Związek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu

Transkrypt

1 Związek międz ruchem harmonicznm a ruchem jednosajnm po okręgu Rozważm rzu Q i R punku P na osie i : Q cos v r R sin R Q P δ Q cos ( δ ) R sin ( δ ) Jeżeli punk P porusza się ruchem jednosajnm po okręgu, o jego rzu na osie układu współrzędnch poruszają się wzdłuż ch osi ruchem harmonicznm prosm. Ruch e mają ę samą ampliudę i częsość kołową, naomias są przesunięe w fazie o π : R ( δ ) cos ( π ( δ )) cos ( δ π ) sin

2 Składanie drgań Złożenie dwóch ruchów harmonicznch prosch, w kierunkach prosopadłch, o ch samch i, przesunięch w fazie o π, daje ruch po okręgu. Jeżeli są różne: ( ) ( ) sin cos sin cos δ δ orzmujem ruch po elipsie. Przpadek ogóln: złożenie dwóch ruchów harmonicznch prosch, w kierunkach prosopadłch, o różnch i, przesunięch w fazie o δ ( ) ( ) δ cos cos daje zw. figur Lissajous.

3 Figur Lissajous różnica faz sosunek częsoliwości o o 45 o 9 o 35 o sosunek częsoliwości odwronemu sosunkowi ilości przecięć figur z osiami układu współrzędnch

4 cos cos Składanie drgań równoległch, dudnienia ( cos cos ) cos cos Jes o drganie o częsości śr, o zmiennej ampliudzie cos. Częsość modulacji ampliud:. Jeżeli różnica częsości jes mała, o można zaobserwować powolne narasanie i zmniejszanie się ampliud są o dudnienia. π Okres modulacji ampliud: T. Odbiór sgnału jes związan z przekazem energii: E W okresie czasu T kwadra ampliud raz osiąga maksimum. Sąd okres dudnień: TD T. Słszalność dudnień akuscznch: wed, gd f D 7 T D Hz

5 hp://

6 Drgania łumione Sił oporu w gazach i cieczach (dla małch prędkości): r r F γ v Równanie ruchu harmonicznego z łumieniem (po prawej sronie musi bć suma wszskich sił): Definiujem: d m d d d d k γ d k m γ d m d częsość drgań własnch niełumionch współcznnik łumienia d d β γ m k m d β d Orzmujem równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu, zwczajne, o sałch współcznnikach.

7 Szukam rozwiązania: podsawiam e e e e β Ta funkcja będzie rozwiązaniem, jeżeli będzie spełniać równanie charakersczne: β 4 4 β I. β β β β e e ) ( ruch aperiodczn

8 II. - rozwiązanie równania charakerscznego wmaga liczb zespolonch, ale () jes rzeczwise: β ( ) e cos( δ ), gdzie β ruch pseudoperiodczn (pseudookresow) pseudookres : T π π β logarmiczn dekremen łumienia logarm nauraln sosunku dwóch ampliud w czasach i T (różniącch się o jeden pseudookres): λ β T dobroć: Q energia zmagaznowana π π średnia energia racona w okresie λ

9 III. wed β β ( ) ( ) e ruch krczn (czerwona linia ciągła) Ruch krczn jes przpadkiem granicznm jes najszbciej gasnącm ruchem aperiodcznm. Bardzo małe zmniejszenie łumienia powoduje przejście do ruchu pseudoperiodcznego. Jes o problem ważn dla echniki, gd chcem zopmalizować wgaszanie drgań.

10 Równanie ruchu harmonicznego z łumieniem Drgania wmuszone d m d d k γ d uzupełniam dodając siłę zewnęrzną zależną od czasu f() Załóżm siłę harmoniczną: d d m k γ d d d d m γ k d d d m d d d f ( ) F cos d γ d k f f ( ) ( ) F cos d β a cos d Orzmujem równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu, zwczajne, o sałch współcznnikach, niejednorodne

11 Szkic rozwiązania Twierdzenie maemaczne: pełne rozwiązanie akiego równania jes sumą ogólnego rozwiązania równania jednorodnego i szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego d d d β d o β j ( ) e e lub j ( ) cos( j δ ) β e lub ( ) ( ) j e. Szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego ma posać: nj cos ( δ ) gdzie ( ) 4β a β gδ.

12 Każde rozwiązanie ogólne równania jednorodnego zmierza wkładniczo do zera. Zosaje lko Wnioski: ( ) cos( δ ). Ruch wmuszon przez siłę harmoniczną jes ruchem harmonicznm prosm o ej samej częsości kołowej.. mpliuda i przesunięcie fazowe są jednoznacznie określone przez paramer sił wmuszającej i właściwości układu drgającego. Zbadajm zależność i δ od. Można pokazać, że (rakowana jako funkcja ) ma maksimum w punkcie rez β Zjawisko osiągania maksmalnej ampliud drgań wmuszonch dla pewnej częsości nazwam rezonansem. rez jes o częsość rezonansowa Przkładowe wkres ampliud i przesunięcia fazowego:

13 rezonans ampliud δ przesunięcie fazowe