drgania h armoniczne harmoniczne

Transkrypt

1 ver-8..7 drgania harmoniczne

2 drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne () An cos( nω + ϕ n ) N n Fig (...)

3 analiza Fouriera

4 małe drgania E p E E k E p ( ) jeden sopień swobody: -A A E p równowaga rwała: de d p d E, d p > usalmy: E p ( ) MacLaurin: E p de p p ( ) E ( ) L p d d E d

5 przybliżenie małych drgań E p E d E p E p ( ) d E k E p A -A A k, k > de p F d ( ) k

6 siła sprężysości siła sprężysości: F k k -współczynnik sprężysości (R.Hooke, 676) hp://

7 oscylaor harmoniczny r F r r r kr F ruch jes płaski y v r F siła cenralna siła zachowawcza r r,v ogólnie orem jes elipsa w płaszczyźnie: ( )

8 oscylaor jednowymiarowy F k k > d d m k + ω d d ω k m A rozwiązanie: () Acos( ω + ϕ ) T ϕ /ω

9 paramery A T () Acos( ω + ϕ ) ϕ /ω ω k m ( ω + ϕ ) ω - częsość kołowa A - ampliuda ϕ - faza począkowa - faza w chwili periodyczność: dla każdego (zależy od war. począkowych) (zależy od war. począkowych) ( + T ) ( ) T - okres drgań: T π ω częsoliwość: ν T

10 A, ω, ϕ A A ω ω ϕ ϕ + π 4

11 , v, a A () Acos( ω + ϕ ) v () Aω sin( ω + ϕ ) π A ω cos ( ω + ϕ + ) cos ϕ v ω A ampliuda: Aω przesunięcie fazy: π/ a ( ) Aω cos ( ω + ϕ ) Aω cos( ω + ϕ + π ) ampliuda: Aω przesunięcie fazy: π a ω A

12 warunki począkowe A, ϕ są określone przez warunki począkowe w chwili : Acosϕ v ω sinϕ A czyli: v A + ω anϕ v ω

13 energia E p ( ) F d k d k k ( ) k ka ( ω + ϕ ) E[ ( ω + ϕ )] cos cos E p ( ) mv ma ω ( ω + ϕ ) E + ( ω + ϕ ) sin cos E k [ ] k mω więc: E ma E ma p k E E E ω p + E k ka ma siła sprężysa jes zachowawcza i energia całkowia jes sała w czasie

14 E p, E k E p E/ E k E/

15 drgania dwóch ciał d m d m k d d m k d m nowa zmienna: d jes o wydłużenie sprężyny, > położenie równowagi: m m m + m d d d d m m ozn k μ m + m d μ d k masa zredukowana ω k μ T π μ k

16 wahadło maemayczne M momen sił: M mgd sinα ω d α momen bezwładności: ł ś równanie: md I md d α d mgd g sinα mg d α g dla małych drgań: + α d d d α g + sinα d d ( ) A cos ( ω ϕ ) α + g d d α α ω 4 ( ) ma ( 3 ) ma T π + sin + 4 sin + L g

17 wahadło

18 superpozycja drgań równoległych A cos ( ω + ϕ ) cos ϕ A ( ω + ) cos ϕ + Acos ( ω + ϕ ) ( ) ω + ϕ A A ( ϕ ) A + A + A A cos ϕ A ϕ ϕ ϕ A anϕ A sinϕ A cosϕ + + A A sinϕ cosϕ

19 częsość kołowa

20 składanie drgań ϕ ϕ A A + A ϕ ϕ ± A A A π

21 dudnienia ω ω + Δω Acosω Δ ω << ω Acos( ω + Δω ) A A, ϕ ϕ + [ Acos( ω )] cosω Δ

22 drgania prosopadłe y Acos Bcos ( ω ) ( ω + ϕ ) równania parameryczne oru A y B y AB + cosϕ s sin ϕ elipsa y

23 przykłady ϕ B y A ϕ ± π B y A degeneracja do prosej ϕ ± π A B R ( ω ) ( ω ) R cos y ± R cos ruch po okręgu z prędkością kąową ω krzywe Lissajous: (ω ω ) hp://galeb.ef.bg.ac.yu/~milosr/java/lissajou/lissajou.hm hp://

24 drgania łumione d m d k r d d r cons -współczynnik oporu siła sprężysa siła oporu (niezachowawcza) d d d + β + ω d def r β mm ω k m -współczynnik łumienia -własna częsość kołowa β rozwiązanie: A e cos( ω + ϕ )

25 drgania łumione (cd.) A e β cos ( ω + ϕ ) ω ω β β () A e A - zmienna ampliuda... dekremen: A() ( + T ) λ ln A + βt energia maleje: de d d r d (<)

26 częsość A e β cos ( ω + ϕ ) ω ω β - częsość drgań łumionych ω > β łumienie i powoduje zmniejszenie i częsości ś ale ω ( ) cons T ω π β rośnie wraz z β

27 ruch aperiodyczny β ω - ruch kryyczny β ( ) e ( + β ) β > ω - ruch aperiodyczny () ( β β ω ) ( ) Ae β + β ω + Be hp://

28 drgania wymuszone F F cosω d d + d β + ω f d cosω f F m równanie niejednorodne rozwiązanie: ogólne + szczególne drgania zanikające drgania o sałej ampliudzie (nie zależą od war. począkowych)

29 rezonans f A an ϕ ( ω ω ) + 4β ω ω βω ω

30 częsość rezonansowa da dω maksimum ampliudy: 4( ω ω ) ω + β ω ω r ω β A r f β ω β β ω r A r ω ω A F mω ω β > brak rezonansu

31 krzywe rezonansowe A β > β > β 3 > β 4 > β 5 ω ω

32 rezonans parameryczny l l

33 koniec

34 zagadnienia i małe drgania ruch harmoniczny energia drgań harmonicznych wahadło składanie drgań drgania łumione rezonans

35 glossary periodic moion elasiciy Hook s law spring poenial energy simple pendulum, large ampliude p. equilibrium i period, frequency, ampliude resonan freqency damped harmonic oscillaor driven oscillaor over(under)damped, criical damping double pedulum