lim f( k 1,..., kn ) = g k i. i = 1, 2,..., n Funkcje wielu zmiennch str. 35/40

36 Własności granic funkcji wielu zmiennch Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie P 0 R n, to lim [f(p ) ± g(p )] = lim f(p ) ± lim g(p ). P P 0 P P 0 P P 0 lim c f(p ) = c lim f(p ) P P 0 P P 0 lim [f(p ) g(p )] = lim f(p ) lim g(p ) P P 0 P P 0 P P 0 f(p ) lim f(p ) lim P P 0 g(p ) = P P 0 lim g(p ), o ile P P 0 lim g(p ) 0. P P 0 Funkcje wielu zmiennch str. 36/40

37 Własności granic funkcji wielu zmiennch Jeżeli funkcje ϕ i, i = 1,..., n i f spełniaja warunki: lim ϕ i (T) = 0i, T T 0 T R m T S(T 0 ) (ϕ 1 (T),..., ϕ n (T)) ( 01,..., 0n ) lim f(p ) = g, P P 0 to lim f (ϕ 1 (T),..., ϕ n (T)) = g. T T 0 Funkcje wielu zmiennch str. 37/40

38 Ciagłość funkcji wielu zmiennch Niech f : R n R będzie funkcją n-zmiennch. Funkcja jest ciągła w punkcie P 0 ( 01,..., 0n ) def lim f( 1,..., n ) = f( 01,..., 0n ). P P 0 Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie P 0 ( 01,..., 0n ), to w tm punkcie ciągłe są także funkcje f + g, f g, c f, c R, f g, f g, o ile g(p 0) 0. Jeżeli funkcje ϕ i, i = 1,..., n są ciągłe w punkcie T 0 R m i f jest ciągła w punkcie P 0 = (ϕ 1 (T 0 ),..., ϕ n (T 0 )), to funkcja f (ϕ 1 (t 1,..., t m ),..., ϕ n (t 1,..., t m )) jest ciągła w T 0. Funkcje wielu zmiennch str. 38/40

39 Podsumowanie Funkcje wielu zmiennch - ich warstwice i wkres. Powierzchnie stopnia drugiego. Granice funkcji wielu zmiennch. Ciągłość funkcji wielu zmiennch. Funkcje wielu zmiennch str. 39/40

40 Dziękuję za uwagę ;) Funkcje wielu zmiennch str. 40/40