więc powyższy warunek będzie zapisany jako dy dt

Transkrypt

1 Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Wprowadzenie DEFINICJA. Równaniem różniczkowm zwczajnm rzędu pierwszego nazwam równanie posaci gdzie f : f (, ), () U jes daną funkcją. Rozwiązaniem równania () nazwam każdą funkcję : ( ab, ), kóra jes różniczkowalna i spełniania równośd ( ) f (, ( )) dla ( a, b). Rozwiązanie będziem oznaczad akże smbolem ( ), więc powższ warunek będzie zapisan jako ( ) f (, ( )) dla ( a, b). Pochodną oznacza się również smbolem d, a równanie () zapiszem we w posaci d f (, ). Równania różniczkowe zwczajne różnią się od równao różniczkowch cząskowch m, że niewiadoma funkcja jes funkcją jednej zmiennej (na ogół rzeczwisej ale wsępują eż równania o argumencie zespolonm). Zazwczaj zmienną ą oznaczam smbolem, co oczwiście sugeruje inerpreację ej zmiennej jako czasu. (Odpowiada o zasosowaniom, kóre będą nas głównie ineresował np. kineka chemiczna). Czasami zamias niewiadomej () użwa się x ( ), więc zamias () piszem x' f (, x). () Nie zawsze argumenem funkcji jednej zmiennej musi bd czas. Dlaego w niekórch opracowaniach argumen niewiadomej funkcji oznacza się po prosu smbolem x, a funkcję niewiadomą x ( ). We równanie () zapisane jes jako f ( x, ) lub f ( x, ). dx Przkład. Równanie, w kórm prawa srona f (, ), czli równanie różniczkowe zwczajne, (3) ma na przkład rozwiązanie ( ) e. Przekonujem się o m przez podsawienie ( ) ( e ) e, f (, ( )) ( ) e e,

2 Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz zaem ( ) f (, ( )) dla każdego. Widad, że w m przpadku funkcja ( ) e, kóra jes rozwiązaniem, jes określona na całej osi rzeczwisej ak musi bd.. Zobaczm dalej, że nie zawsze Podane rozwiązanie nie jes jene, gż na przkład funkcja ( ) eż spełnia równanie (3) ( ) ( ), oraz ( ) ( ) dla. ( ) ( ) Tak naprawdę mam u całą rodzinę funkcji, kóre są rozwiązaniami równania (3), gż każda funkcja posaci ( ) Ce, (4) gdzie C jes dowolną sałą rzeczwisą jes rozwiązaniem równania (3). Przkład. Rozważm nasępujące równanie różniczkowe zwczajne Jak widad prawa srona ego równania, czli. (5) f (, ) jes bardzo gładką funkcją (posiada pochodne względem dowolnego rzędu) i jes określona dla wszskich argumenów Przkładowm rozwiązaniem jes funkcja (). Sprawdzam o przez podsawienie czli ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). Zauważm jednak, że rozwiązanie jes określone na odcinku (, ) odcinku (, ) ). W ogólnm przpadku rozwiązanie równania (5) ma posad i jes określone na odcinku (, C) lub ( C, ). ( ), C (, ). (lub na Podane przkła pokazują, że samo równanie różniczkowe zwczajne () nie gwaranuje isnienia lko jednej funkcji, kóra jes rozwiązaniem (jednoznaczności). Ab można bło oczekiwad akiej jednoznaczności, musim wprowadzid jeszcze jakiś dodakow warunek na rozwiązanie. Okazuje się, że dla równania posaci () akim warunkiem jes żądanie, ab rozwiązanie przjmowało zadaną warośd w wbranm punkcie. 0 Prowadzi nas o do pojęcia warunku począkowego dla równania różniczkowego zwczajnego (). DEFINICJA. Warunek posaci

3 Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz ( ), (6) 0 0 gdzie 0, 0 są zadanmi liczbami akimi, że ( 0, 0) U dom f nazwam warunkiem począkowm (warunkiem Cauch ego). Zagadnienie począkowe dla równania różniczkowego zwczajnego (zagadnienie Cauch ego) zapiswane smbolicznie nasępująco f (, ), ( 0) 0, oznacza, że szukana funkcja () ma spełniad równanie f (, ) i warunek począkow (6). Przkład 3. Jakie jes rozwiązanie nasępującego zagadnienia Cauch ego (7), (0). (8) Sprawdzam przez podsawienie, że rozwiązaniem równania jes dowolna funkcja posaci ( ) Ce. Ab bł spełnion warunek począkow (0) musi zachodzid C. Tak więc rozwiązaniem zagadnienia Cauch ego (8) jes funkcja () e. 0 Ce, czli Oczwiście o, że funkcja () e jes rozwiązaniem zagadnienia począkowego (8) nie oznacza jeszcze, że nie isnieją jakieś inne funkcje, kóre są rozwiązaniem ego problemu. Poniższ przkład ilusruje, że zagadnienie Cauch eago (7) może mied wiele rozwiązao (niejednoznaczność). Przkład 4. Rozważm nasępując problem począkow Cauch ego 3, (0) 0. (9) Widad, że funkcja ożsamościowo równa zero, ( ) 0 dla każdego, spełnia o równanie oraz warunek począkow. Ale akże funkcja 3 () 7 jes rozwiązaniem zagadnienia (9), gż ( ) oraz ( ( )) ( ) ( ) ( ( )), oraz warunek począkow Funkcje /3 (0) ( ) 0, ( ) są różne (i o w dowolnm ooczeniu punku 0 0 ), ak więc rozwiązanie problemu (9) nie jes jednoznaczne! Wkres ch dwóch rozwiązao pokazano na Rs..

4 Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Rs.. Wkres dwóch przkładowch różnch rozwiązao zagadnienia począkowego (9). Jeżeli jednak funkcja f f (, ) spełnia pewne dośd ogólne założenia, o problem (7) ma rozwiązanie i o dokładnie jedno. TWIERDZENIE (Picarda-Lindelöfa). Niech funkcja spełnia warunek Lipschiza względem zmiennej, j. f f (, ) : będzie funkcją ciągłą oraz niech f (, ) f (, ) L, (0) dla pewnej sałej L 0. We zagadnienie Cauch ego f (, ), ( 0) 0, ma jednoznaczne rozwiązanie, określone w pewnm przedziela ( a, b ) zawierającm 0. Uwaga. Podane wierdzenie jes uproszczoną wersją bardziej ogólnego wierdzenia spokanego w maemacznch książkach. Na ogół podaje się jeszcze w ezie wierdzenia zależnośd przedziału ( a, b ) od sałch charakerzującch funkcję f, akich jak sała Lipschiza L oraz ograniczenia funkcji: M sup{ f (, ): (, ) Q}, gdzie Q {(, ) :, }. 0 0 Dalej zajmiem się kilkoma meodami znajdowania analicznej posaci rozwiązao zagadnienia Cauch ego. Meoda rozdzielania zmiennch Równanie różniczkowe posaci f ( ) g( ) () nazwam równaniem o rozdzielonch zmiennch. Okazuje się, że analiczne rozwiązwanie ego równania sprowadza się do obliczania odpowiednich całek. Smbolicznie możem posępowanie prowadzące do rozwiązania zapisad ak

5 Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz f ( ) g( ), d f ( ) d, g( ) () f ( ) d C lub f ( ) d. g( ) g( ) 0 0 Obliczając całki, f ( ) d g( ) uzskujem rozwiązanie () w posaci uwikłanej. Czasami możem obliczd e całki i rozwikład odpowiednią równośd uzskując rozwiązanie w posaci jawnej. Przkład 5. Rozwiązad równanie (sin ). Posępujem jak powżej d (sin ), sin d, sin d, co daje równośd cos C, więc ogólne rozwiązanie ma posad ( ), cos C gdzie C jes dowolną sałą. Gbśm mieli do rozwiązania zagadnienie począkowe (0), (sin ), () o lko musim jeszcze wliczd sałą C z warunku (0), Rozwiązaniem jes więc funkcja (0), C. cos0 C ( ). cos / cos

6 Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Zauważm ponado, że największm przedziałem na kórm jes określone o rozwiązanie jes przedział ( ab, ) (, ). 3 3 Wbraliśm en przedział jako dziedzinę rozwiązania, gż musi on zawierad warunek począkow 0 0. Zaem rozwiązaniem wsconm zagadnienia () jes funkcja Przkład 6. Rozwiązad problem Cauch ego : (, ). 3 3 cos x, (0). (Zauważm, że m razem zmienną niezależną oznaczono smbolem x zamias.) Rozwiązanie: zaem x ( ) ( x ) dx, ( ) ( x ) dx, dx x x C. Warośd sałej całkowania C obliczm z warunku począkowego (0). Skąd mam: 0 0 C, czli C 4. W en sposób uzskujem rozwiązanie ( x) w posaci uwikłanej: x x 4. W m konkrenm przpadku nie ma problemu z rozwiązaniem ( rozwikłaniem ) ej zależności względem, gż jes o prose równanie kwadraowe na x ( ) : skąd x x 4 x 4x 8 0, 4 4( x 4x 8) 4x 6x 36, x 4x 9, x 4x 9 ( ) 4 9, x x x x 4x 9 ( ) 4 9. x x x Z ch dwóch funkcji lko pierwsza spełnia warunek począkow (0). Tak więc rozwiązaniem problemu jes x x x ( ) 4 9. Zauważm eż, że dziedziną ej funkcji jes cał zbiór dodanie dla każdego x., gż wrażenie pod pierwiaskiem jes

7 Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Przkład 7. Rozwiązad równanie różniczkowe x lim x ( ). x, Nie jes o pow problem począkow, gż dodakow warunek zosał sformułowan w posaci żądania, ab granica rozwiązania w wnosiła. W m przkładzie zasosowano oznaczenie zmiennej niezależnej smbolem x zamias. Tak więc szukana funkcja zależ od x, j. ( x). Mimo, że ściśle rzecz biorąc nie jes o problem Cauch ego, ale z zapisu problemu jednoznacznie widad jakie zależności musi spełniad rozwiązanie. Sosując rozdzielanie zmiennch mam dx dx dx x x x cons. Ponieważ ln cons, zaem ln ln x cons, można przepisad ak co Cx. Z warunku począkowego ( ) znajdujem sałą całkowania C, co prowadzi do rozwiązania x. w posaci uwikłanej. W m przpadku można rozwikład je względem co daje x ( x) dla x. x (3) Rs.. Wkres rozwiązania problemu z Przkładu 7.

8 Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Równania liniowe skalarne DEFINICJA. Równanie posaci p( ) q( ), (4) gdzie p () i q () są danmi funkcjami dla ( a, b), nazwa się równaniem różniczkowm liniowm. Jeżeli q ( ) 0, o równanie nazwam równaniem liniowm jednorodnm. Jednm ze sposobów rozwiązwania równania (4) jes meoda uzmienniania sałej. Zacznam od rozwiązwania równania jednorodnego (zn. opuszczam w równaniu (4) funkcję q ( )). czli skąd p( ) d, p( ), p( ), d p( ) d, ln p( ) d cons, czli ( ) Ce p s ds ( ). (5) Teraz rakujem sałą C ak, jakb o bła funkcja ( uzmiennienie sałej ) i poszukujem jakiegokolwiek rozwiązania równania niejednorodnego, zn. szukam dowolnego rozwiązania równania (4), kóre ma w posad p( s) ds ( ) C( ) e. (6) s Powszechnie użwa się określenie rozwiązanie szczególne, sąd indeks s. Podsawiam funkcję (6) do (4), co prowadzi do równania na C ( ). Przkład 8. Znaleźd rozwiązanie ogólne równania różniczkowego e sin. (7) Najpierw rozwiązujem równanie jednorodne, co daje d ( ) Ce Ce. (8) Teraz szukam rozwiązania szczególnego w posaci do (7): s C( ) e, zaem podsawiam o wrażenie / / / / Ce C ( ) e Ce e sin, s s / / Ce e sin, C sin.

9 Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Z osaniego równania mam oczwiście C( ) cos, co po podsawieniu daje / ( ) e cos. Zgodnie z eorią ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego jes sumą s ogólnego rozwiązania równania jednorodnego i jakiegoś dowolnego ( szczególnego ) rozwiązania równania niejednorodnego, zaem / / ( ) Ce e cos. (9) Jeżeli równanie (7) uzupełnid o warunek począkow, na przkład (0) 3, rozwiązanie akiego problemu Cauch ego orzmam wliczając sałą C ze wzoru (9) wsawiając warunek począkow: Ce e C C 0 0 (0) cos Tak więc problem począkow e sin, (0) 3, ma rozwiązanie / / / ( ) 4e e cos e (4 cos ). RÓWNANIE BERNOULLIEGO Isnieją pewne p równao, kóre nie są liniowe, ale można je do akiej posaci sprowadzid. Jako jeden z przkładów rozważm równanie nieliniowe n p( ) q( ) 0. (0) Równanie o nazwa się równaniem Bernoulliego, a liczbę n nazwam wkładnikiem Bernoulliego. Dla n 0 lub n równanie (0) jes równaniem liniowm. Dlaego ineresowad nas będzie przpadek, g n {0, }. Sosujem nasępujące podsawienie z n zn. będziem chcieli uzskad równanie na funkcję, () n n z( ) ( ). Mam z( n), więc mnożąc równanie (0) przez czli równanie liniowe n orzmujem n n p( ) q( ) 0, z p( ) z q( ) 0, n z ( n) p( ) z ( n) q( ) 0, () na funkcję z z( ). Przkład 9. Rozwiązad równanie. (3)

10 Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Jes o przkład równania Bernoulliego z wkładnikiem n. Sosujem zaem podsawienie z. Mam więc po wsawieniu do () orzmujem co daje równanie liniowe z z. Przkład 0. Znaleźd rozwiązanie ogólne równania Sosujem podsawienie () dla n, czli z z, z, z z z ln (4) 0. z, co daje liniowe równanie ln z z 0. dz d Rozwiązujem najpierw równanie jednorodne z z 0, czli, z więc ln z ln cons, skąd z( ) C. Nasępnie sosujem uzmiennianie sałej, z( ) C( ). Wsawiam do równania niejednorodnego ln Całkujem C : ln ln C C C 0 C 0. ln ln ln C( ) d ln d (ln ) d d ln ln d. ln To daje rozwiązanie szczególne zs( ) C( ) ln. Tak więc rozwiązanie ogólne równania na z z() jes nasępujące z( ) C ln.

11 Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Wracając do funkcji, poprzez podsawienie równania (4) jako Zadania z, orzmujem osaecznie rozwiązanie ogólne ( ). C ln Zad. ) Sprawdzid, że podane funkcje są rozwiązaniami podanch równao różniczkowch a) 3, ( x) e. 3 3 x, ( x) x C. 3x 3 dx b) 3 dx x x c) d 0, ( x) C sinx Ccos x. dx d) d x 3x 5 6 0, ( x) C e Ce. dx dx Zad. ) Sprawdź, że podane funkcje spełniają równanie różniczkowe, a nasępnie wznacz sałą C z podanego warunku począkowego. a), () 4, dx x ( x) Cx. b) x xe, dx (0), x x ( ) x e. Zad. 3) Rozwiąż zagadnienia począkowe: a) dx (). 4 x, b) x e, dx (0) 0. c)* 3x, dx (0). d) ( ), dx (0). x Wsk. W punkcie b) ( x) ln( e ) ln. Rozwiązanie jes określone dla x(, ln ). x e Naomias w punkcie c) rozwiązanie wraża się poprzez zw. funkcję błędu, erf.