Wykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny

Transkrypt

1 Wkład FIZYK I 9. Ruch drgając swobodn Katedra Optki i Fotoniki Wdział Podstawowch Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

2 RUCH DRGJĄCY Drganie (ruch drgając) ruch (lub zmiana stanu), któr charakterzuje się powtarzalnością w czasie wielkości fizcznch, określającch ten ruch lub stan (np. położenie, prędkość). Drganie okresowe (periodczne) powtarzanie zachodzi zawsze po tm samm czasie T, zwanm okresem. Drganie [okresowe] harmoniczne położenie ciała opisuje funkcja sinus (bądź kosinus): W ruchu harmonicznm: Prędkość: Przspieszenie: są również funkcjami harmonicznmi! sin cos sin ( t) v a

3 DRGNI HRMONICZNE Przpomnienie: Druga zasada dnamiki Newtona: Ruch harmoniczn to taki, dla którego: a d dt F k F m Siła jest proporcjonalna do wchlenia (z położenia równowagi) i przeciwnie do niego skierowana (prawo Hooke a). F - siła harmoniczna Ogólne równanie różniczkowe drgań harmonicznch: dt d Wkładnicz sposób zapisu rozwiązania równania drgań harmonicznch: epi

4 DRGNI HRMONICZNE Wielkości opisujące ruch harmoniczn prost (drgania harmoniczne): sin - jest amplitudą drgań (maksmalną zmianą względem położenia równowagi); - (+) to faza drgań (mierzona w radianach bądź stopniach); - =/T to częstość kołowa (pulsacja) (w radianach na sekundę); - to faza początkowa. T - Częstotliwość drgań: (Hz herc) f T

5 DRGNI HRMONICZNE - PRZYKŁDY Wahadło matematczne: Punkt materialn, zawieszon na nieważkiej i nierozciągliwej nici; g t g sin s l d s dt l d g dt sin g Okres drgań: T l g

6 DRGNI HRMONICZNE - PRZYKŁDY Wahadło fizczne: Ciało doskonale sztwne, które pod działaniem własnego ciężaru waha się dookoła osi poziomej, nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała; Okres drgań: T I mgl

7 DRGNI HRMONICZNE - PRZYKŁDY Sprężna: Prawo Hooke a: F k F Równanie ruchu: d dt k m Okres drgań: T k m

8 DRGNI HRMONICZNE - PRZYKŁDY Obwód LC: q C di dt U C U L 0 L 0 I dq dt d q dt q LC 0 Okres drgań: T LC

9 SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH Zasada superpozcji: Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wchlenie jest sumą wchleń, wnikającch z każdego ruchu. Składanie drgań harmonicznch, odbwającch się wzdłuż jednej prostej: ) przpadek dwóch ruchów harmonicznch, odbwającch się z jednakową częstością : cos cos

10 SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH Wpadkowa jest drganiem z tą samą częstością! w w cos w gdzie: w tg w cos sin cos sin cos amplituda faza mplituda drgania wpadkowego zależ od różnic początkowch faz ( - ) drgań składowch. Jeśli ta różnica nie zmienia się z upłwem czasu, to takie drgania snchroniczne nazwam koherentnmi.

11 SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH w cos Przpadki szczególne: Różnica faz drgań składowch równa się zeru albo całkowitej wielokrotności : k k 0,,,... Maksmalna amplituda drgań jest sumą amplitud drgań składowch.

12 SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH w cos Przpadki szczególne: Różnica faz drgań składowch równa się nieparzstej wielokrotności : k k 0,,,... Maksmalna amplituda drgań jest różnicą amplitud drgań składowch.

13 SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH Przpadek dwóch ruchów harmonicznch, odbwającch się z różną częstotliwością: wpadkowa jest prostm drganiem harmonicznm tlko wted, gd stosunek obu częstotliwości można wrazić liczbą wmierną. Przpadek dwóch ruchów harmonicznch (o jednakowej amplitudzie), którch częstości różnią się nieznacznie: dudnienia: w cos cos cos t cos t

14 SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH Jeśli różnica faz (t)- (t) drgań składowch zmienia się z upłwem czasu w sposób dowoln, to amplituda drgań wpadkowch zmienia się z upłwem czasu i nie ma sensu w ogóle mówić o składaniu amplitud. Jest to tzw. niekoherentne składanie drgań. Drgania tpu: nazwam modulowanmi. t t cos t ) modulowana faza (częstość) FM: const ) modulowana amplituda M: const d dt ma

15 NLIZ HRMONICZN naliza harmoniczna to sposób na przedstawienie złożonch drgań modulowanch w postaci szeregu prostch drgań harmonicznch. G. Fourier: dowolne drganie złożone można przedstawić jako sumę prostch drgań harmonicznch o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości kątowej : N n sin n n n0 W ogólnm przpadku, liczba wrazów w szeregu Fouriera jest nieskończona (możem wted przejść do całek zamiast sum), ale istnieją takie drgania, dla którch szeregi Fouriera nie zawierają pewnch wrazów.

16 SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH Załóżm, że punkt materialn uczestnicz jednocześnie w dwóch drganiach harmonicznch, odbwającch się z jednakowmi częstościami w dwóch kierunkach wzajemnie prostopadłch: sin sin

17 t SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH sin sin ) Początkowe faz obu drgań są jednakowe: Można tak ustawić odczt czasu, żeb bł równe zeru: Dzieląc stronami: 0 - linia prosta

18 t SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH sin sin ) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa : Dzieląc stronami: - linia prosta

19 t SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH sin sin 3) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa /: Wted: cos t sin I ostatecznie: - elipsa Punkt porusza się po tej elipsie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara;

20 t SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH sin sin 4) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa 3 / : Wted: cos t t sin I ostatecznie: - elipsa również elipsa, ale o obiegu zgodnm z ruchem wskazówek zegara;

21 SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH Inne różnice faz również elips, ale o osiach nie pokrwającch się z osiami układu współrzędnch. W przpadku ogólnm dowolne częstości, amplitud, faz mam do cznienia z tzw. figurami Lissajous.