Krzywe na płaszczyźnie.

Transkrypt

1 Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać parą współrzędnch (r,), gdzie r jes równe odległości punku od bieguna O, a jes równe mierze kąa skierowanego międz półosią, a półprosą poprowadzoną z bieguna przez dan punk. r P=(r,) O Układ współrzędnch biegunowch można przedsawić jako zbiór nieskończenie wielu okręgów o wspólnm środku (biegunie), przecięch półprosmi o począku w biegunie i wróżnioną półosią: Niekóre krzwe w posaci biegunowej: Okrąg (promieniu a,a>0, środek w biegunie): r=a Spirala Archimedesa: r=

2 Ślimak Pascala: Kardioida ( krzwa sercowa)- krzwa opisana przez usalon punk okręgu oczącego się bez poślizgu po zewnęrzu innego nieruchomego okręgu o ej samej średnic (parz środkow rsunek powżej) r=+cos abela: 0 r lub wkres (na osi rzędnch mam r a na osi odcięch ką)

3 ,5,5 0, Róża: r=sin(4) Zależność międz współrzędnmi biegunowmi a współrzędnmi karezjańskimi: (za półoś przjmujem dodanią półoś O)

4 sin cos r r Współrzędne paramerczne. Współrzędne e są pewną modfikacją współrzędnch karezjańskich. Współrzędne (,) są różnmi funkcjami ego samego argumenu :,, ) ( ) ( Krzwa o równaniu: R, 3 o prosa: W en sposób każda prosa można opisać paramercznie: R d c b a, Krzwa o równaniu: 0,, sin cos r b r a o okrąg o promieniu r i środku w punkcie (a,b).

5 Ckloidakrzwa jaką zakreśla usalon punk okręgu, kór ocz się bez poślizgu po prosej Aseroida: krzwa płaska, jaką zakreśla usalon punk okręgu oczącego się bez poślizgu wewnąrz okręgu o większm promieniu a cos asin 3 3, 0,

6 Zasosowania całki oznaczonej dla współrzędnch biegunowch i paramercznch:. Pole figur płaskiej: r() S r ( ) d S ( ) ( ) S ( ) ( ) S ( ) '( ) d. Objęość brł obroowej

7 ( ) ( ) ( ) ( ) V ( ) '( ) d 3. Długość krzwej. Zakładam, że r () jes ciągła L r ( ) r'( ) d Zakładam, że () i () są ciągłe L '( ) '( ) d

8 4.Pole powierzchni obroowej powsałej przez obró P ( ) '( ) '( ) d Równania różniczkowe zwczajne I rzędu. Def. Równaniem różniczkowm zwczajnm I rzędu nazwam równanie posaci: w kórm wsępuje isonie, pozosałe zaś argumen mogą, lecz nie muszą wsępować., Uwaga: r.r.- skró od równanie różniczkowe Def.. Rozwiązaniem (całką) r.r. nazwam każdą funkcję spełniającą dane równanie, dla każdego z pewnego przedziału. Def.3.

9 Rozwiązaniem ogólnm (całką ogólną) r.r. nazwam każdą funkcję posaci, kóra dla każdej warości C jes rozwiązaniem ego r.r. Def.4. Rozwiązaniem szczególnm (całką szczególną) r.r. nazwam każdą funkcję posaci, kórą orzmujem z całki ogólnej poprzez przjęcie C=C 0. Def.5. Zagadnieniem Cauch ego I rzędu nazwam poszukiwanie akiego rozwiązania szczególnego, kóre spełnia zw. warunki począkowe posaci:. Oznacza o poszukiwanie akiej funkcji, kórej wkres przechodzi przez z gór zadan punk Def.6. Rozwiązaniem osobliwm (całką osobliwą) r.r. nazwam akie rozwiązanie, kórego nie można orzmać z rozwiązania ogólnego prz żadnej warości sałej C. Sposób rozwiązania równania różniczkowego zależ od jego posaci. Równanie różniczkowe o zmiennch rozdzielonch. d d f ( ) g( )

10 gdzie f(), g() są określone i ciągłe odpowiednio w przedziałach. Rozwiązanie ego równania polega na sprowadzeniu go do posaci: zakładając, że d f ( ) d g( ) Całkujem każdą ze sron równania względem zmiennej (po lewej sronie) i względem ( po prawej sronie). Orzmujem wówczas równanie: d g( ) f ( ) d C gdzie C jes dowolną sałą. Przkład ()

11 d 0 d d : d d d 0 ln d C e C d C lub lub ln lnc Ce C 0 C 0 Jeśli rozwiązanie ogólne przedsawim w posaci:, o ewenualne równanie osobliwe =0 (można sprawdzić podsawiając =0 do wjściowego równania) zosanie ujęe w m rozwiązaniu. Przkład () Zagadnienie Cauch ego.

12 d 3 0, d (0) d d 3 d,5 d ln,5 lnc,5 Ce Ce,5 Uwzględniając warunek począkow obliczam szczególną warość C i całkę szczególną: Ce 0 5,5 C,5 0,5,5 0,5e Równanie różniczkowe jednorodne ze względu na. d d f, 0 gdzie f jes funkcją ciągłą w pewnm przedziale i zależ lko (!) od ilorazu Sprowadza się o równanie do równania o zmiennch rozdzielonch poprzez podsawienie:

13 Sąd oraz Po orzmaniu rozwiązania r.r. względem u powracam do ilorazu wznaczam funkcję. i Przkład (3) d d, 0, 0 d d Po podsawieniu j.w. u du d du d udu u du d u u u u u u u u d udu ln d C (ln C)