Ruch po równi pochyłej

Transkrypt

1 Sławomir Jemielit Ruch po równi pochłej Z równi pochłej o kącie nachlenia do poziomu α zsuwa się ciało o masie m. Jakie jest przspieszenie ciała, jeśli współcznnik tarcia ciała o równię wnosi f? W jakich warunkach ruch jest możliw? ROZWIĄZANIE Zaczniem od rsunku, na którm zaznaczm wszstkie sił działające na ciało. T R α Te sił to: - siła ciężkości (źródło - Ziemia) R - siła reakcji (ze stron równi) T - tarcie kinematczne (ze stron równi) W II zasadzie dnamiki po lewej stronie mam siłę wpadkową czli sumę wszstkich sił działającch na ciało. Graficzne dodawanie sił nic nam nie da, bo mam znaleźć wartość przspieszenia; obliczć ją, a nie wznaczć graficznie. Dlatego lepiej jest operować na współrzędnch wektorów są one liczbami. Wprowadzam układ współrzędnch tak, b rozkład wektorów na składowe (znajdowanie ich współrzędnch) bło jak najłatwiejsze. Zdecdowanie najprościej rozwiązuje się to zadanie w takim układzie jak na rsunku. Oś OX kierujem wzdłuż równi w dół, oś OY prostopadle do niej. rzewaga tego wboru nad innmi polega na tm, że dwie spośród działającch na ciało sił a także przspieszenie są skierowane wzdłuż osi układu. Jedną siłą, którą należ rozłożć jest siła ciężkości. Zajmijm się tm. Na rsunku wżej składowe są oznaczone ciemnoniebieskim kolorem. B D C A

2 ADC = 90 DCA = 90 α ACB = 90 DCB = 90 DCA = 90 ( 90 α ) DCB = α Możem teraz wrazić składowe sił ciężkości poprzez całą siłę = mg oraz kąt α. = sinα = cosα = sinα = mg sinα = cosα = mg cosα Możem teraz napisać II zasadę dnamiki dla obu osi pamiętając, że sił skierowane przeciwnie do osi powinn bć z minusem. rzspieszenie ciała jest w całości skierowane wzdłuż równi. rostopadłej do równi składowej przspieszenia nie ma, bo jej istnienie oznaczałob, że ciało wzlatuje nad równię lub się w niej zagłębia. Oś OX: 1) T = ma Oś OY: 2) R = 0 Tarcie jak zwkle 3) T = fr Z 2) liczm siłę reakcji i podstawiam ją do 3). R = = mg cosα T = fmg cosα Równanie 1) przjmuje postać mg sin α fmg cosα = ma / : m 4) a = g sinα fg cosα Tu kończ się zasadnicze rozwiązanie. a = g sinα fg cosα Z takim przspieszeniem ciało będzie zsuwać się z równi. rzjrzjm się temu wnikowi możliwie wszechstronnie. Gdb nie bło tarcia (f = 0) przspieszenie wniosłob a = g sinα

3 Cz ten wzór ma cokolwiek wspólnego z rzeczwistością? Nie, jeśli będziem bardzo dokładni. Nie istnieją ciała doskonale gładkie. Jeżeli jednak ciała są bardzo gładkie, wzór ten może bć niezłm przbliżeniem tego, co rzeczwiście zachodzi. rzetestujm ten wzór dla dwóch szczególnch wartości kąta α. Gd α = 0, wted a = g sin 0 = 0 Nie ma w tm nic dziwnego. Kąt α = 0 oznacza, że równia jest pozioma. Ciało nie będzie się wted poruszać i jego przspieszenie będzie równe zero. Gd α = 90 a = g sin90 = g. Równia pochła o takim kącie nachlenia jest pionowa. Zamiast zsuwania się mam swobodn spadek. Znów wzór daje wnik zgodn z oczekiwaniem. Teraz zastanowim się, kied ruch jest możliw. rzpadek I - prędkość początkowa v 0 = 0. B spoczwające ciało zaczęło się poruszać jego przspieszenie powinno bć dodatnie. rowadzi to do nierówności: a = g sin α fg cosα > 0 g sinα > gf cosα / : g cosα > 0 sinα = f cosα tgα > f ( ) Zatem ruch rozpocznie się samorzutnie, jeśli tangens kąta nachlenia równi będzie większ niż współcznnik tarcia. W przeciwnm wpadku ruch się nie rozpocznie. Właściwie dlaczego? rzecież po podstawieniu wartości g, f, α do wzoru 4) coś wchodzi. rzspieszenie okazuje się wted ujemne, ale może to oznacza ruch jednostajnie opóźnion? o pierwsze: ciało początkowo spoczwa (zgodnie z założeniem). Ruch opóźnion polega na zmniejszaniu się wartości prędkości. Nie ma tu czego zmniejszać! o drugie skoro ciało spoczwa i tgα < f to mam do cznienia nie z tarciem kinetcznm, lecz statcznm i to takim, które nie osiągnęło swej maksmalnej wartości. Równanie 4) przestaje bć aktualne. W przpadku granicznm, gd tgα = f ruchu nie ma, ale jeśli nadam jakąś prędkość początkową, to ciało będzie się poruszać jednostajnie z właśnie taką prędkością. rzpadek II - prędkość początkowa v 0 0. Ciało porusza się od początku, więc niezależnie od kąta i współcznnika tarcia mam do cznienia z tarciem kinetcznm. 1) v 0 skierowana do dołu, spełnion warunek tg α > f. Ruch jest przspieszon z przspieszeniem danm wzorem 4) ( jest ono dodatnie). 2) v 0 skierowana do dołu, spełnion warunek tg α < f. rzspieszenie, ze względu na warunek tg α > f, jest ujemne. Oznacza to, że jest ono skierowane przeciwnie do osi OX, a ponieważ prędkość jest skierowana zgodnie, to prędkość i przspieszenie mają przeciwne zwrot. Ruch, jak się można spodziewać, jest jednostajnie opóźnion.

4 3) v 0 skierowana do gór. Tu niestet są komplikacje. Siła tarcia kinetcznego jest skierowana przeciwnie niż ruch ciała. onieważ ciało porusza się do gór to siła ta jest skierowana do dołu, co zmienia warunki zadania i wzór na przspieszenie. R T α + T = ma mg sinα + fmg cosα = ma 5) a = g sinα + fg cosα Tm razem przspieszenie jest zawsze dodatnie (czli skierowane tak jak oś OX). rędkość skierowana jest do gór, więc przeciwnie do osi. rzeciwne zwrot tch wektorów oznaczają ruch jednostajnie opóźnion z opóźnieniem danm wzorem 5). I jeszcze jedno. Może jest to dość zaskakując związek rzeczwistości z tm zadaniem. Nieraz widzieliście kopczki uspane z piasku, cukru, mąki i tm podobnch spkich substancji. Wszstkie stożki uspane na przkład z cukru (suchego!) mają w przbliżeniu takie same kąt nachlenia. Dlaczego tak jest? Otóż, gd kopczk jest jeszcze niski i kąt nachlenia jest niewielki, spełnion jest warunek tg α < f, gdzie f jest współcznnikiem tarcia cukru o cukier. Wted nie ma ruchu po równi pochłej, jaką jest zbocze kopczka. Spadające krształki cukru zostają tam gdzie spadną. owoduje to wzrost kopczka, staje się on coraz bardziej strom, aż w pewnm momencie kąt nachlenia jest taki, że tg α > f Krształki cukru zacznają się zsuwać i kąt nachlenia zbocza kopczka przestaje rosnąć.

5 Równia i znajdujące się na niej ciała są bardzo prmitwnm układem mechanicznm, a jednak już tu widzim wiele komplikacji. No cóż, świat jest skomplikowan... Zwróćcie uwagę, że zajmowaliśm się tlko najprostszmi ruchami na równi. W każdm zadaniu bł to ruch wzdłuż linii największego spadku. Strach pomśleć co b bło, gdb ciału nadać prędkość początkową skierowaną jakoś w bok. Okazałob się, że ruch jest tu zaskakująco skomplikowan.