II.2 Położenie i prędkość cd. Wektory styczny i normalny do toru. II.3 Przyspieszenie

Transkrypt

1 II. Położenie i prędkość cd. Wekory syczny i normalny do oru. II.3 Przyspieszenie Wersory cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych krzywoliniowych Wyrażenia na prędkość w układach cylindrycznym i sferycznym Krzywe w przesrzeni. Wersory Frenea. Krzywizna i promień krzywizny Tor i hodograf Wekor przyspieszenia Przyspieszenie syczne i normalne Przyspieszenie radialne i ranswersalne Jan Królikowski Fizyka IBC 1

2 Wersory cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych krzywoliniowych. Dla wersorów układu cylindrycznego wyrażonych w karezjańskim UW obowiązują wzory: cos φ sin φ 0 eˆ ˆ ˆ r = sin φ, eφ = cos φ, ez = Jan Królikowski Fizyka IBC

3 Wersory cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych krzywoliniowych cd. Dla wersorów układu sferycznego wyrażonych w karezjańskim UW obowiązują wzory: sin θcos φ sin φ cosθcos φ eˆ ˆ ˆ r = sin θsin φ, eφ = cos φ, eθ = cosθsin φ cos θ 0 sin θ Jan Królikowski Fizyka IBC 3

4 Wersory cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych krzywoliniowych cd. Pochodna wersora (ogólnie wekora o sałej długości) jes do niego prosopadła (albo jes wekorem zerowym) bo: ( ) a u a a cons da du = = da = a = 0 du W układzie cylindrycznym pochodna jes więc równoległa do wersora : ê φ cos φ cos φ r d d dφ = sin sin d d φ = d φ d 0 φ 0 sin φ = φ cos φ = φ eˆ φ 0 Jan Królikowski Fizyka IBC 4 ê r

5 Wyrażenie na prędkość w układzie cylindrycznym Posługując się powyższymi wzorami możemy orzymać wyrażenie na składowe prędkości w cylindrycznym układzie współrzędnych: ˆ = e + r + eˆ = z d d d d dr dr de dz ˆ r r = re ˆ + rϕ eˆ + ze ˆ = r = veˆ + veˆ + veˆ φ r r φ φ z z W podobny sposób można orzymać składowe prędkości w Układzie sferycznym (parz zadania na ćwiczeniach). Jan Królikowski Fizyka IBC 5 z

6 Dygresja: całkowanie wekorów Całką z wekora zależnego od parameru u nazywamy wekor, kórego składowe są całkami składowych wekora pierwonego: a( u) = a ( u) eˆ + a ( u) eˆ + a ( u) eˆ a u du = a u du eˆ + ( ) x ( ) ( ) ( a ( ) ) y x x y y z z + u du eˆ + y x + ( a ( ) ) z u du eˆ z Jan Królikowski Fizyka IBC 6

7 Tory jako krzywe w przesrzeni. Wersory Frenea Parameryzacja nauralna oru: długość łuku jako paramer. Zamieńmy parameryzację wzgl. czasu na parameryzację wzgl. długosci łuku s: () = () = () + () + () s ds dx dy dz dx dy dz = + + d = d d d = vd 0 r( 0 ) s(, 0 ) = r( ) 0 or ds Jan Królikowski Fizyka IBC 7

8 Wersor syczny Wersor syczny do oru możemy zdefiniować jako ê dr ds dr = d ds d = = dr d dr ds ds d dr ds Bo: dr dx dy dz = + + = 1 lub dr = ds ds ds ds ds Jan Królikowski Fizyka IBC 8

9 Wersor normalny. Płaszczyzna ściśle syczna Ponieważ d ê Możemy zdefiniować wersor normalny do oru jako: ê n = ds = ds d d Płaszczyzna uworzona przez wersory syczny i normalny: płaszczyzna ściśle syczna Jan Królikowski Fizyka IBC 9

10 Promień krzywizny Infiniezymalny łuk oru możemy przybliżyć przez łuk okręgu o promieniu ρ. ê n φ ρ ê or ds =ρdφ dφ 1 = ds ρ ˆ de ds dφ v = = ev ˆ ˆ n = en d ds d ds ρ d v = ρ Jan Królikowski Fizyka IBC 10

11 Baza wersorów Frenea Z każdym punkem na orze można związać lokalny ruchomy, prosokąny i prawoskręny układ współrzędnych zwany bazą Frenea, opary o zdefiniowane uprzednio wersory: syczny i normalny oraz o wersor binormalny, zdefiniowany za pomocą iloczynu wekorowego dwóch poprzednich wersorów: eˆ = eˆ eˆ b n Jan Królikowski Fizyka IBC 11

12 TOR P1 P Tor i hodograf. v 1 P 1 1r r v P HODOGRAF= Krzywa w przesrzeni prędkości zakreślana przez koniec wekora prędkości. Prędkość jes syczna do oru Wekor przyspieszenia jes syczny do hodografu Jan Królikowski Fizyka IBC 1

13 Przyspieszenie Wekor przyspieszenia leży w płaszczyźnie ściśle sycznej: dr dv d dv a = = = ( veˆ) = eˆ + v d d d d d dv d dv v = eˆ ˆ ˆ + v = e + en d d d ρ d Przyspieszenie syczne Przyspieszenie normalne Jan Królikowski Fizyka IBC 13

14 Składowe przyspieszenia we współrzędnych cylindrycznych: radialne i ranswersalne dv d dr dφ dz a eˆ ˆ ˆ = = r r eφ ez d d + + = d d d dr dr r drdφ dφ dφ φ dz = eˆ ˆ ˆ ˆ r + + eφ + r e r e φ + + z = d d d d d d d d d = r rφ eˆ + r φ+ r φ eˆ + zeˆ r φ z Uwaga: nie mylić przyspieszenia ranswersalnego i sycznego, oraz radialnego i normalnego Jan Królikowski Fizyka IBC 14

15 Dygresja: obliczanie promienia krzywizny oru Krzywizna κ: odwroność promienia krzywizny ρ. Zachodzą wzory: 1 d r d x d y d z κ = = = + + = ρ ds ds ds ds κ 0 dr d r dr d r d d d d = = 3 dr d = v a v ( v a) 6 Jan Królikowski Fizyka IBC 15

16 Długość wekora przyspieszenia a= a = a + a + a = x y z dv v = a + an = + d ρ Jan Królikowski Fizyka IBC 16