Macierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)

Transkrypt

1

2 Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A B + ic gdzie ( ) ( ) B A + A B A + A ( A + A) B ( ) ( ) C A- A C - A- A ( A - A) C i i i BC ( A - AA + A A- A ) 4i jesli AA A A to BC CB CB ( A - A A+ AA - A ) 4i Ponieważ macierze B i C komutują, więc mogą bć jednocześnie zdiagonalizowane, czli musi też bć macierzą diagonalną. U AU U BU + iu CU D : U AU D U AU U A U D D * * U AA U U AU U A U DD AA A A * U A AU U A U U AU D D M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-

3 Diagonalizacja macierz - podsumowanie Zarówno hermitowskie (rz. smetrczne) jak i unitarne (rz. ortogonalne) macierze można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa. wartości własne macierz hermitowskiej są zawsze rzeczwiste (właśnie dlatego w mechanice kwantowej obserwable są zawsze stowarzszone z wartościami własnmi operatorów hermitowskich) wektor własne macierz hermitowskiej mogą bć zespolone dlatego unitarna macierz diagonalizująca jest w ogólności zespolona. macierz rz. smetrczna jest macierzą hermitowską, a więc jej wartości własne są rzeczwiste. Ponieważ wartości własne i sama macierz są rzeczwiste, więc wektor własne można wbrać jako rzeczwiste, a w konsekwencji macierz diagonalizująca jest rzeczwistą macierzą ortogonalną. macierze unitarne i rz. ortogonalne można zdiagonalizować prz pomoc macierz unitarnej. Ponieważ wartości własne i wektor własne są w ogólności zespolone, więc również macierz diagonalizująca jest macierzą unitarną a nie ortogonalną. (np. macierz obrotu jest rzeczwistą macierzą ortogonalną, jednak w ogólności może bć zdiagonalizowana przez zespoloną macierz unitarną) Uwaga: Nie wszstkie macierze kwadratowe można zdiagonalizować, ale wszstkie macierze kwadratowe można sprowadzić do postaci trójkątnej. M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-3

4 Ruch cząstki naładowanej Przkład: Ruch cząstki naładowanej w stałm polu magnetcznm skierowanm wzdłuż osi z tzn. B Be z ruch jednostajn Równanie ruchu ma postać: ex e ez dv dv dv x qb qb dv z m qv B q v x v vz v v x dt dt m dt m dt B Rozwiążem układ dwóch pierwszch równań: d v x qb v x i v x i dt v ω m v i v i Diagonalizujem macierz A i det( A I) i λ λ λ i λ λ λ Znajdujem wektor własne i konstruujem macierz diagonalizującą: ω u i oraz u i U i i U ( i ) i M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-4 qb m -

5 Ruch cząstki naładowanej Zdiagonalizowana macierz ma postać: ω U - AU i i i i i i Równania ruchu przjmują postać d v x d - v x - i - v x v x U i ω U UU i ω dt v dt v i v v dv dv x czli i ω v x i ω v dt dt którch rozwiązaniami są v exp exp x v x i ω t v v i ω t v x - v x i v x iv x + v U v v i v iv x v + v exp exp x v x i i v x iv x i ω t + iv i ω t U v v v v exp exp x i t v i t ω + ω ( ) ( ω ) + ( + ) ( ω ) ( iv ) exp exp x + v i ω t + iv x + v i ω t v x iv exp iω t + v x + iv exp iωt v x cos ω t + v sin ω t v x sin ω t + v cos ω t M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-5 qb m

6 Form kwadratowe Definicja: Rzeczwistą formą kwadratową w zmiennch x, x,, x n nazwam jednorodn wielomian stopnia drugiego o rzeczwistch współcznnikach a ij i rzeczwistch x ( x ) T, x,..., xn n T ( x) x Ax a x x zmiennch postaci f i, j ij i j a x + a x a x + a x x + a x x a x x nn n 3 3 n n n n M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-6 Math Plaer Uwaga: Macierz współcznników A można zawsze uważać za smetrczną, ponieważ dla dowolnej macierz C mam: ale c ( c + c ) + ( c c ) a + b gdzie a a oraz b b ij ij ji ij ji ij ij ij ji ij ji n n n n b x x b x x b x x b x x ij i j ji i j ji j i ij i j i, j i, j i, j i, j Przkład: Zapisz formę kwadratową w postaci macierzowej. ( f x) 3 x x + 4 x + x x + 3 x x x x ( / / T x) 3 3 x f x Ax ( x x x3) / x / x 3 4 3

7 Diagonalizacja form kwadratowej Definicja: Postacią kanoniczną form kwadratowej nazwam postać w której wstępują jednie wraz kwadratowe w poszczególnch zmiennch. Twierdzenie: Niech A będzie smetrczną macierzą stopnia n o wartościach własnch λ, λ,, λ n, oraz niech Q będzie macierzą ortogonalną diagonalizującą macierz A poprzez transformację podobieństwa Q T AQD. Stosując zmianę zmiennch x Q T f ( x) x A x n f ( x ) a x x λ +λ λ przekształcam formę kwadratową do postaci kanonicznej i, j Dowód: T ij i j n n f T T T T x x Ax Q AQ Q AQ D λ +λ λ n n Twierdzenie: Rząd form kwadratowej (czli rząd określającej ją macierz) nie ulega zmianie prz transformacji za pomocą nieosobliwej macierz Q. Definicja: Ogólną (zespoloną) formą kwadratową w zmiennch z, z,, z n nazwam z,,..., n ( z z z ) jednorodn wielomian stopnia drugiego o zespolonch współcznnikach a ij i zespolonch zmiennch postaci n ( z) z Az M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-7 f i, j * ij i j a z z

8 Krzwe stożkowe przkład: elipsa Przkład: Przekształcając formę kwadratową do postaci kanonicznej określ jaką krzwą stożkową przedstawia równanie 9 x 4 x x Część kwadratową powższego równania można zapisać jako: 9 x 9 x 4 x x x x + 6 ( x ) 6 Wartości własne macierz współcznników: 9 λ 6 λ 54 5 λ+λ 4 λ 5 λ+ 5 λ 5 i λ odpowiadające im wektor własne: ( 4 )( x ) x λ : 5 v x 5 : x v x λ 4 x 5 Diagonalizujem formę kwadratową: T U U AU M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-8 Math Plaer

9 Krzwe stożkowe przkład: elipsa Diagonalizaja macierz współcznników prz wrazach kwadratowch, jest równoważna zmianie zmiennch: x x x x x U 5 5 x + 5 A więc wjściowe równanie może bć przepisane w postaci: x U AU ( x ) ( x ) lub po uproszczeniu T x ( x ) 5 x + x 5 x + x ( x, ) 4 v v Jest to równanie elips o środku w punkcie oraz osiach i Oś główna elips jest skierowana wzdłuż wektora a krótsza wzdłuż wektora. Oznacza to, że oś główna orginalnej elips tworz kąt θ z osią poziomą układu współrzędnch, któr jest równ: v ( cos ) ( ) arccos sin θ θ θ 5 5 M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-9

10 Funkcje macierz Każda macierz A może bć pomnożona przez siebie dowolną liczbę raz: A AA... A A A A n n m n+ m raz Dobrze zdefiniowana jest również odwrotność macierz a więc również logiczne są definicje: Wkorzstując te definicje możem zdefiniować funkcje wielomianowe macierz poprzez dokładną analogię z funkcjami zmiennej skalarnej. Przkład: f ( x) x + 5 x + 4 ( x + )( x + 4) n - - A A AA I - - -n - A A AA I oraz A A n f f A 3 A A + 5A + 4I A A + I A I Przkład: f A A A A I - A - I M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-

11 Funkcje macierz Dsponując macierzą kwadratową A, zastanówm się jak należ zdefiniować funkcje macierz np. e A, sina, lna, a? a sin a sin a Cz ma sens definicja: sin A sin a a sin a sin a Nie ma, ponieważ oczekujem, że funkcje macierz powinn spełniać podobne związki jak funkcje zmiennch skalarnch, czli np. sin A+cos A I dla wszstkich macierz A. Do definicji funkcji macierz można wkorzstać rozwinięcie funkcji w nieskończon szereg Maclaurin a: n f ( z) anz n Jeśli taki szereg jest zbieżn dla z < R to również szereg macierzow a A n n jest zbieżn jeśli wszstkie wartości własne A spełniają warunek λ. n i < R Definicja (funkcji macierz): f ( A) a A n n n Przkład: k 3 k 3 z z z z A A A A e + z e I + A k!! 3! k!! 3! k k M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-

12 Funkcje macierz Jeśli A jest macierzą diagonalizowalną wówczas mam Przkład: A SDS S diag λ,..., λ n S - - k k k k k A SDS SDS SDS SDS SD S S diag λ,..., λ n S Niech A 5 5 u k raz k k - k A A SD S D λ λ n e S S S diag( e,...,e ) S k k! k k! k k! ( ) u λ 5 5 λ - - λ λ 4 λ 6 i λ 4 Znajdujem wektor własne i konstruujem macierz diagonalizującą a więc ( ) S S A e S e S e e e e e e 4 e e e e + e M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-

13 Funkcje macierz Ideę tę można uogólnić na dowolną funkcję f(z) określona na wartościach własnch λ i diagonalizowalnej macierz ASDS - wprowadzając definicję f ( D) diag f ( λ ),..., f ( λ n) ( λ ) ( λ ) Przkład: Rozwiąż równanie macierzowe ( n ) f A Sf D S S diag f,..., f S A 4A + 4I 5 6 Najpierw zdiagonalizujem macierz znajdującą się po prawej stronie równania: 4 λ λ λ λ+ 9 λ i λ 9 Znajdujem wektor własne i konstruujem macierz diagonalizującą u u 3 S S ( ) Po zdiagonalizowaniu macierz prawa strona równania staje się równa D S S M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-3 Math Plaer

14 Funkcje macierz Lewa strona równania musi bć również diagonalna, a więc: - - S A 4A + 4I S S S S AS x x -( ) x 4 x + 4 S A 4A + 4I S x x która jest równoważna układowi równań: 4 3 Załóżm, że wted równanie przjmuje postać x 4 x + 4 x 4 x Możliwe są następujące kombinacje: x, 3 x 5, ( ),, 3, 3 Λ Λ Λ 3 Λ W konsekwencji wjściowe równanie ma więc czter rozwiązania: M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-4 ( 5 3) ( 3) ( 5 3 ) ( 3 3) - A S Λ S, A, A 3, A

15 Macierz nilpotentna Przkład: Dana jest macierz A. Znajdź e A A 3 3 A, A 3, A n dla n > 3 4 / A 3 e I A A A... / ! 3! Definicja: Macierz kwadratową A stopnia n nazwam nilpotentną, jeżeli istnieje taka liczba naturalna m >, że A m ( jest tutaj macierzą zerową). Przkład: Przkładem macierz nilpotentnej jest macierz a a a ściśle trójkątna, tzn. mająca zera na diagonali i poniżej: a a Twierdzenie: Dla macierz nilpotentnej A zachodzi: det A oraz Tr A. m m Dowód: Ax λ x A x λ x Ponieważ A m m oraz x więc λ λ A więc Tr A λ +λ λ n det A λ λ... λ n 3 n n an, n M. Przbcień Matematczne Metod Fizki I Wkład 3-5