Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Transkrypt

1 Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać rozwiązania równania: a. = cos 2, b. = ( + 1) 2, c. = 2e, d. = +1, e. = 4, f. = 2 + 1, h. = ( +1 ) ln 2. Rozwiązać zagadnienia: g. = sin (cos 2 cos 2 ), a. = sin e +1 1+cos, (0) = 0; b. = (1+42 ) 1+ 4, (1) = 0; c. = , (0) = Znaleźć całkę pierwszą nasępujących równań: a. = ( + + 1) 2, b. = 1 +, c. = sin( + ), d. = , e. = 1 + e +5, f. =. 4. Znaleźć ogólną posać rozwiązania nasępujących równań: a. =, b. = +, c. = 2 + 2, d. = Rozwiązać zagadnienia: a. = 3 3 2, (1) = 2; b. = , (1) = 2; c. = +e e, (1) = 0; d. = cos, (0) = 2 e. = (+) , (1) = 1; f. = e + 2++e, (0) = Rozwiązać zagadnienia: a. + 2 = sin, (0) = 1; b. + 4 = 3, (1) = 1; c. 1+ = +2 1+, (0) = 1; d = e 3, (1) = 1; e. = 2 + (e 3 e 2 ), (0) = 2; f. = + e, (1) = 2; g. =, (5) = 2; h. = 2, (1) = 1.

2 7. Rozwiązać równania jednorodne: a. 2 + = 0, b. = e /, c. = cos ( log ). 8. Czy równanie + e = 0 ma rozwiązanie? 9. Znaleźć całkę ogólną (zn. znaleźć rozwiązanie ogólne) równań liniowych mnożąc je przez odpowiedni czynnik całkujący: a. + cos = 0, b. + 2 = 2, c. + 2 = 1, d = e. 10. Rozwiązać nasępujące zagadnienia począkowe bez znajdowania rozwiązania ogólnego: a. y y = 0, y(0) = 5; b. y + y = 1 +, y(3/2) = Udowodnić, że dla równania + a() = f(), gdzie a i f są funkcjami ciągłymi, a() c > 0, oraz lim f() = 0, zachodzi lim () = Udowodnić, że równanie Bernoulliego + a() = b() m, m R, sprowadza się przez zamianę zmiennych z() = () 1 m do równania liniowego. 13. Rozwiązać równania: a. + = 2 log, b. = Równanie posaci + a() = b() 2 + f(), gdzie a, b, f są danymi funkcjami, nazywa się równaniem Riccaiego. Nie isnieje ogólny sposób całkowania ego równania. Udowodnić, że jeżeli znamy jedno jego rozwiązanie 1 (), o funkcja u() = () 1 () spełnia równanie Bernoulliego. 15. Znaleźć rozwiązania szczególne nasępujących równań Riccaiego, zredukować je do równań ypu Bernoulliego i scałkować: a = 4, b. +2e 2 = e 2 +e, c. = 2 + 2, d. = 1 + 2, e. = , f. = e 2 +(1+2e ) Niech Ω R 2 będzie obszarem jednospójnym i niech M(, y), N(, y) będą funkcjami klasy C 1 określonymi na Ω, dla kórych spełniony jes warunek M = N. Wykazać, że isnieje wówczas funkcja U : Ω R y aka, że U U (, y) = M(, y), (, y) = N(, y). y

3 Wskazówka: U(, y) = (M(, y) d + N(, y) dy), gdzie Γ jes krzywą zawarą w Ω i łączącą dowolnie usalony punk ( 0, y 0 ) Ω z punk- Γ em (, y). Wykazać, że całka a nie zależy od drogi całkowania (wzór Greena). 17. W podanych równaniach dobrać sałą a ak, aby było ono zupełne, a nasępnie rozwiązać je: a. + ye 2y + ae 2y y = 0, b y 2 + (a+1) y 3 y = Znaleźć współczynnik f = f() w równaniu f() = 0, jeżeli wiadomo, że ma ono czynnik całkujący posaci u() =. 19. Rozwiązać równania w posaci różniczek zupełnych: a. 2 d + ( 2 2 ) d = 0, b. e d (2 + e ) d = Sprawdzić, że podana funkcja µ(, ) jes czynnikiem całkującym danego równania. Rozwiązać równania: a. 6y d + (4y ) dy = 0, µ(, y) = y 2 ; b. y 2 d + ( 2 + y) dy = 0, µ(, y) = 1/( 2 y); c. y( + y + 1) d + ( + 2y) dy = 0, µ(, y) = e. 21. Równanie różniczkowe może mieć więcej niż jeden czynnik całkujący. Udowodnić, że µ 1 (, y) = 1/(y), µ 2 (, y) = 1/y 2, µ 3 (, y) = 1/( 2 + y 2 ) są czynnikami całkującymi równania y d dy = 0. Uzasadnić, że orzymane przy pomocy ych czynników całkujących rozwiązania są równe. 22. Scałkować równania meodą czynnika całkującego: ( ) ( ) a. + 1 d + 1 dy = 0, b. ( 2 + y)d dy = 0, y y c. (y + 2 )dy + ( y)d = Obliczyć pierwsze dwie ieracje Picarda dla zagadnienia y = 2 + y 2, y(0) = Obliczyć pierwsze rzy ieracje Picarda dla zagadnienia y = e + y 2, y(0) = 0.

4 25. Wyprowadzić wzór na n-ą ierację Picarda y n () i obliczyć jej granicę, gdy n dla podanych zagadnień Cauchy ego: a. y = y, y(0) = 1; b. y = + y, y(0) = 1. c. y = 2y, y(0) = 1; d. y + y 2 = 0, y(0) = Obliczyć kolejne ieracje Picarda dla zagadnienia Cauchy ego y = 2(y + 1), y(0) = 0 i udowodnić, że zbiegają one do rozwiązania y() = e Dla podanych niżej zagadnień Cauchy ego udowodnić, że rozwiązanie y = y() isnieje na zadanym przedziale. Czy jes o jedyne rozwiązanie? a. y = y 2 + cos 2, y(0) = 0, 0 1/2; b. y = 1 + y + y 2 cos y(0) = 0, 0 1/3; c. y = + y 2, y(0) = 0, 0 (1/2) 2/3 ; d. y = e 2 + y 2, y(0) = 0; 0 1/2; e. y = e 2 + y 2, y(1) = 0, e/2; f. y = y + e y + e, y(0) = 0, Udowodnić, że y() = 1 jes jedynym rozwiązaniem zagadnienia y = (1 + y), y(0) = Uzasadnić, że zagadnienie = 1 + 2, (0) = 0 nie ma rozwiązania określonego na całej prosej. 30. Czy wykresy dwóch różnych rozwiązań danego równania mogą się przecinać w pewnym punkcie ( 0, 0 ), jeżeli równaniem ym jes: a. = 2 +, b. = 1/ Znaleźć rozwiązanie zagadnienia = 1 2, (0) = 1, różne od rozwiązania () 1. Kóre z założeń Twierdzenia Picarda-Lindelöfa nie jes spełnione? 32. Wyznaczyć nieskończenie wiele rozwiązań równania = 2 1/2 z warunkiem począkowym (0) = 0. Kóre z założeń Twierdzenia Picarda- Lindelöfa nie jes spełnione?

5 33. Inny dowód uproszczonej wersji Lemau Gronwalla. Niech w() będzie nieujemną ciągłą funkcją spełniającą w() L 0 w(s) ds na odcinku α. Ponieważ w jes ciągła, isnieje aka sała A, że 0 w() A dla wszyskich α. a. Udowodnić, że w() LA( 0 ). b. Użyć ego oszacowania do dowodu, że w() AL 2 ( 0 ) 2 /2. c. Wykazać indukcyjnie, że w() AL n ( 0 ) n /n!. d. Udowodnić, że w() = 0 dla α. 34. Dla jakich α zagadnienie = 2/3, (0) = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań określonych na odcinku [0, α]. 35. f, g : R R są funkcjami ciągłymi, funkcja f spełnia warunek Lipschiza. Wykazać, że zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie. 1 = f( 1 ), 1 ( 0 ) = = g( 1 ) 2, 2 ( 0 ) = Rozparujemy równanie ( ) = f(), R. Wykazać, że: a. Jeśli f jes funkcją ograniczoną, o każde rozwiązanie równania ( ) jes określone na całej prosej. b. Równanie ( ) nie ma rozwiązań okresowych. 37. Udowodnić, że układ równań =gradg(), R n, g : R n R, g C 2 (R n ) nie ma rozwiązań okresowych. 38. Zakładamy, że () jes rozwiązaniem układu równań = f(), R n i zbiór {() : R} jes zwary. Wykazać, że () jes funkcją sałą lub rozwiązaniem okresowym.