Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera pewna lokata na przszłość jest współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Geometria analitczna w R 5. Geometria analitczna w R. Wektor Jeżeli A(, ), B(, ) R, wted wektor AB = [, ]. Wersorem nazwam wektor jednostkow, tzn. wektor o długości. Wektor i = [, 0], j = [0, ] nazwam wersorami odpowiednio osi OX, OY. Niech u = [, ], v = [, ], λ R. u + v = [ +, + ]. u v = [, ]. λ u = [λ, λ ]. Długość wektora u jest określona wzorem = +. Iloczn skalarn wektorów u = [, ], v = [, ] określam wzorem u v = +. Jeżeli u i v są wektorami niezerowmi, to kąt φ międz tmi wektorami możem wznaczć z zależności Jeśli u 0, v 0, to: u v =, u v u v = 0 cos φ = u v u v. Pole trójkąta ABC, gdzie A(, ), B(, ), C( 3, 3 ) wraża się wzorem [ ] P = det 3 3 ).. Prosta na płaszczźnie Równanie kierunkowe prostej ma postać l : = a + b, gdzie a nazwam współcznnikiem kierunkowm prostej l. a = tg α, gdzie α jest kątem nachlenia prostej l do osi OX. l =a+b 0 [ ] a b ) det = ad bc c d 75

3 Geometria analitczna w R Kątem φ międz prostmi nazwam mniejsz z wznaczonch przez nie kątów, φ (0, π ]. Przjmujem, że kąt międz prostmi równoległmi jest równ 0. l l 0 Weźm dwie dowolne proste dane równaniami l : = a + b, l : = a + b. l l a = a. l l a a =. Kąt φ międz prostmi l i l możem wznaczć ze wzoru tg φ = a a + a a. Równanie ogólne prostej l : A + B + C = 0, gdzie A, B są współrzędnmi wektora prostopadłego do prostej. Wektor n = [A, B] nazwam wektorem normalnm prostej l. Równanie prostej przechodzącej przez punkt P ( 0, 0 ) oraz prostopadłej do niezerowego wektora n = [A, B] ma postać l : A( 0 ) + B( 0 ) = 0. Weźm dwie dowolne proste dane równaniami l : A + B + C = 0, l : A + B + C = 0. Wektor normalne tch prostch oznaczm odpowiednio przez n = [A, B ] i n = [A, B ]. Wted: l l n n. l l n n. Kąt φ międz prostmi l i l możem wznaczć ze wzoru cos φ = n n n n. Odległość punktu P ( 0, 0 ) od prostej l : A + B + C = 0 wraża się wzorem d = A 0+B 0 +C A +B. Równanie odcinkowe prostej ma postać a + b =, gdzie a, b 0. Prosta ta przecina osie OX, OY układu współrzędnch odpowiednio w punktach (a, 0), (0, b). 76

4 Geometria analitczna w R Równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt P ( 0, 0 ) oraz równoległej do niezerowego wektora u = [a, b] ma postać l : 0 a = 0. b Wektor u nazwam wektorem kierunkowm prostej l. Uwaga! W mianownikach mogą pojawiać się zera, bo kreska nie jest tu smbolem dzielenia, tlko proporcji. Weźm dwie dowolne proste dane równaniami l : a = b, l : a = b. Wektor kierunkowe tch prostch oznaczm odpowiednio przez u = [a, b ] i u = [a, b ]. Wted: l l u u. l l u u. Kąt φ międz prostmi l i l możem wznaczć ze wzoru cos φ = u u u u. Równanie parametrczne prostej przechodzącej przez punkt P ( 0, 0 ) oraz równoległej do niezerowego wektora u = [a, b] ma postać l : { = 0 + at = 0 + b t, gdzie t R. 3. Okrąg, elipsa Równanie okręgu o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r ma postać ( a) + ( b) = r. (a,b) Równanie elips o ogniskach a, b i środku w punkcie S(0, 0) jest postaci a + b =. b a Zadania. Obliczć odległość punktów A i B, jeżeli A(7, ), B(, 7).. Wznaczć pole kwadratu ABCD, jeśli A(, 3) i B(, ). 77

5 Geometria analitczna w R 3. Na osi OX znaleźć punkt oddalon od punktu A(, 3) o Dla jakich wartości parametru m punkt A(m, 0) jest oddalon od punktu B(, ) o? 5. Wznaczć współrzędne punktu B, jeśli A(, 6) i środek odcinka AB to punkt S(6, ). 6. Dane są punkt A(3, ) i B(, ). Wznaczć punkt smetrczn do B względem punktu A. 7. Wznaczć punkt przecięcia prostej + 4 = 0 z osiami układu współrzędnch. 8. Dla jakich wartości parametru m prosta m + = 0 jest równoległa do osi OY? 9. Przez punkt A(4, 6) poprowadzić prostą odcinającą na osiach odcinki jednakowej długości. 0. Przez punkt A(, ) poprowadzić prostą równoległą do prostej = 0.. Znaleźć punkt smetrczn do A(, 3) względem prostej + = 0.. Wznaczć równania prostch przechodzącch przez punkt (, ) i tworzącch kąt 45 z prostą 3 6 = Wznaczć odległość punktu A(, ) od prostej = Dla jakiej wartości m odległość punktu (, ) od prostej + m = 0 wnosi? 5. Wznaczć środek i promień okręgu = Napisać równanie okręgu o środku S(0, 0) i stcznego do prostej = Prz jakim warunku równanie + + a + b + c = 0 określa okrąg? 8. Znaleźć półosie elips danej równaniem: + 9 =. 9. Znaleźć półosie oraz środek smetrii elips danej równaniem: ( ) 6 + 4( + ) =. 78