Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu

Transkrypt

1 Henryk FILCEK Akademia Górniczo-Hunicza, Kraków Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) góroworu Sreszczenie W pracy podano rozważania na ema możliwości wzbogacenia reologicznego równania konsyuywnego o czynniki dynamiczne przez dodanie składników, zawierających drugie pochodne względem czasu. Przeanalizowano szczególny przypadek dynamicznej formy reologicznej równania konsyuywnego nazwanego sandard dynamic. Zdefiniowano i opisano zjawisko dynamicznego (przyspieszającego) pełzania oraz dynamicznej (pulsującej) relaksacji.. Równanie konsyuywne Równanie konsyuywne wyraża najprościej rzecz ujmując związek między naprężeniem i odkszałceniem: naprężenie, odkszałcenie. f () (.) Naprężenia i odkszałcenia są ensorami. Związek (.) powinien być napisany w formie dwóch równań ensorowych: aksjaorowego i dewiaorowego. Dla prosoy wywodu zasosujemy uaj zapis dla jednoosiowego sanu naprężenia. Ogólnie znane jes równanie konsyuywne zwane równaniem Hooke a: E moduł sprężysości (Younga). E (.) Równania konsyuywne (.) i (.) odpowiadają syuacji, kiedy odkszałcenie rakuje się jako (jednorazowe) zdarzenie. W rzeczywisości odkszałcenie a właściwie odkszałcanie (lub odkszałcanie się) jes zjawiskiem, kóre zachodzi z upływem czasu. Równanie konsyuywne, powinno więc uwzględniać czynnik czasu. Przykładem akiego równania może być zw. reologiczne równanie konsyuywne, kóre w ujęciu różniczkowym można zapisać w posaci (Filcek 963):

2 ( ) ( n, n) ( n) ( n) ( n) ( n) f (,,,,...,,, ) (.3) pochodne względem czasu n-ego rzędu. Najczęściej równanie (.3) ogranicza się do pochodnych rzędu pierwszego, wobec czego: f (,, ) (.4) prędkość (zmiany) odkszałcenia, prędkość (zmiany) naprężenia. Jeśli ograniczyć się do równań liniowych, o równanie (.4) można napisać w posaci: a, a, a a współczynniki reologiczne (sałe)., 3 a a a (.5) a3 Przykładem równania (.5) (przy a = ) może być reologiczne równanie konsyuywne STANDARD: współczynnik lepkości, czas relaksacji. E (.6) Jeśli równanie (.6) uzupełnimy o wyrazy zawierające pochodne drugiego rzędu względem czasu, orzymamy dynamiczną formę reologicznego równania konsyuywnego ypu STANDARD, kóre można nazwać STANDARD DYNAMIC : E (.7), dynamiczne współczynniki reologiczne (sałe).. Pełzanie dynamiczne (przyspieszające) Rozważmy szczególny przypadek równania dynamicznego (.7) dla: orzymamy wedy równanie: E, Załóżmy, że naprężenie jes sałe (niezmienne w czasie): (.) cons

3 Wedy równanie (.) przyjmuje posać: cons (.) Jeśli przyjąć, że w chwili począkowej (w chwili rozpoczęcia liczenia czasu), czyli:, jes o rozwiązanie równania (.) przyjmuje posać:, cons naprężenie, czas, odkszałcenie począkowe, począkowa prędkość odkszałcenia. (.3) Z równania (.3) wynika, że dla dynamicznego równania konsyuywnego (.) i opisanego nim modelu ośrodka rzeczywisego, przy sałym (niezmiennym w czasie) naprężeniu, odkszałcenie jes zmienne i jes funkcją czasu. Model ciała rzeczywisego opisany równaniem (.) wykazuje zaem zdolność do pełzania. Krzywą pełzania przedsawia rysunek.. Pełzanie modelu opisanego równaniem konsyuywnym (.8) ma charaker dynamiczny (przyspieszający). Doychczas prezenowano zwykle krzywe pełzania ze sałą prędkością (pełzanie usabilizowane) według modelu Maxwella (rys..) lub z prędkością malejącą (pełzanie wygasające, opóźnienie sprężyse) według modelu Kelvina Voiga lub STANDARD (rys..3). Wielokronie prezenowano wyniki doświadczeń, kóre prowadziły do krzywej pełzania (zw. komplenej) przedsawionej na rysunku.3. Doświadczenia e sugerują, że en sam ośrodek umie przechodzić różne formy (fazy) pełzania: I opóźnienie sprężyse (Kelvin; STANDARD); II płynięcie lepkie (Maxwell); III pełzanie dynamiczne (przyspieszające). Z doświadczeń wynika, że jeśli ośrodek wejdzie w III fazę pełzania, dochodzi zwykle do jego zniszczenia. Ma o szczególne znaczenie w mechanice góroworu. Granica przejścia w fazę pełzania dynamicznego B (rys..4), podobnie jak granica przejścia od opóźnienia sprężysego do pełzania usabilizowanego A, musi być dla każdego góroworu wyznaczona doświadczalnie. 3

4 = = cons arcg - - Rys... Pełzanie dynamiczne (przyspieszające) Fig... Dynamic creep (acceleraing) = = cons arcg Rys... Pełzanie ze sałą prędkością, płynięcie lepkie (Maxwell) Fig... Creep wih consan velociy risco yielding (Maxwell model) 4

5 = = cons = E T= E Rys..3. Pełzanie z malejącą prędkością, opóźnienie sprężyse (Kelvin-Voig, STANDARD) Fig..3. Creep wih decreasing velociy, elasic delay (Kelvin-Voig model, STANDARD model) B III II I A Rys..4. Doświadczalna krzywa pełzania (komplena) Fig..4. Experimenal creep curve (complee process) 5

6 3. Relaksacja dynamiczna (pulsująca) Rozważmy przypadek dynamicznego równania konsyuywnego (.): przyjmując założenie, że odkszałcenie jes sałe (niezmienne w czasie): wedy równanie (.) przyjmuje posać: Dla cons (3.) (4 ) oraz przy założeniu, że: dla = jes, rozwiązanie równania (3.) przyjmuje formę (Kamke 96): e ( cos ( ) 4 sin 4 4 ) (3.) Z równania (3.) wynika, że dla dynamicznego równania konsyuywnego (.) i opisanego nim modelu ośrodka rzeczywisego przy sałym (niezmiennym w czasie) odkszałceniu, naprężenie jes zmienne (maleje) i jes funkcją czasu. Model ciała rzeczywisego opisany równaniem (.) wykazuje zaem zdolność do relaksacji czyli odprężenia. Krzywą relaksacji przedsawia rysunek 3.. Z równania (3.) i rysunku 3. wynika, że relaksacja modelu ośrodka rzeczywisego opisanego równaniem konsyuywnym (.), może mieć przebieg falisy. Wymuszone sałym (niezmiennym w czasie) odkszałceniem, naprężenie począkowo maleje z upływem czasu od warości począkowej do zera, oscylując wokół warości z szybko zanikającą ampliudą (z uwagi na czynnik łumiący e rysunek 3.). 6

7 = = cons T = T T Rys. 3.. Relaksacja dynamiczna (pulsująca) Fig. 3.. Dynamic relaxaion (pulsaing) Częsoliwość pulsacji (drgań) wynosi: f T 4 4 i zależy od współczynników reologicznych i. Trudno w ym przypadku podać bezpośrednią weryfikację doświadczalną. Można jedynie swierdzić, że wiele zjawisk w przyrodzie przebiega w podobny sposób, choćby przysłowiowy kamień rzucony do wody, kóry wywołuje szybko zanikające kręgi fal wody. Dla ścisłości należy zauważyć, że dla innej konfiguracji paramerów reologicznych niż podano wcześniej uzyskuje się rozwiązania aperiodyczne, analogiczne do relaksacji saycznej z malejącą prędkością według modelu Maxwella lub STANDARD (rys. 3.). 7

8 STANDARD res MAXWELL Rys. 3.. Relaksacja sayczna z malejącą prędkością (Maxwell, STANDARD) Fig. 3.. Saic relaxaion wih decreasing velociy (Maxwell model, STANDARD model) Zjawisko relaksacji pulsującej (dynamicznej) jes niezwykle isone dla mechaniki góroworu. Charaker falowy zjawiska wywołanego wymuszeniem pewnego odkszałcenia przez człowieka lub naurę zasługuje na szczególną uwagę. Zmiana znaku naprężenia podczas pulsacji ma dla ośrodka o silnie różniących się granicach wyrzymałości na ściskanie i rozciąganie, do kórych należy górowór, szczególnie isone znaczenie. Lieraura [] Filcek H. 963: Wpływ czasu na san naprężenia i odkszałcenia góroworu w sąsiedzwie wyrobiska chodnikowego. Zeszyy Problemowe Górnicwa,., z., PAN. [] Kamke E. 96: Spravocznik po obyknowiennym dyferencjalnym uranieniam, GIF-ML, Mockva. 8