oznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim

Transkrypt

1 WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni O ( ) pnk i oznacza przros argmen (zmiennej niezależnej) O( ) Przrosowi odpowiada przros ( ) ( ) warości nkcji 3A8 (Deinicja) Granicę (właściwą) iloraz różnicowego ( ) ( ) nkcji w pnkcie prz dążącm do (o ile isnieje) nazwam pochodną (właściwą) nkcji w pnkcie i oznaczam przez '( ) '( ) d d id Przkład: ) ( ) c cons ( ) c c '( ) ( c)' ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )' lim 3) ( e )' e (dowód: '( ) lim ( ) ( ) e lim e e lim 3ABC7 3A83 (Deinicja) Fnkcję ( ) O( ) nazwam różniczkowalną w pnkcie jeżeli jej przros ( ) ( ) można dla każdego dosaecznie bliskiego zer przedsawić w posaci A o( ) gdzie ( A A( )) o( ) zaś jes nieskończenie małą rzęd wższego niż gd A jes sałą 3A+B84 (Twierdzenie) Fnkcja ( ) O( ) ma pochodną w pnkcie wed i lko wed gd jes w m pnkcie różniczkowalna prz czm '( ) o( ) gd () (zn A '( ) ) e e )

2 3A+B85 (Deinicja) Różniczką nkcji O( ) w pnkcie i dla przros zmiennej niezależnej nazwam iloczn '( ) w () Różniczkę oznaczam smbolem czli króko d lb d Mam więc dla ( ) d d ( )' i przros nazwam różniczką zmiennej niezależnej i oznaczam d Mam zaem d ( ) ( ) d ( ) '( ) '( ) d lb d '( ) d lb króko d d ' d ' d 3A+B86 (Uwaga: zasosowanie do obliczeń przbliżonch) Różniczka nkcji jes główną (błąd = ) liniową częścią przros () nkcji Mam zaem (linearzację nkcji): d ( ) ( ) '( )( ) () (błąd w () jes ) Błąd przbliżenia d przros czli głównej liniowej części ( ) '( ) nkcji dąż szbciej do zera niż przros zmiennej niezależnej Wed błąd bezwzględn obliczanej wielkości o( ) o( ) 3A+B87 (Inerpreacja geomerczna): ( ) wraża się wzorem przbliżonm '( ) =() Δ = () + '( ) (- ) () +Δ= 87 Iloraz różnicow jes angensem kąa nachlenia siecznej przechodzącej przez pnk ( ( ))( ( )) do dodaniej części osi O : g 87 Pochodna '( ) jes angensem kąa nachlenia scznej przechodzącej przez pnk ( ( )) wkres nkcji do dodaniej części osi O : '( ) g

3 (prosa jes sczna do wkres nkcji w pnkcie ( ( )) jeżeli jes granicznm położeniem siecznch przechodzącch przez pnk ( ( )) ( ( )) gd ) 873 Różniczka d jes przrosem rzędnej pnk scznej gd odcięa biegnie od do 874 Linearzacja () jes zasępowaniem wkres nkcji w ooczeni pnk ( ( )) odcinkiem scznej w m ooczeni Uwaga Równanie scznej do wkres nkcji w pnkcie ( ( )) ma posać ( ) '( )( ) 3A+B88 (Twierdzenia o działaniach armecznch na pochodnch) Jeżeli isnieją pochodne i o 88) ( ( ) g( ))' '( ) g'( ) 88) ( ( ) g( ))' '( ) g( ) ( ) g'( ) ' '( ) g'( ) ( ) '( ) g( ) ( ) g '( ) 883) g( ) (o ile g ( ) ) g ( ) Dowód wnika (B) z własności granic Wniosek: ( с ( ))' c '( ) dla dowolnej sałej c 3A+B89 (Twierdzenie o pochodnej nkcji złożonej) Jeżeli nkcja ( ) ma pochodną '( ) naomias nkcja ( ) ma pochodną '( ) o nkcja złożona ( ( )) ma pochodną ' '( ) '( ) prz czm na miejsce należ podsawić ( ) Mam zaem ' ' ' Schema dowod (B): ( ) ( ) '( ) o( ) '( )( '( ) o( )) o( '( ) o( )) '( ) '( ) o( ) Przkład: ( ) e 3 ( e d d d ( ) d ( ) d( ) d ' ' ' 3 )' e 3 ( 3)' e 3 (( )' (3)') e 3 lb króko 3A+B9 (Twierdzenie o pochodnej nkcji odwronej) Jeżeli nkcja g( ) jes ściśle monooniczna i posiada pochodną g'( ) o nkcja ( ) odwrona do niej posiada pochodną '( ) g'( ) lb króko ' ' Dowód: mam g( ( )) g ' ' 3AB89

4 3A+B9 (Obliczanie pochodnch (nazwam różniczkowaniem)) Niech d ( ) będzie nkcją z niezależnej zmiennej ' oznacza d różniczkowanie względem zmiennej Oo najważniejsze wzor do obliczania pochodnch: 9) ( )' gdzie c cons 9) ( )' 93) ( )' 94) ( )' ' dla с 95) ( a )' a ln a ' dla a a 96) ( e )' e ' 97) (log )' a ' ln a a a 98) ' (ln )' 99) (sin )' cos ' 9) (cos )' sin ' 9) ( g)' ' cos 9) ( сg)' ' sin 93) (arcsin )' ' 94) (arccos )' ' 95) ( arcg)' ' 96) ( arccg)' ' 97) ( sh)' ch ' 98) ( ch)' sh ' 99) ( h)' ' ch

5 9) ( сh)' ' sh ln 9) v e v ' ' ln v 9) log v' ' ln Ćwiczenie (A+B): zasadnić własności 9) 9) 3A+B9 (Deinicja waga) Pochodną logarmiczną nkcji nazwam '( ) pochodną jej logarm naralnego: ln ( ) ' Znając ln ( ) ' można ( ) obliczć '( ) : '( ) ( )(ln ( ))' Przkład: ( ) ) ( ) ( ) v v v v v ' v v ( )' ( ) (ln )' ( v'ln v ) ln v' v ' ) 3 g (5 ) ( ) '( ) ( )(ln ( ))' 8 e ( ) g e ( ) 3 (5 ) 8 ( ln 3ln g (5 ) 8ln( ))' 3A93 (Uwaga: pochodne wższch rzędów) Jeżeli nkcja jes różniczkowalna na przedziale ( ab ) (o znacz w każdm pnkcie ( a b) ) o inije nkcję określoną na m samm przedziale Jeśli nkcja jes różniczkowalna jej pochodną nazwiem drgą pochodną nkcji lb ' '' () d pochodną rzęd Zapisjem ją jako lb d n ( n) ( n) d rzęd n inijem nasępjąco ( )' n d Przkład: ) () ( ) ( ) Ogólnie pochodną n ( k) n k ) ( ) ( ) n( n ) ( n k ) dla k n ( n) 3) ( ) sin ( ) sin( n ) n N Uwaga Jeżeli nkcja ma w pewnm pnkcie pochodną rzęd n o mówim że jes w m pnkcie n-kronie różniczkowalną '

6 3A+B94 (Twierdzenie o pochodnej nkcji określonej paramercznie) Jeżeli () nkcja jes określona paramercznie ( ) prz czm () ( ) isnieją pochodne d d ' ' ' Jeżeli isnieje Schema dowod: ' ( ) ' d d o isnieje akże pochodna o d d ( ' ( ) ( ( )) ' )' id ' ' ' d ' d prz czm ' ' 3A95 (Deinicja: pochodne jednosronne) Pochodną lewosronną nkcji ( ) O ( ) w pnkcie nazwam granicę właściwą (o ile isnieje) prawosronną ( ) ( ) lim _ ( ) ( ) ( ) ( ) lim ' ( ) Analogicznie inije się pochodną 3A+B96 (Ćwiczenie) Podać inerpreacją geomerczną pochodnch jednosronnch 3A+B97 (Fak) Fnkcja ma pochodną w pnkcie wed i lko wed gd '_( ) '( ) 3A+B98 (Twierdzenie: warnek konieczn isnienia pochodnej) Jeżeli nkcja ma pochodną w pnkcie o jes ciągła w m pnkcie Implikacja odwrona nie jes prawdziwa Dowód wnika z 3A+B84 Konrprzkład: ( ) pochodna '() nie isnieje naomias nkcja w pnkcie jes ciągła 3B99 (Deinicja: pochodna niewłaściwa nkcji) Niech będzie nkcją ciągłą w pnkcie Fnkcja ma w pnkcie pochodne niewłaściwe jeżeli ( ) ( ) lim ( ) ( ) (albo lim ) Ćwiczenie: podać inerpreacją geomerczną (B+C)

7 3A+B (Twierdzenie Rolle a) Jeżeli nkcja spełnia warnki: ) jes ciągła na ) ma pochodną (co najmniej niewłaściwą) na ( ) 3) ( a) ( b) o isnieje pnk aki że ab c( a b) '( c) ab ( a) ( b) a c b Uwaga (A+B+C) wszskie założenia )-3) wierdzenia Rolle a są isone ale zamias ) i 3) można przjąć lim ( ) prz czm granice mogą bć niewłaściwe ( albo ) a lim ( ) 3A+B (Twierdzenie o przrosach Lagrange a) Jeżeli nkcja jes ) ciągła na ab ) ma pochodną (może bć niewłaściwa) na ( ab ) o isnieje pnk c ( a b) aki że ( b) ( a) '( c)( b a) Inerpreacją geomerczną (A): prz założeniach wierdzenia Lagrange a na wkresie nkcji isnieje co najmniej jeden pnk ( c ( c )) w kórm sczna do wkres jes równoległa do siecznej łączącej jego końce (b) b (a) a c b 3A+B (Twierdzenie o przrosach Cach ego) Jeżeli nkcje i g ) są ciągłe na ab ) mają pochodne (mogą bć niewłaściwe) na ( ab ) 3) g'( ) dla ( a b) ( b) ( a) '( c) o isnieje pnk c ( ab ) aki że g( b) g( a) g '( c)

8 Inerpreacją geomerczną (B) jes aka sama jaka dla wierdzenia Lagrange a () ale dla nkcji określonej paramercznie g() (b) (a) g(a) c g(b) 3A+B3 (Twierdzenie: regła de L Hospiala dla nieoznaczoności Jeżeli: ) nkcje ) a) ( ) g ( ) i '( ) g'( ) lim ( ) lim g ( ) 3) isnieje granica lim g '( ) są określone w pewnm sąsiedzwie pnk albo b) lb lim ( ) lim g ( ) '( ) (właściwa lb niewłaściwa) ( ) '( ) o lim lim g ( ) g '( ) Uwaga Twierdzenie de L Hospiala jes prawdziwe akże dla granic jednosronnch oraz dla granic w nieskończoności Przkład: cos ( cos )' sin ) lim lim lim ( )' ) sin lim lim sin lim ( sin )' lim lim cos ( )' (granica iloraz pochodnch nie isnieje zn regł de L Hospiala nie można zasosować) ln 3) lim 4) lim a a 5) lim )

9 3B4 (Wzór Leibniza): pochodną rzęd n dla iloczn ()v() obliczam ze n ( n) n ( nk ) ( k ) n n! wzor ( ( ) v( )) ( ) v ( ) k k gdzie k k!( n k)! Fak Pochodne nkcji elemenarnch są nkcjami elemenarnmi 3B5 (Inerpreacją izczną pochodnej nkcji wekorowej) Niech r r( ) ( ( ) ( )) oznacza wekor wodząc pnk maerialnego P w chwili dr Pochodną r'( ) nkcji wekorowej d dr r( ) r( ) r () określam wzorem: lim lim d ( ) dr d r r() w pnkcie =( '( ) '( )) r Δ r () () r ( +Δ) (inerpreacja geomerczna: w każdej chwili wekor v () r'( ) prędkości jes sczn do rajekorii pnk P Wed a( ) v'( ) r ''( ) jes przspieszeniem ego pnk)