RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

Transkrypt

1 RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH

2 einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które całkowicie go wpełniają i mają parami rozłączne wnętrza. Niech k k będą długościami boków prostokąta Rk oraz dk będzie jego przekątną Średnicą podziału Pn nazwam liczbę: mad n k n k

3 Przjmujem że liczba n zmierza do nieskończoności i rozważam ciąg podziałów P n einicja Ciąg podziałów P n jeżeli spełnion jest warunek:. Niech unkcja będzie określona i ograniczona na prostokącie R. Z każdego prostokąta Rk wbieram dowoln punkt i tworzm sumę S n prostokąta R nazwam normalnm lim n n n k A k k k A k k k

4 EFINICJA Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostokąta R niezależnie od wboru punktów A k ciąg sum S n dąż do tej samej granic to nazwam ją całką podwójną unkcji po prostokącie R i opisujemm wzorem: P n R. dd lim n n k n A k k k

5 Wniosek Jeżeli w prostokącie R to całka podwójna unkcji po prostokącie R jest objętością V brł tzn.: Wniosek z : R; z V dd. R Jeżeli w prostokącie R to całka podwójna unkcji po prostokącie R jest równa polu prostokąta R.

6 Bezpośrednio z einicji wnikają własności całki podwójnej wszczególnione w następującm twierdzeniu. Twierdzenie R R [ c g ] dd dd dd c R dd R dd dd RR R R R gdzie R R R Φ g dd dd

7 Twierdzenie o zamianie całki podwójnej na całkę pojednczą iterowaną Jeżeli unkcja jest ciągła na prostokącie R ={ : a b c d} to b d dd [ d] d R a c oraz d b dd [ d] d. R c a

8 Uwaga Powższe twierdzenie oznacza że obliczanie całki podwójnej po prostokącie sprowadza się do dwukrotnego obliczenia całki pojednczej oraz że jej wartość nie zależ od kolejności całkowania. Całkę po prostokącie oznaczam także smbolami: b a d d c b c a dd dd.

9 Przkład Obliczć objętość brł ograniczonej powierzchniami: Rozwiązanie: Y Z 5 : z R. z z

10 R dd V d ] 9 [ ] 6 [ d d ] [ dd d ] [ d 6

11 Przkład rozwiązane na wkładzie 4 5 R dd gdzie R :. dd gdzie R : R e cos dd dd

12 einicja Obszar domknięt określon nierównościami a b : gdzie oraz są unkcjami ciągłmi w przedziale [ab] nazwam obszarem normalnm względem osi OX

13 Twierdzenie Jeżeli unkcja jest ciągła w obszarze normalnm względem osi OX to dd [ b a d] d.

14 einicja Obszar domknięt określon nierównościami c d : gdzie oraz są unkcjami ciągłmi w przedziale [cd ] nazwam obszarem normalnm względem osi OY

15 Twierdzenie Jeżeli unkcja jest ciągła w obszarze normalnm względem osi OY to d dd [ d] d. c

16 Uwaga wa ostatnie twierdzenia oznaczają że obliczanie całki podwójnej po obszarze normalnm zależ od kolejności całkowania!

17 Przkład dd gdzie :. RYSUNEK

18 dd ] [ d d ] [ d 4 8 d 5 4 ] 4 8 [. 5 ] [ ] [ d

19 Przkład Rsunek: dd gdzie : 4 4. wznaczam obszar obszar normaln względem osi OY

20 dd 4 : Rozwiązanie: 4 ] [ d d 4 ] [ d 4 ] 8 [ d 4 8 d 4 ] 5 6 [ ] 5 64 [

21 Wniosek Jeżeli w obszarze to całka podwójna unkcji po obszarze jest objętością V brł tzn.: Wniosek z : ; z V dd. Jeżeli w obszarze to całka podwójna unkcji po obszarze liczbowo jest równa polu obszaru.

22 Przkład Oblicz objętość V brł ograniczonej powierzchniami: z 6 z Rsunek: wznaczam obszar

23 Przkład Oblicz objętość V brł ograniczonej powierzchniami: Rozwiązanie: RYSUNEK 6 z z d d V 6 6 d d To prosta całka pojedncza

24 Przkład Oblicz pole trójkąta ograniczonego liniami: 6 Pole obszaru całkowania z poprzedniego zadania 6 P d d d... 6

25 Przkład opisu obszaru normalnego Zapisać wrażenie w postaci jednej całki podwójnej: d d d d : Rozwiązanie: Rsunek

26 Przkład opisu obszaru normalnego Zapisać wrażenie w postaci jednej całki podwójnej: d d e d ln d Rozwiązanie: Rsunek : e

27 Przkład opisu obszaru normalnego Zapisać wrażenie w postaci jednej całki podwójnej: d d d d : Rozwiązanie: Rsunek

28 Przkład rozwiązane na wkładzie e AOB d d :{ d d A B } d d A B5 C4 ABC

29 Zamiana zmiennch w całce podwójnej Rozważm wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie pewnego obszaru Δ w obszar v u v u v u Δ v u

30 Zamiana zmiennch w całce podwójnej Rozważm wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie pewnego obszaru Δ w obszar Wznacznik: v u v u v u J nazwam jakobianem przekształcenia v u v u v u

31 Twierdzenie Jeżeli :. Funkcje są ciągle i mają u v i u v ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w obszarze domkniętm Δ. Przekształcenie wnętrza obszaru Δ na wnętrze. to: obszaru jest wzajemnie jednoznaczne J u v dd u v u v J u v dudv

32 Bardzo użteczne jest przekształcenie biegunowe. Które stosujem głównie wted gd obszar jest kołem wcinkiem koła lub pierścieniem. Wted obszar Δ jest prostokątem. J r Wted r cos r sin r cos r sin sin r cos r r dd r cos r sin rdrd.

33 gdzie dd. 4 : Przkład rozwiązane na wkładzie B A OAB dd gdzie gdzie ln e dd. 4 gdzie dd dd : 4 5

34 Zastosowania Objętość brł pole powierzchni obszarów Pole płata powierzchniowego: Jeżeli unkcja z= jest ciągla wraz z pochodnmi cząstkowmi pierwszego rzędu to pole tej części powierzchni której rzutem równoległm do osi OZ na płaszcznę OXY jest obszar wraża się wzorem: S dd Filmiki: S ' ' Objetość brł z zamianą współrzędnch pole płata dd

35 Zastosowania Środki ciężkości obszaru o danej gęstości mas g Wliczam masę m obszaru oraz moment statczne M i M M m g dd g dd M g dd Środek ciężkości obszaru o danej gęstości mas g ma współrzędne: M m M m