Rachunek całkowy - całka oznaczona

Transkrypt

1 SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej w całce oznaczonej. f. Wyznaczenie objętości bryły na podstawie znajomości pół przekrojów równoległych. g. Objętości bryły obrotowej. h. Długość łuku krzywej płaskiej. i. Pole powierzchni obrotowej. j. Współrzędne środka ciężkości. k. Całkowanie przybliżone. l. Całki niewłaściwe: Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju. Całka niewłaściwa drugiego rodzaju. 1

2 CAŁA OZNACZONA. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale jeżeli F (x) = f(x), to ma miejsce wzór, tzn., przy czym różnica F(b) F(a) nie zależy od stałej całkowania C. Prawą stronę równania oznacza się symbolem lub. Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to. Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznaczonych. Jeżeli g (x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale, a f(u) funkcją ciągłą w przedziale to zachodzi następujący wzór:. 2

3 Jest to wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych. Definicja całki oznaczonej. Jeżeli: = F(x) + c, to W interpretacji geometrycznej całka oznacza pole obszaru płaskiego zawartego między linią linią y=f(x) 0 i osią X W ogólności: P= Dla f(x) 0 P= Gdy g(x)=0, to z poprzedniego wzoru otrzymujemy: 3

4 P= Właściwości całek oznaczonych. Z definicji całki mamy: Warunki: f(x) 0 => f(x)<0 => f(x) g(x) => Z interpretacji geometrycznej całki można zauważyć, iż wzór 4 0 jest prawdziwy przy dowolnym układzie liczb a,b,c. 4

5 Całka sumy równa się sumie całek, co można zapisać:. Powyższy wzór jest to tzw. addytywność całki względem funkcji podcałkowej. Całka oznaczona posiada własność liniowości. Wzór ten należy rozumieć w ten sposób, że z istnienia całek po prawej stronie wynika istnienie całki po lewej stronie oraz podana równość. Również prawdziwy jest wzór:, gdzie K jest liczbą spełniającą nierówność m K M, przy czym m oznacza kres dolny, a M kres górny funkcji f(x) w przedziale <a,b>. Na podstawie własności Darboux, która mówi, że funkcja ciągła przybiera wszystkie wartości pośrednie pomiędzy swoimi kresami górnym i dolnym, wzór powyższy można zapisać w postaci: gdzie c jest liczbą spełniającą nierówność a c b, jeżeli funkcja podcałkowa f(x), jest ciągła w przedziale <a,b>. Całka jako funkcja górnej granicy. Jeżeli funkcja f(t) jest ciągła w przedziale <a,b>, to funkcja 5

6 jest ciągła i różniczkowalna wzglądem zmiennej x w przedziale <a,b> i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek h (x)=f(x). Zastosowanie całek oznaczonych. 1. Krzywa określona jest funkcją y=f(x), xє[a,b] bryła powstała z obrotu krzywej y=f(x) dookoła osi OX. 2. Krzywa określona jest w postaci krzywej parametrycznej [x=x(t), y=y(t)]. 6

7 3. Krzywa określona jest w układzie biegunowym ζ=ζ(φ) Ponieważ każda krzywa w układzie biegunowym sprowadza się do układu kartezjańskiego za pomocą związków to jest ona określona za pomocą: Pole, długość, objętość, pole powierzchni obliczamy tak samo jak krzywą określoną w postaci parametrycznej. Zamiana zmiennej w całce oznaczonej. Przy obliczeniu niektórych całek oznaczonych pożyteczne jest wprowadzenie nowej zmiennej całkowanie. Przy tym, jeżeli całka oznaczona przekształcana jest za pomocą podstawienia (lub ) na inną całkę z nową zmienną całkowania, to poprzednie granice i należy zastąpić przez nowe granice całkowania i, które wyznaczamy na podstawie przyjętego podstawienia, czyli z równań, (albo, ). Jeśli oraz są ciągle w przedziale, to zachodzi: 7

8 Wyznaczanie objętości bryły na podstawie znajomości pól przekrojów równoległych. Gdy znane jest pole S(x) dowolnego przekroju danej bryły płaszczyzną równoległą do płaszczyzny P, gdzie x oznacza odległość płaszczyzny tnącej od płaszczyzny P, to przy zmianie x o wielkość dx różniczką objętości będzie objętość walca prostego o wysokości dx i o polu podstawy S(x), czyli dv= S(x)dx, a objętość bryły wyrazi się całką: przy czym a i b stanowią odpowiednio lewą i prawą granicę przedziału zmienności. Objętość bryły obrotowej. Jeśli pewna bryła powstaje przez obrót trapezu krzywoliniowego dookoła osi, to każdy z jej płaskich przekrojów, prostopadłych do osi, stanowić będzie koło o promieniu równym odpowiedniej rzędnej krzywej. Pole przekroju odpowiadającego odciętej, jako pole koła, będzie równe. Różniczką objętości odpowiadającą przyrostowi będzie, a całkowitą objętość bryły obrotowej określa wzór: Gdy natomiast bryła powstaje przez obrót trapezu krzywoliniowego wokół osi, to oraz 8

9 Długość łuku krzywej płaskiej. Jeśli krzywa płaska, rozpatrywana w układzie współrzędnych prostokątnych, jest dana równaniem lub, albo w postaci parametrycznej, to różniczka długości jej łuku wyraża się wzorem: a długość łuku określona jest wzorem: Pole powierzchni obrotowej. Jeśli powierzchnia powstaje na skutek obrotu łuku krzywej płaskiej wokół osi, to różniczka pola tej powierzchni bocznej kołowego stożka ściętego, o tworzącej i promieniach podstawy i a pole powierzchni, utworzonej przez obrót łuku AB, jest określone wzorem 9

10 przy czym określają wartość obranej zamiennej całkowania w punktach A i B, a - różniczkę łuku krzywej. Jeśli obrót łuku odbywa się wokół osi to, Współrzędne środka ciężkości. Środkiem ciężkości zbioru punktów materialnych nazywamy punkt przyłożenia wypadkowej równoległych sił ciężkości, przyłożonych w tych punktach. Dla łuku materialnego AB krzywej płaskiej współrzędne prostokątne środka ciężkości C są określone wzorami: 10

11 gdzie: m masa luku, i - momenty styczne łuku względem osi Ox i Oy, - gęstość liniowa rozkładu masy w punkcie łuku, - różniczka długości łuku, a i - wartość obrabianej zmiennej całkowania w punktach końcowych A i B. W przypadku gdy łuk materialny jest jednorodny, wzory upraszczają się, gdyż stałą można wtedy wynieść przed znaki całek. Współrzędne środka ciężkości jednorodnego trapezu krzywoliniowego, przylegającego do osi Ox, dane są wzorami: Jeśli jednorodna linia materialna lub figura mają oś symetrii, to środek ciężkości tej linii (figury) leży na tej osi. Całkowanie przybliżone. Istnieje kilka sposobów przybliżonego całkowania. Jeśli funkcja dana jest albo za pomocą pewnego wzoru, albo za pomocą tablic jej wartości, to całkę oznaczoną możemy obliczyć w sposób następujący: 1. dzielimy przedział całkowania na równych części za pomocą punktów, 2. obliczamy wartości funkcji podcałkowej w punktach podziału, czyli obliczamy: 11

12 3. posługujemy się którymkolwiek ze wzorów całkowania przybliżonego. Najczęściej stosowane są następujące przybliżone wzory, oparte na geometrycznym przedstawieniu całki oznaczonej jako pola trapezu krzywoliniowego. I. Wzór prostokątów Geometrycznie wzór ten oznacza zastąpienie pola trapezu krzywoliniowego, odpowiadającego całce, sumą pól prostokątów. Błąd powstały przy przybliżonym obliczaniu całki oznaczonej wg wzorów prostokątów ma oszacowanie: gdzie - największa z wartości w przedziale. II. Wzór trapezów. 12

13 Geometrycznie wzór ten oznacza zastąpienie pola trapezu krzywoliniowego sumą pól trapezów. Błąd we wzorze trapezów ma oszacowanie: gdzie - największa z wartości w przedziale. III. Wzór trapezów parabolicznych (czyli wzór Simpsona);n jest tu liczbą parzystą. Geometrycznie na podstawie tego wzoru pole każdej pary pasków jest zastępowane polem trapezu parabolicznego, powstaje dzięki zastąpieniu łuku krzywej łukiem paraboli (o osi pionowej), przechodzącej przez trzy punkty krzywej o odciętych: Błąd wzoru Simpsona ma oszacowanie gdzie - największa z wartości w przedziale. Oczywiście, każdy z podanych tu wzorów będzie dokładniejszy, im więcej będzie punktów podziału, czyli im większe będzie. Inaczej mówiąc, przy dostatecznie dużej wartości za pomocą każdego z tych wzorów można obliczyć wartość przybliżoną całki oznaczonej z dowolną dokładnością. 13

14 Przy jednakowej liczbie podziałów pierwszego, pierwszego trzeci bardziej dokładny niż drugi., drugi wzór jest na ogół dokładniejszy od pierwszego, Całki niewłaściwe. Całkami niewłaściwymi nazywamy całki oznaczone, w których albo granice całkowania są nieskończone, albo funkcja podcałkowa jest nieciągła. 1. Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju. a. Funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w otoczeniu punktu x = b, wówczas całkę określamy następująco:, a < β < b, jeśli ta granica istnieje. b. Funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w otoczeniu punktu x = a, wówczas całkę określamy następująco:, a < α < b, jeśli ta granica istnieje. c. Jeżeli natomiast funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w pewnym otoczeniu punktu x = c, gdzie a < c < b, to całkę określamy następująco: 14

15 2. Całka niewłaściwa drugiego rodzaju. a. Funkcja f(x) jest określona i ciągła w przedziale, wówczas całkę funkcji f(x) w przedziale określamy następująco: Jeżeli granica po prawej stronie nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa nie istnieje. b. Jeżeli niewłaściwość występuje na lewym końcu przedziału całkowania, to całkę określamy następująco: c. Przyjmijmy także określenie:, gdzie A jest dowolną liczbą. Jeżeli istnieją skończone granice określające całki niewłaściwe pierwszego i drugiego rodzaju, to całki te nazywamy zbieżnymi. W przeciwnym razie nazywamy je rozbieżnymi. 15