RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
|
|
- Kazimierz Brzozowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
2 Marian Gewer Zbigniew Skoczlas RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Teoria, przkład, zadania Wdanie pięnase zmienione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław 2016
3 Marian Gewer Wdział Maemaki Poliechnika Wrocławska pwr.edu.pl Zbigniew Skoczlas Wdział Maemaki Poliechnika Wrocławska pwr.edu.pl Projek okładki IMPRESJA Sudio Grafiki Reklamowej Coprigh c b Oficna Wdawnicza GiS Uwór w całości ani we fragmenach nie może bć powielan ani rozpowszechnian za pomocą urządzeń elekronicznch, mechanicznch, kopiującch, nagrwającch i innch. Ponado uwór nie może bć umieszczan ani rozpowszechnian w posaci cfrowej zarówno w Inernecie, jak i w sieciach lokalnch, bez pisemnej zgod posiadacza praw auorskich. Skład wkonano w ssemie L A TEX. ISBN Wdanie XV zmienione, Wrocław Oficna Wdawnicza GiS, s.c., Druk i oprawa: Oficna Wdawnicza ATUT 4
4 Spis reści Wsęp 7 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Przkład i pojęcia wsępne Równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe liniowe Równanie różniczkowe Bernoulliego Równania różniczkowe zupełne. Cznnik całkując Zagadnienia prowadzące do równań różniczkowch Pojęcia wsępne dla równań różniczkowch drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu sprowadzalne do równań pierwszego rzędu Zadania Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu Przkład i pojęcia wsępne Równania różniczkowe liniowe jednorodne Równania różniczkowe liniowe o sałch współcznnikach Równania różniczkowe liniowe niejednorodne Meoda uzmienniania sałch Meoda współcznników nieoznaczonch Zadania Układ równań różniczkowch Przkład i pojęcia wsępne Układ równań różniczkowch liniowch Układ jednorodne równań różniczkowch liniowch Układ równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach Układ niejednorodne równań różniczkowch liniowch Meoda uzmienniania sałch Sabilność punków równowagi układów auonomicznch Zadania
5 4 Elemen rachunku operaorowego Przekszałcenie Laplace a Meoda operaorowa rozwiązwania równań różniczkowch Własności przekszałcenia Laplace a Splo funkcji Zadania Odpowiedzi 181 Lieraura 189 Skorowidz 190 6
6 1 Wsęp Książka jes przeznaczona dla sudenów poliechnik. Omówiono w niej równania różniczkowe zwczajne w zakresie programu uczelni echnicznch. Podręcznik składa się ze wsępu, czerech rozdziałów podzielonch na podrozdział, odpowiedzi do zadań, spisu lieraur oraz skorowidza. W pierwszm rozdziale omówiono podsawowe p równań różniczkowch zwczajnch pierwszego rzędu. Ponado omówiono równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego. Rozdział drugi poświęcon jes równaniom liniowm rzędu drugiego. Kolejn rozdział rakuje o układach liniowch równań różniczkowch rzędu pierwszego oraz o sabilności punków równowagi układów auonomicznch. Osani rozdział jes poświęcon przekszałceniu Laplace a i jego wkorzsaniu do rozwiązwania równań różniczkowch liniowch. W każdm rozdziale przedsawiono przkład z pełnmi rozwiązaniami. Mogą one służć jako wzorzec prz samodzielnm rozwiązwaniu zadań podanch na końcu rozdziału. Zadania są z reguł rachunkowe, jednak ich samodzielne rozwiązanie gwaranuje lepsze opanowanie maeriału. Meod rozwiązwania równań różniczkowch są ak przedsawione, ab suden, kór zna analizę (pochodne, całki) oraz algebrę (pierwiaski wielomianów, układ równań liniowch), bez rudności je zrozumiał. W obecnm wdaniu zmieniono układ maeriału oraz przeredagowano rozwiązania niekórch zadań. Ponado poprawiono zauważone błęd i userki. Dziękujem Koleżankom i Kolegom z Wdziału Maemaki Poliechniki Wrocławskiej za uwagi o poprzednich wdaniach. Marian Gewer Zbigniew Skoczlas 7
7 1 Równaniaróżniczkowe pierwszego rzędu Przkład i pojęcia wsępne Przkład 1. Prędkość rozpadu pierwiaska promieniowórczego jes ujemna i proporcjonalna do mas subsancji, kóra w danej chwili jeszcze się nie rozpadła. Współcznnik proporcjonalności k > 0, będąc wielkością charakersczną dla danej subsancji, jes sał. Wznaczć zależność mas pierwiaska od czasu. Rozwiązanie. Jeżeli przez m() oznaczm ilość subsancji w chwili, o powższe prawo można zapisać w posaci m ()= km(). Związek wrażając zależność międz funkcjąm(), jej pochodnąm () oraz zmienną niezależną, nazwam równaniem różniczkowm rzędu pierwszego. Ławo sprawdzić, że każda funkcja posaci m()=ce k, gdzie C R, spełnia orzmane równanie, czli jes jego rozwiązaniem. Wkres rozwiązania równania nazwam jego krzwą całkową (rs.). Oczwiście z fizcznego punku widzenia rozwiązania dlac<0 nie mają sensu masa nie może bć ujemna. Pomijając en aspek nasuwa się panie, cz isnieją również inne funkcje będące rozwiązaniami rozważanego równania. Odpowiedź jes negawna. Powższ wzór określa wszskie możliwe rozwiązania rozważanego równania. m m()=ce k,c>0 m()=ce k,c<0 9
8 10 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Na funkcję m() możem nałożć pewne dodakowe warunki, zw. warunki począkowe. W naszm przpadku będzie o ilośćm 0 subsancji w pewnej chwili 0, co zapisujem m( 0 )=m 0. Zaem podsawiając w orzmanm wzorze= 0 i wkorzsując warunekm( 0 )=m 0 mam m 0 =Ce k0. Sąd C=m 0 e k0. Tak więc zależność pomiędz masą subsancji a czasem określona jes wzorem m()=m 0 e k( 0). Wkres rozwiązania przedsawiono na rsunku poniżej. Zauważm, że m() 0, gd. Oznacza o, iż z upłwem czasu ilość pierwiaska promieniowórczego maleje do zera niezależnie od jego mas począkowej. m 0 m m()=m 0 e k( 0) Przkład2. Okres połowicznego rozpadu promieniowórczego węgla C-14 wnosi la. Obliczć, jaki procen mas wjściowej pierwiaska pozosanie po la. Rozwiązanie. Jak wnika z poprzedniego przkładu zależność pomiędz masą subsancji promieniowórczejmaczasem(uaj liczonm w laach) ma posać m()=m 0 e k( 0), gdziem 0 oznacza masę subsancji w chwili począkowej 0, ak współcznnik proporcjonalności (zależn od czasu połowicznego zaniku). Przjmując 0 =0 orzmam m()=m 0 e k. Wkorzsując fak, że okres połowicznego zaniku węgla C-14 wnosi la mam Sąd k = ln 2/5730. Tak więc m(5730)=m 0 e k5730 = m 0 2. m()=m 0 exp ( ln2 ) Zaem po laach węgiel C-14 będzie miał masę ( m(10000)=m 0 exp ln2 ) Czas, po upłwie kórego rozpada się połowa mas pierwiaska. 0
9 Przkład i pojęcia wsępne 11 Sąd procen mas wjściowej pierwiaska, kór pozosanie po la, wnosi ( m(10000) 100%=exp ln2 ) m % 29.83%. Przkład3. Znaleźć krzwą przechodzącą przez punk( 0, 0 )( 0 >0) aką, że odcinek scznej zawar międz osiami układu współrzędnch dzieli się na równe części w punkcie sczności (rs.). Rozwiązanie. Niech = () (>0) będzie szukaną krzwą. Wed 2() 2 =gα. Z inerpreacji geomercznej pochodnej wnika równość ()=g(π α)= gα. 2() () Zaem funkcja() spełnia równanie różniczkowe =. α 2 =() Ławo sprawdzić, że dla dowolnej sałej rzeczwisejc funkcja określona wzorem ()= C jes rozwiązaniem orzmanego równania (rs.). Jeżeli w rozwiązaniu wkorzsam warunek( 0 )= 0, o orzmam 0 =C/ 0. SądC= 0 0. Szukaną krzwą jes zaem hiperbola równoosiowa ()= 0 0. = C,C>0 0 0 = 0 0 = C,C<0
10 12 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Definicja1.1. (równanie różniczkowe zwczajne pierwszego rzędu) Równanie (R) =f(,). nazwam równaniem różniczkowm zwczajnm pierwszego rzędu w posaci normalnej. Uwaga. Ogólną formą równania różniczkowego rzędu pierwszego nazwam równanie posaci F(,, )=0. Inaczej mówiąc, równanie różniczkowe rzędu pierwszego wiąże zmienną niezależną, zmienną zależną i jej pochodną. Będziem się posługiwali również formą różniczkową równania różniczkowego, czli równaniem posaci P(,)d+Q(,)d=0. Definicja1.2. (rozwiązanie równania różniczkowego ikrzwa całkowa) Funkcję () nazwam rozwiązaniem na przedziale(a, b) równania różniczkowego (R), jeżeli na m przedziale jes różniczkowalna i zamienia równanie w ożsamość () f(,()). Wkres rozwiązania równania różniczkowego nazwam krzwą całkową (rs. 1.1). =() a b Rs Krzwa całkowa Uwaga. Analogicznie określam rozwiązania równania różniczkowego na przedziałach: [a,b),(a,b],[a,b],(,b],[a, ). Rozwiązanie równania różniczkowego zadane w posaci uwikłanej Φ(, ) = 0 nazwam całką równania. Ponieważ każde rozwiązanie jes całką (niekoniecznie odwronie), więc częso w odniesieniu do rozwiązań użwa się akże erminu całka. Sąd mówim zwczajowo scałkować równanie różniczkowe. Przkład 4. Sprawdzić, że podana funkcja (funkcja uwikłana) jes rozwiązaniem (całką) wskazanego równania różniczkowego na zadanm przedziale: (a)()= ln ( 1 e ), =e +, (,0); (b)e =1, = 2 1+, (0, ).
11 Przkład i pojęcia wsępne 13 Rozwiązanie. (a) Funkcja()= ln ( 1 e ) określona na przedziale(,0) jes na nim różniczkowalna oraz ()= e 1 e. Z drugiej sron dla (,0) mam e +() =e ln(1 e ) =e e ln(1 e ) = e 1 e. Zaem ()=e +() dla (,0). To oznacza, że funkcja() jes rozwiązaniem równania =e + na przedziale(,0). (b) Niech() będzie funkcją uwikłaną określoną na(0, ) równanieme =1. Zaem()e () =1 dla (0, ). Różniczkując obusronnie ę równość orzmam Sąd po prosch przekszałceniach mam ()e () +()e () (()+ ())=0. ()= 2 () 1+(). To oznacza, że funkcja uwikłana () jes na przedziale(0, ) całką wskazanego równania. Definicja 1.3. (zagadnienie począkowe) Równanie różniczkowe (R) oraz warunek (W) ( 0 )= 0 nazwam zagadnieniem począkowm lub zagadnieniem Cauch ego. Uwaga. Zagadnienie począkowe będziem zapiswali w posaci (RW) =f(,), ( 0 )= 0. Liczb 0 i 0 nazwam warościami począkowmi, a (W) warunkiem począkowm. Definicja 1.4. (rozwiązanie zagadnienia począkowego) Funkcję () nazwam rozwiązaniem zagadnienia począkowego (RW), jeżeli jes rozwiązaniem równania (R) na pewnm przedziale zawierającm punk 0 i spełnia warunek (W). Uwaga. W inerpreacji geomercznej, rozwiązanie zagadnienia począkowego polega na wbraniu spośród krzwch całkowch równania (R) ej, kóra przechodzi przez punk( 0, 0 ) (rs.1.2). Augusin Louis Cauch ( ), maemak francuski.
12 14 Równania różniczkowe pierwszego rzędu 0 =() krzwe całkowe 0 Rs Zgadnienie począkowe może mieć więcej niż jedno rozwiązanie. Dla przkładu zagadnienie =2, (0)=0 ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rzeczwiście, ławo sprawdzić, że () 0 jes jego rozwiązaniem. Ponado rozwiązaniami są funkcje określone wzorem { 0 dla C, C ()= ( C) 2 dla >C, gdziec 0 (rs.). = C () C Przkład5. Sprawdzić, że dla każdego rzeczwisegoc funkcja()= 2( C 4 1 ) C 4 +1 jes na R rozwiązaniem równania różniczkowego + 2 =4. Nasępnie znaleźć rozwiązania ego równania spełniające warunek począkow (1) = 1. Rozwiązanie. Niech C będzie dowolną liczbą rzeczwisą. Różniczkując funkcję () względem zmiennejorzmam ()= 8C3( C 4 +1 ) 8C 3( C 4 1 ) (C 4 +1) 2 = 16C3 (C 4 +1) 2. Zaem dla R mam ( ( ()+ 2 16C 3 2 C 4 1 ) ) 2 ()= (C 4 +1) 2+ C 4 +1 = 16C4 +4 ( C 4 1 ) 2 (C 4 +1) 2 = 4 ( C 4 +1 ) 2 (C 4 +1) 2 =4.
13 Przkład i pojęcia wsępne 15 To oznacza, że dla każdego rzeczwisego C funkcja () jes rozwiązaniem na R równania + 2 =4. Wkorzsując warunek począkow mam 1=(1)= 2(C 1) C+1. Sąd C = 3. Zaem rozwiązanie zagadnienia począkowego dane jes wzorem ()= 2( ) 3 4 ( R). +1 TWIERDZENIE1.1. (isnienie i jednoznacznaczność rozwiązań równania (R)) Jeżeli funkcjaf(,) oraz jej pochodna cząskowa( f/ )(,) są ciągłe na obszarze D R 2, o dla każdego punku( 0, 0 ) D zagadnienie począkowe ma lko jedno rozwiązanie. =f(,), ( 0 )= 0 Uwaga. Inaczej mówiąc, dla dowolnego punku( 0, 0 ) z obszaru D isnieje rozwiązanie zagadnienia począkowego (RW). Co więcej, jeżeli dane są dwa rozwiązania o ch samch warościach począkowch (W), określone na wspólnm przedziale, o pokrwają się one. Badanie isnienia rozwiązań zagadnień począkowch oraz ich jednoznaczności jes jednm z problemów eorii równań różniczkowch zwczajnch. Inerpreacja geomerczna równania różniczkowego rzędu pierwszego Niech w równaniu (R) funkcjaf(,) będzie ciągła na obszarzed R 2. W każdm punkcie( 0, 0 ) ego obszaru narsujem odcinek o długości 1 o środku w m punkcie, leżąc na prosej, kórej współcznnik kierunkow jes równf( 0, 0 ) (rs.1.3). Odcinki e nazwam kierunkami równania różniczkowego (R). Równanie różniczkowe określa na obszarzed pole kierunków (rs. 1.4 a). Niech=() będzie krzwą całkową równania różniczkowego (R). Gd krzwa a przechodzi przez punk( 0, 0 ) D, o oczwiście 0 =( 0 ) oraz ( 0 )=f( 0,( 0 ))=f( 0, 0 ). 0 =() α 0 Rs gα=f( 0, 0 )
14 16 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Krzwa całkowa jes więc w punkcie( 0, 0 ) sczna do kierunku równania. Na odwró, jeżeli krzwa=() leż w obszarzed i w każdm jej punkcie(,) jes sczna do kierunku równania (R), o ()=f(,()), a więc=() jes krzwą całkową. Zaem scałkować równanie różniczkowe (R) na obszarze D znacz znaleźć w m obszarze wszskie krzwe, kóre w każdm punkcie będą sczne do kierunku równania (rs. 1.4 b). (a) (b) Rs.1.4. (a) Pole kierunków, (b) krzwe całkowe 1.2 Równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch Definicja1.5. (równanie różniczkowe o zmiennch rozdzielonch) Równanie różniczkowe, kóre można sprowadzić do posaci (S) =g()h(), nazwam równaniem o zmiennch rozdzielonch. Uwaga. Jeżelih( 0 )=0dla pewnego 0, o funkcja sała() 0 jes jednm z rozwiązań równania(s). FAKT1.1. (całka równania o zmiennch rozdzielonch) Jeżeli funkcjeg() ih() są ciągłe, prz czmh() 0dla każdego, o całka równania różniczkowego o zmiennch rozdzielonch(s) dana jes wzorem d h() = g()d+c, gdziec jes dowolną sałą rzeczwisą.
15 Równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch 17 Uwaga. Całki w powższm wzorze rozumiane są jako usalone funkcje pierwone. W niekórch przpadkach wgodniej jes do dalszch rozważań wbrać sałą całkowania w zw. posaci logarmicznej, j.ln C, gdziec R\{0}. Przkład 1. Scałkować równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch: (a) d d =2(+1); (b) = ; (c) = 1 2 ; (d)(1+)d+(1 )d=0. Rozwiązanie. (a) Równanied/d=2(+1) jes równaniem o zmiennch rozdzielonch(s), gdzieg()=2(+1) orazh()=. Po sprowadzeniu do form różniczkowej i rozdzieleniu zmiennch orzmam d =2(+1)d. Całkując obusronnie dosaniem d = Zaem całka równania ma posać 2(+1)d. ln =(+1) 2 +ln C, gdzie sałac jes dowolną liczbą rzeczwisą różną od zera. Sąd czli = C e (1+)2, ()= C e (+1)2 lub ()= C e (+1)2, co wobec dowolności sałejc można ująć jednm wzorem ()=Ce (+1)2. Zauważm, że h() =, więc () 0 jes również rozwiązaniem równania. Rozwiązanie o można orzmać z rozwiązania zawierającego sałą C, jeżeli dopuścim równość C=0. (b) Równanie = / jes równaniem o rozdzielonch zmiennch(s), w kórm g() =, h() = 1/, gdzie 0. Po przekszałceniu do form różniczkowej i rozdzieleniu zmiennch mam d= d. Całkując obusronnie orzmam Sąd całka równania ma posać d= d = C, czli =C 1,
16 18 Równania różniczkowe pierwszego rzędu gdziec 1 =2C jes dowolną sałą dodanią. (c) Równanie = 1 2 jes równaniem o zmiennch rozdzielonch(s), w kórmg() 1orazh()= 1 2, gdzie ( 1,1). Po przekszałceniu do form różniczkowej i rozdzieleniu zmiennch mam d 1 2 =d. Całkując obusronnie orzmam d = 1 2 d. Sąd całka równania ma posać arcsin=+c, gdziec jes dowolną sałą rzeczwisą. Z całki ej możem orzmać rozwiązanie ()=sin(+c), gdzie π 2 C<<π 2 C. Zauważm, że równanieh()= 1 2 =0ma dwa rozwiązania=1i= 1. Zaem mam jeszcze rozwiązania() 1i() 1. Rozwiązań ch nie można orzmać z rozwiązania zawierającego sałą C. (d) Rozdzielając zmienne w równaniu (1 + ) d + (1 )d = 0, orzmam 1 Skąd po obusronnm scałkowaniu mam d= 1+ d. ln =ln ++C, gdzie C jes dowolną sałą rzeczwisą. Powższe równanie określa rozwiązanie w formie uwikłanej, zaem jes całką równania. Zauważm, że równanie (1 + ) d + (1 )d = 0 po prosch przekszałceniach można sprowadzić do posaci(s), w kórmg()=(+1)/,h()=/( 1), gdzie 1. To oznacza, że funkcja () 0 jes również rozwiązaniem. Rozwiązania ego nie da się orzmać z całki ln =ln ++C dla żadnej warościc. TWIERDZENIE1.2. (isnienie i jednoznaczność rozwiązań równania (S)) Jeżeli funkcjeg() ih() są ciągłe odpowiednio na przedziałach(a,b) i(c,d), prz czmh() 0dla (c,d), o dla dowolnch punków 0 (a,b), 0 (c,d) zagadnienie począkowe =g()h(), ( 0 )= 0, ma lko jedno rozwiązanie.
17 Równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch 19 Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każd punk( 0, 0 ) prosokąa(a,b) (c,d) przechodzi lko jedna krzwa całkowa (rs. 1.5) równania =g()h(). d =() 0 c a 0 b Rs Prz czm krzwa a nie zawsze jes określona na całm przedziale(a, b). Ilusruje o poniższ przkład. Przkład 2. Wznaczć rozwiązanie równania różniczkowego o zmiennch rozdzielonch + 2 sin=3() 2 z warunkami począkowmi (a) (0) = 1; (b) (0) = 1. Podać przedział, na kórch rozwiązania są jednoznaczne. Rozwiązanie. Równanie + 2 sin=3() 2 jes równaniem o zmiennch rozdzielonch(s), gdzieg()=3 2 sin orazh()= 2. Funkcjag() jes ciągła na R, a funkcjah() jes ciągła i różna od zera na każdm z przedziałów(,0),(0, ). Rozdzielając zmienneimożem równanie zapisać w formie różniczkowej Skąd po obusronnm scałkowaniu mam Rozwiązanie ma zaem posać gdziec jes dowolną sałą rzeczwisą. d 2=(32 sin)d. 1 =3 +cos+c. 1 ()= 3 +cos+c, (a) Dla warunku począkowego(0)=1 założenia wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności są spełnione odpowiednio na R i(0, ). Ponieważ 1=(0)= 1, więc C= 2. 1+C
18 20 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Zaem jednm rozwiązaniem zagadnienia począkowego + 2 sin=3() 2,(0)= 1 jes funkcja 1 ()= 3 +cos 2. Rozwiązanie o określone jes na przedziale(, b), gdzie b oznacza pierwiasek równaniab 3 +cosb=2. (b) Dla warunku począkowego(0)= 1, założenia wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności są spełnione odpowiednio na R i(,0). Ponieważ 1=(0)= 1, więc C=0. 1+C Zaem jednm rozwiązaniem zagadnienia począkowego + 2 sin=3() 2,(0)= 1 jes funkcja 1 ()= 3 +cos. Rozwiązanie o określone jes na przedziale(a, ), gdzieaoznacza pierwiasek równaniaa 3 +cosa=0. Przkład 3. Rozwiązać zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch o rozdzielonch zmiennch: (a) = e ++1, (0)= 1; (b) =0, (1)=1. Rozwiązanie. (a) Równanie = e ++1 jes równaniem o rozdzielonch zmiennch(s), w kórmh()=e >0. Zaem nie ma ono rozwiązań dodakowch. Przekszałcając o równanie do posaci różniczkowej i rozdzielając zmienne mam Całkując obusronnie orzmam e d= e +1 d. e = e +1 +C, gdzie C jes dowolną sałą rzeczwisą. Sąd po prosch przekszałceniach dosaniem ()= ln ( e +1 C ). Wkorzsując warunek począkow mam 1=(0)= ln(e C). SądC=0. Tak więc rozwiązaniem zagadnienia począkowego jes funkcja określona dla R. ()= (+1)
19 Równania różniczkowe jednorodne 21 (b) Równanie =0jes równaniem o rozdzielonch zmiennch(s), w kórmh()= 2. Ponieważh()= 2 =0dla=0, więc funkcja() 0jes jednm z rozwiązań. Oczwiście nie jes o rozwiązanie spełniające zadan warunek począkow. Rozdzielając w równaniu zmienne orzmam Sąd po scałkowaniu obu sron mam d 2= d 2. 1 =1 +C, gdzie C jes dowolną sałą rzeczwisą. Po prosch przekszałceniach orzmam rozwiązanie ()= 1+C. Wkorzsując warunek począkow mam 1=(1)= 1 C+1. Sąd C = 2. Zaem rozwiązaniem zagadnienia począkowego jes funkcja określona dla > 1/2. ()= Równania różniczkowe jednorodne Definicja1.6. (równanie różniczkowe jednorodne) Równanie różniczkowe, kóre można zapisać w posaci (J) =f(u), gdzieu=, nazwam równaniem jednorodnm. FAKT1.2. (zamiana zmiennch w równaniu jednorodnm) Równanie jednorodne (J) przez zamianę zmiennch = u sprowadza się do równania o zmiennch rozdzielonch posaci u = 1 (f(u) u). Uwaga. Jeżelif(u 0 )=u 0 dla pewnegou 0, o jednm z rozwiązań równania (J) jes ()=u 0.
20 22 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Przkład 1. Scałkować równania różniczkowe jednorodne: (a) = + ; (b) d d = Rozwiązanie. (a) Ponieważ + =1+, więc rozważane równanie jes równaniem jednorodnm(j), gdzief(u)=1+u u. Sosując podsawienie=u, mam =u+u, a równanie przjmuje posać Obusronnie całkując orzmam u +u=1+u, czliu = 1. u()=ln +ln C, gdzie sałą całkowania wbraliśm w posaci logarmicznej. Wracając do zmiennej mam ()=ln C, gdziec jes dowolną sałą różną od zera. (b) Ponieważ = ( 2, 1 ) więc równanie jes jednorodne posaci (J), gdzief(u)=2u/ ( 1 u 2). Podsawm = u, sąd d/d = u + du/d. Wed równanie przjmuje posać u+ du d = 2u 1 u2, czli du d =u+u3 1 u 2. Po rozdzieleniu zmiennch i rozkładzie na ułamki prose mam ( 1 u 2u ) 1+u 2 du= d. Sąd po obusronnm scałkowaniu orzmam ln u ln ( 1+u 2) =ln ln C, gdzie sałą całkowania wbraliśm w posaci logarmicznej. A dalej po prosch przekszałceniach mam ( u 2 1 ) = C u
21 Równania różniczkowe jednorodne 23 Zaem ( u 2 +1 ) ( u 2 +1 ) = C lub = C, u u co wobec dowolności sałejc można ująć jednm wzorem ( u 2 +1 ) =C. u Powracając do zmiennej, po przekszałceniach orzmam =C, gdzie C jes dowolną różną od zera sałą. Wzór en określa rodzinę okręgów o środku w punkcie(0, C/2) i promieniu C /2, a więc scznch do osi O w począku układu współrzędnch. Zauważm, że skoro równanief(u)=2u/ ( 1 u 2) =u ma rozwiązanieu 0 =0, więc akże funkcja()=u 0 0 jes rozwiązaniem równania różniczkowego. TWIERDZENIE1.3. (isnienie i jednoznaczność rozwiązań równania (J)) Jeżeli funkcjaf(u) jes ciągła na przedziale(a,b) i spełnia am warunekf(u) u, o dla dowolnch punków( 0, 0 ) akich, żea< 0 / 0 <b zagadnienie począkowe ( =f, ( 0 )= 0, ) ma lko jedno rozwiązanie. Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każd punk( 0, 0 ) obszaru{(,):a</<b} przechodzi lko jedna krzwa całkowa równania (J) (rs. 1.6). Prz czm krzwa a określona jes na pewnm przedzialei (0, ), gd 0 >0, a nai (,0), gd 0 <0. =a =() =b 0 0 Rs Przkład 2. Rozwiązać zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch jednorodnch: (a) d + 2 d =2, (1)= 1; (b) = , (1)=2. Wznaczć przedział, na kórch rozwiązania są jednoznaczne.
22 24 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Rozwiązanie. (a) Ponieważ = ( 1, + = ) + więc rozważane równanie jes równaniem jednorodnm(j), gdzief(u)=u+1/u. Funkcjaf(u) jes ciągła na każdm z przedziałów(0, ),(,0), a równanief(u)= u nie ma rozwiązań. Ze względu na warości począkowe 0 =1, 0 = 1 przjmujem, że (0, ) oraz (,0). Podsawiając=u i w konsekwencji =u+u równanie można przekszałcić do posaci Całkując obusronnie mam udu= d. u 2 =2(ln+C), gdzie C jes dowolną sałą rzeczwisą. Wracając do zmiennej orzmam całkę równania 2 =2 2 (ln+c). Uwzględniając fak, że < 0 oraz > 0 mam rozwiązanie ()= 2(ln+C). Uwzględniając warunek począkow (1) = 1 orzmam C = 1/2, a w konsekwencji rozwiązanie zagadnienia począkowego w posaci ( ()= 2 ln+ 1 ). 2 Rozwiązanie określone jes dla ch warości zmiennej, dla kórch spełniona jes nierównośćln+1/2>0. Zaem rozwiązanie jes określone na przedziale ( 1/ e, ). Z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności dla równań jednorodnch wnika, że rozwiązanie jes jedne. (b) Mam = 2. Równanie jes więc równaniem jednorodnm (J), gdzie f(u)= 2 u 2 1 u = (2 u)u 2u 1. Funkcjaf(u) jes ciągła na każdm z przedziałów(,1/2),(1/2, ). Ponado równanief(u)=unie ma rozwiązań w ch przedziałach. Ze względu na warości
23 Równania różniczkowe jednorodne 25 począkowe 0 =1, 0 =2 przjmujem, że (0, ) oraz (1/2, ). Dokonując podsawienia=u mam =u+u. W konsekwencji równanie wjściowe można przekszałcić na równanie różniczkowe o zmiennch rozdzielonch posaci u +u= (2 u)u 2u 1. Po prosch przekszałceniach i rozdzieleniu zmiennch orzmam 2u 1 u(1 u) du=3d. Rozkładając lewą sroną równania na ułamki prose ( ) 2u 1 1 u(1 u) du= 1 u 1 u i całkując obusronnie mam du ln 1 u ln u =3ln ln C, gdziec jes dowolną różną od zera sałą rzeczwisą. Sąd Zaem u(1 u) = C 3. u(1 u)= C 3 lub u(1 u)= C 3, co wobec dowolności sałejc można ująć jednm wzorem u(1 u)= C 3. Wracając do zmiennej, po prosch przekszałceniach, orzmam całkę posaci 2 + C =0. Z warunku(1)=2mam,c= 2. Zaem całka równania spełniająca warunek począkow ma posać 2 2 =0. Sąd wznaczając, prz uwzględnieniu, że (1/2, ), orzmam rozwiązanie zagadnienia począkowego ( ) ()= Rozwiązanie o określone jes na przedziale(0, ). Z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności dla równań jednorodnch wnika, że rozwiązanie jes jedne.
Krzywe na płaszczyźnie.
Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowowięc powyższy warunek będzie zapisany jako dy dt
Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Wprowadzenie DEFINICJA. Równaniem różniczkowm zwczajnm rzędu pierwszego nazwam równanie posaci gdzie f : f (, ), () U jes daną funkcją. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062
Równania różniczkowe zwczajne MAP 34, 36 Opracowanie: dr Marian Gewer, dr Zbigniew Skoczlas Lisazadań.Zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosałogram,apoupłwiedalszch4lalko 4 gram. Wznaczć masę subsancji
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne A
Lisa pierwsza Równania różniczkowe zwczajne A Lis zadań..zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosało20gram,apoupłwiedalszch4lalko 4 gram. Wznaczć masę subsancji w chwili począkowej. b) Polon-20 ma okres
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Lisa zadań 26/27 Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. dr Zbigniew Skoczlas Lisa pierwsza. a)zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosało2gram,apoupłwiedalszch4la lko 4 gram.
Bardziej szczegółowooznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim
WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 9 ALGEBRA
Algebra WYKŁAD 9 Krzwe sożkowe Definicja Prosa sczna do krzwej K w punkcie P jes o prosa, będąca granicznm położeniem siecznch s k przechodzącch przez punk P i P k gd punk P k dąż zbliża się do punku P
Bardziej szczegółowoRZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego
NIELINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego ma postać:
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoWykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ
ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ Marian Gewert Zbigniew Skoczlas ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ Teoria, przkład, zadania Wdanie szóste zmienione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoZwiązek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu
Związek międz ruchem harmonicznm a ruchem jednosajnm po okręgu Rozważm rzu Q i R punku P na osie i : Q cos v r R sin R Q P δ Q cos ( δ ) R sin ( δ ) Jeżeli punk P porusza się ruchem jednosajnm po okręgu,
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoCechy szeregów czasowych
energecznch Cech szeregów czasowch Rozdział Modelowanie szeregów czasowch 7 proces deerminisczn proces kórego warość może bć preczjnie określona w dowolnm czasie =T+τ = a +b T T+τ czas = sin(ω) T T+τ czas
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx =
achunek prawdopodobieństwa MAP6 Wdział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wkładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przkład do list : Całki podwójne Przkład do zadania. : Obliczć dane całki podwójne po wskazanch
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyki Stosowanej
Fizka dla Informaki Sosowanej Jacek Golak Semesr zimow 08/09 Wkład nr 7 Na poprzednim wkładzie zajmowaliśm się elemenami saki i dnamiki brł szwnej. Jes o z definicji zbiór punków maerialnch o ej własności
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowoLista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C,
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i symulacje
Prognozowanie i smulacje Lepiej znać prawdę niedokładnie, niż dokładnie się mlić. J. M. Kenes dr Iwona Kowalska ikowalska@wz.uw.edu.pl Prognozowanie meod naiwne i średnie ruchome Meod naiwne poziom bez
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowoMAP1149 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 A MAP1150 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 B Listy zadań
MAP49 ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A MAP5 ANALIZA MATEMATYCZNA.3 B Lis zadań Lisa.. Wznaczć i narsować dziedzin nauralne funkcji: f,)= 3 5 ; b)f,)=sin + ) + ; c)f,)= + 5 ; f,)=ln + 4 9 ; e)f,,z)= + + z ; f)f,,z)=arcsin
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzysano: M A T E M A T Y K A Wykład dla sudenów Część Krzyszo KOŁOWROCKI, ZBIÓR ZADAŃ Z RACHUNKU CAŁKOWEGO Krzyszo PISKÓRZ Deinicja CAŁKA NIEOZNACZONA Funkcję
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoWykład 4 Metoda Klasyczna część III
Teoria Obwodów Wykład 4 Meoda Klasyczna część III Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 5/8 el: (7) 3 6 fax: (7)
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062 Lista zadań
Równania różniczkowe zwyczajne MAP 304, 306 Lisa zadań.zpewnejsubsancjiradioakywnejpoupływie4lazosało0gram,apoupływiedalszych4laylko 4 gramy. Wyznaczyć masę subsancji w chwili począkowej. (b) Polon-0 ma
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoCałkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoZestaw 0. 1 sin 2 x ; k) (arctg x) 0 = 1 ; l) (arcctg x) x 2 m) (arcsin x) 0 = p 1
Podstawowe wzor rachunku ró zniczkowego Zestaw. Rachunek ró zniczkow i ca kow a) (f () g ()) = f () g () + f () g () b) f (g ()) = f (g ()) g () f() c) g() = f ()g() f()g () d) ( n ) = n n g () e) (log
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika
Bardziej szczegółowoZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR
ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR ZADANIA w semestrze zimowm Teoria zbiorów funkcje. Podać interpretację geometrczną zbiorów: A B jeżeli A = i B = A B X = X X X gdzie X = gdzie A= { : } B = d) { }
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez
Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/49 Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoWygładzanie metodą średnich ruchomych w procesach stałych
Wgładzanie meodą średnich ruchomch w procesach sałch Cel ćwiczenia. Przgoowanie procedur Średniej Ruchomej (dla ruchomego okna danch); 2. apisanie procedur do obliczenia sandardowego błędu esmacji;. Wizualizacja
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowoZajęcia 2. Estymacja i weryfikacja modelu ekonometrycznego
Zajęcia. Esmacja i werfikacja modelu ekonomercznego Celem zadania jes oszacowanie liniowego modelu opisującego wpłw z urski zagranicznej w danm kraju w zależności od wdaków na urskę zagraniczną i liczb
Bardziej szczegółowoPodstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.
Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoWYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione
YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoTeresa Jurlewicz Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA. Definicje, twierdzenia, wzory. Wydanie ósme poprawione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczlas ALGEBRA LINIOWA Definicje, twierdzenia, wzor Wdanie ósme poprawione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław 2015 Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
Podsawowe człony dynamiczne charakerysyki czasowe. Człon proporcjonalny = 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny = = + 4. Człony całkujący rzeczywisy () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisy ()
Bardziej szczegółowoKonspekty wykładów z ekonometrii
Konspek wkładów z ekonomerii Budowa i werfikaca modelu - reść przkładu W wniku ssemacznch badań popu na warzwa w pewnm mieście, orzmano nasępuące szeregi czasowe: przros (zmian) popu na warzwa (w zł. na
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu
Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowo