DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

Transkrypt

1 Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających tym częstościom, a także obserwacja i analiza zjawiska dudnienia.. Wprowadzenie teoretyczne Przedmiotem rozważań jest układ przedstawiony na Rys. 7.. Składa się on z dwóch jednakowych wahadeł fizycznych połączonych sprężyną o sztywności k. Wahadła charakteryzują się tym, że masa ciała m zamocowanego na końcu pręta o długości l jest w przybliżeniu równa masie pręta m p. Dla uproszczenia pominięto wymiary zawieszonych ciężarków, traktując je jako ciała o masach skupionych w punktach, w odległości l od osi obrotu. Sprężyna jest zamocowana w odległości od osi obrotu, przy czym l,5 l. k l l m p m p ϕ ϕ m Rys. 7.. Model układu m Do wyznaczenia dynamicznych równań ruchu wokół położeń równowagi wahadeł przedstawionych na Rys.7. w postaci zlinearyzowanej zastosowano drugą zasadę Newtona dla ruchu obrotowego Bϕ& & M, (7.) gdzie: B masowy moment bezwładności wahadła; ϕ - kąt obrotu wahadła mierzony od położenia równowagi (Rys. 7.); 77

2 M moment sił zewnętrznych (sił ciężkości oraz sił ugięcia sprężyny) działających na wahadło. Masowy moment bezwładności wahadła względem osi obrotu określa zależność: ml 4 B + ml ml. (7.) 3 3 Dla pierwszego wahadła wykonującego małe drgania wokół położenia równowagi, dynamiczne równanie ruchu (7.) ma następującą postać: 4 l l l ml & ϕ mg + mgl ϕ k ϕ + k ϕ. (7.3) 3 Analogiczne równanie ruchu drugiego wahadła jest postaci: 4 l l l ml & ϕ mg + mgl ϕ k ϕ + k ϕ. (7.4) 3 Układ sprzężonych równań różniczkowych (7.3) i (7.4) stanowi zlinearyzowany model matematyczny badanego układu. Po przekształceniach model ten można przedstawić w następującej postaci: 4 3 kl kl ml && ϕ + ; 3 mgl + 4 ϕ ϕ 4 (7.5) 4 3 kl kl ml && ϕ +. 3 mgl + 4 ϕ ϕ 4 Wprowadzając warunki początkowe dostarcza się porcję energii do układu w celu wywołania jego drgań swobodnych. Rozwiązań szczególnych jednorodnego układu równań różniczkowych (7.5) poszukuje się wtedy w postaci: ϕ A sin( α t + δ ); (7.6) ϕ A sin( α t + δ ). Po podstawieniu rozwiązań (7.6) do (7.5) i sformułowaniu warunku spełniania rozwiązań w każdej chwili czasu, otrzymuje się jednorodny układ równań algebraicznych z niewiadomymi amplitudami A i A oraz częstością α jako parametrem w postaci ( bα + k ) A + k A ; (7.7) ka + ( bα + k ) A, gdzie: 4 kl 3 kl b b ml ; k k ; k k mgl

3 Warunkiem istnienia niezerowych rozwiązań układu równań (7.7) jest zerowanie się jego wyznacznika głównego bα + k k. (7.8) k bα + k Na podstawie warunku (7.8) otrzymuje się równanie częstości w postaci: 4 bk + bk kk kk α α +. (7.9) bb bb Rozwiązując równanie dwukwadratowe (7.9) wyznacza się częstości własne badanego układu 9 g α ; 8 l (7.) 9 g 3 k α +. 8 l 8 m Istnieją więc zawsze dwie częstości kołowe α oraz α, przy których możliwe są drgania harmoniczne rozpatrywanego układu. Postać drgań układu, przy której wykonuje on drgania harmoniczne, nazywa się postacią główną drgań. Podstawiając do układu równań algebraicznych (7.7) α w miejsce α, otrzymuje się układ równań dla amplitud drgań swobodnych pierwszej postaci ( bα + k) A + k A ; (7.) ka + ( bα + k ) A, gdzie: A - amplituda drgań wahadła pierwszego odpowiadająca pierwszej postaci drgań, A - amplituda drgań wahadła drugiego odpowiadająca pierwszej postaci drgań. Równania (7.) są liniowo zależne, co wynika z zerowania się ich wyznacznika glównego. Z dowolnego z równań (7.) można wyznaczyć wartość stosunku amplitud ν A /A, określający postać układu w czasie drgań harmonicznych o częstości α. Postępując analogicznie z częstością α, otrzymuje się wartość stosunku ν A / A -. Otrzymane w ten sposób stosunki nazywamy współczynnikami głównych postaci drgań. Rozwiązanie ogólne rozpatrywanego układu równań (7.5) można przedstawić w postaci ϕ( t) A sin( α t + δ) + A sin( α t + δ ); (7.) ϕ ( t) A ν sin( α t + δ ) + A ν sin( α t + δ ). 79

4 Po uwzględnieniu wartości liczbowych ν oraz ν rozwiązania (7.) można zapisać w postaci ϕ( t) A sin( α t + δ) + A sin( α t + δ ); (7.3) ϕ ( t) A sin( α t + δ ) A sin( α t + δ ), gdzie: A, A, δ, δ stałe zależne od warunków początkowych. Można postawić pytanie: Jakie warunki początkowe należy zadać, aby obserwować poszczególne główne postacie drgań? Przyjmijmy następujące oznaczenia: ϕ ϕ ( t ); ϕ ϕ ( t ); dϕ dϕ ω ; ω dt t dt Uwzględniając (7.4) w (7.3) otrzymuje się ϕ A sinδ + A sinδ ; ϕ ω A sinδ A sinδ ; A α cosδ A α cosδ. ω A α cosδ + A α cosδ ; t. (7.4) (7.5) Jeśli chcemy obserwować drgania pierwszej postaci musimy założyć A. Wówczas -, czyli / ν, zatem warunki początkowe dotyczące przemieszczeń wahadeł są proporcjonalne do postaci głównej drgań. Analogicznie ω - ω, czyli ω ω (w szczególności można przyjąć ω ω ). Oznacza to, że drgania własne pierwszej postaci można obserwować przy przyjęciu warunku początkowego, co oznacza wychylenie obu wahadeł o ten sam kąt (w odniesieniu do jego wartości i znaku). Postępując analogicznie, można dojść do wniosku, że drgania własne drugiej postaci występują przy warunku początkowym -. Obraz graficzny drgań własnych pierwszej i drugiej postaci przedstawia Rys. 7.. a) b) Rys. 7.. Postacie drgań własnych a) pierwsza, b) druga. 8

5 .. Zjawisko dudnienia Ciekawy przypadek można otrzymać przyjmując w chwili początkowej ruchu wahadeł: oraz, ω ω. Na podstawie (7.5) jest wówczas ϕ A sin δ + A sin δ ; A sin δ A sin δ ; A α cosδ + A α cosδ ; (7.6) Aα cosδ Aα cosδ. Z pierwszego i drugiego równania (7.6) otrzymuje się ϕ A sin δ. (7.7) Z trzeciego i czwartego równania (7.6) oraz z warunku istnienia niezerowych rozwiązań dla A i A otrzymuje się δ δ π /. Uwzględniając powyższe zależności otrzymuje się A A ϕ, (7.8) oraz rozwiązanie ogólne w następującej postaci: ϕ( t) ϕ cosαt + ϕ cosα t; (7.9) ϕ ( t) ϕ cosαt ϕ cosα t. Korzystając ze wzorów trygonometrycznych wyrażenia (7.9) można przedstawić następująco: α α α + α ϕ( t) ϕ cos t cos t ; (7.) α α α + α ϕ ( t) ϕ sin t sin t. Przebieg rozwiązań (7.) przedstawia Rys Widać, że w przypadku sprzężenia dwóch identycznych układów drgających o jednym stopniu swobody drgania w układzie sprzężonym mają charakter dudnień. Energia określona przez warunki początkowe jest przekazywana okresowo z jednego układu do drugiego. Zjawisko to przedstawia Rys

6 ϕ,ϕ ϕ ϕ π / (α α ) Rys Rozwiązania (7.) ilustrujące zjawisko dudnienia. W pierwszej chwili wahadło wykonuje drgania, wahadło jest nieruchome (Rys. 7.4a). Ruch ten można zinterpretować jako sumę dwóch drgań własnych pierwszej i drugiej postaci o częstościach α i α. Przy dostatecznie bliskich wartościach tych częstości potrzeba pewnego czasu (odpowiadającego kilku okresom), aby nastąpiło przesunięcie faz. W pewnej chwili przesunięcie faz obu postaci wynosi 8, co ilustruje Rys. 7.4b. Dodając oba przedstawione ruchy, można zauważyć, że wahadło jest teraz nieruchome, podczas gdy wahadło wykonuje drgania o amplitudzie. Zjawisko to powtarza się i drgania przenoszą się z jednego wahadła na drugie. 3. Stanowisko pomiarowe Stanowisko pomiarowe jest przedstawione na Rys Odpowiada ono modelowi teoretycznemu przedstawionemu na Rys. 7.. Wahadła są podparte w dwóch pryzmach i mogą wykonywać drgania tylko w płaszczyźnie pionowej. 8

7 a) + b) + Rys Nakładanie się drgań pierwszej i drugiej postaci podczas dudnienia. 4. Przebieg ćwiczenia. W celu wyznaczenia pierwszej częstości drgań własnych układu należy: a) wychylić oba wahadła o taki sam kąt co do wartości i zwrotu, b) przy użyciu stopera zmierzyć czas okresów drgań swobodnych, c) pomiar czasu okresów drgań powtórzyć dwukrotnie, d) obliczyć wartość średnią okresu drgań swobodnych, e) na podstawie obliczonej wartości okresu wyznaczyć wartość pierwszej częstości drgań własnych badanego układu. 83

8 k l l Rys Schemat stanowiska pomiarowego. W celu wyznaczenia drugiej częstości drgań własnych układu należy: a) wychylić oba wahadła o takie same kąty co do wartości, lecz o przeciwnych zwrotach, b) przy użyciu stopera zmierzyć czas okresów drgań swobodnych, c) pomiar czasu okresów drgań powtórzyć dwukrotnie, d) obliczyć wartość średnią okresu drgań swobodnych, e) na podstawie obliczonej wartości okresu wyznaczyć wartość drugiej częstości drgań własnych badanego układu. 3. W celu wyznaczenia częstości dudnienia należy: a) wychylić jedno wahadło o mały kąt (, 5 ), b) przy użyciu stopera zmierzyć czas 5 okresów dudnienia, c) pomiar czasu 5 okresów dudnienia powtórzyć dwukrotnie, d) obliczyć wartość średnią okresu dudnienia, e) na podstawie obliczonej wartości okresu wyznaczyć wartość częstości dudnienia. 84

9 4. W celu porównania wyznaczonych częstości z ich wartościami teoretycznymi należy: a) obliczyć częstości drgań swobodnych α i α na podstawie wzorów (4.6), b) obliczyć wartość częstości dudnienia α d α - α, c) przeprowadzić analizę wyników teoretycznych i doświadczalnych. 5. Literatura. Kaliski S.: Drgania i fale. PWN, Warszawa Kapitaniak T.: Wstęp do teorii drgań, Wydawnictwo PŁ, Łódź Praca zbiorowa: Drgania mechaniczne - Laboratorium, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa Sprawozdanie z wykonania ćwiczenia winno zawierać: ) Cel ćwiczenia, ) Tabelę zawierające wyniki pomiarów w następującej postaci: Wyznaczenie I-szej częstości kołowej drgań własnych układu Czas okresów drgań swobodnych: T... [s]; T... [s]; T 3... [s] T + T + T3 Wartość średnia okresu drgań swobodnych: T 3 π Wartość I-szej częstości kołowej drgań własnych: α T Wyznaczenie II-giej częstości kołowej drgań własnych układu Czas okresów drgań swobodnych: T... [s]; T... [s]; T 3... [s] T + T + T3 Wartość średnia okresu drgań swobodnych: T 3 π Wartość II-giej częstości kołowej drgań własnych: α T Wyznaczenie częstości dudnienia Czas 5 okresów dudnienia: T d... [s]; T d... [s]; T d3... [s] Td + Td + Td 3 Wartość średnia okresu dudnienia: T d 3 5 π Wartość częstości dudnienia: α d T d 85

10 3. Wyniki obliczeń teoretycznych: Dane liczbowe: sztywność sprężyny: k ; masa na końcu pręta: m. długość pręta: l Obliczenie I-szej częstości kołowej drgań własnych: 9 g α 8 l Obliczenie II-giej częstości kołowej drgań własnych: 9 g 3 k α + 8 l 8 m Obliczenie częstości dudnienia: α α α d 4. Porównanie wyników doświadczalnych i teoretycznych 5. Wnioski 86