Kinematyka W Y K Ł A D I. Ruch jednowymiarowy. 2-1 Przemieszczenie, prędkość. x = x 2 - x x t

Transkrypt

1 Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz W Y K Ł A D I Ruch jednowymiarowy Kinemayka Zaczniemy wykład z fizyki od badania przedmioów będących w ruchu. Dział fizyki, kóry zajmuje się badaniem ruchu ciał bez wnikania w przyczyny, kóre en ruch wywołują nazywamy kinemayką. Rozparzymy najprosszy przypadek, gdy ruch odbywa się wzdłuŝ prosej, np. gdy samochód porusza się po płaskiej, wąskiej i prosej drodze. Punkem maerialnym (cząską) nazywamy obiek, kóry moŝe być zasąpiony przez pojedynczy punk. KaŜdy przedmio moŝe być zasąpiony przez punk maerialny np. aom, samolo, czy Ziemia jeŝeli ylko moŝemy zaniedbać rozmiary danego obieku. - Przemieszczenie, prędkość. Rysunek - pokazuje samochód w miejscu x w chwili i w miejscu x w późniejszej chwili. Zmiana połoŝenia ciała, nazywana przemieszczeniem, jes równa x - x. Częso zmianę danej wielkości oznaczamy grecką lierą. Czyli zmiana połoŝenia moŝe być zapisana wzorem: x = x - x - UWAGA: Zmiana dowolnej warości o zawsze warość końcowa minus warość począkowa. Prędkość jes o szybkość z jaką zmienia się połoŝenie ciała. Średnia prędkość punku maerialnego jes zdefiniowana jako sosunek przemieszczenia x do przedziału czasu =, w kórym o przemieszczenie nasąpiło: śr x x = = - x Przemieszczenie i prędkość średnia mogą być zarówno dodanie jak i ujemne. Warość dodania wskazuje, Ŝe punk maerialny porusza się w dodanim kierunku osi x. Jednoską prędkości w układzie SI jes m/s. Rysunek - Samochód porusza się w układzie współrzędnych składającym się z linii i punku, będącym począkiem układu.

2 Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz Rysunek - definiuje średnią prędkość w sposób graficzny. Linia prosa łączy punky P i P i worzy rójką o bokach x i. Sosunek x/ określa nachylenie ej linii ( czyli gα ), a o daje nam geomeryczną inerpreację prędkości: Prędkość średnia jes równa nachyleniu linii prosej łączącej punky (, x ) i (, x ) Rysunek - nachylenie Syczna w punkcie P Ogólnie prędkość średnia zaleŝy od przedziału czasu w kórym, jes określona. Na przykład na rysunku - dla mniejszego przedziału czasu określonego przez i P orzymamy większą prędkość średnią. Prędkość chwilowa. W pierwszej chwili pojęcie prędkości chwilowej wydaje się być paradoksalne. JeŜeli rozwaŝamy jedną chwilę o znaczy, Ŝe punk maerialny. nie poruszył się, Rysunek -3 a zaem nie miał prędkości. Rozparzmy jednak rysunek -3: w miarę jak sopniowo wybieramy coraz krószy odsęp czasu, rozpoczynający się w chwili widzimy, Ŝe średnia prędkość zbliŝa się do nachylenia sycznej w punkcie. Tak więc prędkość chwilową w chwili definiujemy jako nachylenie ej sycznej. Czyli prędkość chwilową definiujemy jako granicę sosunku x/ gdy dąŝy do zera:

3 Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz 3 ( ) x = lim = g α króko nachyleniu sycznej. -3 = angensowi kąa nachylenia sycznej do krzywej w danym punkcie Ta granica nazywa się pochodną x-a po czasie. Zwykle zapisujemy pochodną w posaci: ( ) x = lim = dx d Nachylenie sycznej moŝe być dodanie, ujemne lub równe zeru; czyli prędkość chwilowa moŝe być dodania (x wzrasa), ujemna ( x maleje) lub równa zero (punk maerialny nie porusza się). Prędkość względna. JeŜeli cząska porusza się z prędkością pa względem układu współrzędnych A, kóry z kolei porusza się z prędkością AB względem innego układu współrzędnych B o prędkość cząski względem układu B jes dana wzorem: + pb = -4a pa AB Na przykład, jeŝeli pływak płynie po rzece równolegle do kierunku jej nuru, o jego prędkość względem brzegu - yb będzie równa jego prędkości względem wody - yw, plus prędkość wody względem brzegu- wb : = + yb yw wb Prędkości dodadzą się lub odejmą w zaleŝności od ego czy pływak płynie z prądem czy pod prąd rzeki. Na przykład, jeŝeli pływak płynie z prędkością m/s pod prąd, a prędkość wody wynosi,m/s względem brzegu o prędkość pływaka względem brzegu wyniesie yb = -m/s +,m/s = -,8m/s, w ym wypadku wybraliśmy kierunek płynięcia wody jako dodani. Analogiczne przykłady o lecący samolo pod lub z wiarem, czy eŝ człowiek idący po ruchomych schodach. Wielką niespodzianką dla fizyki począku dwudziesego wieku było odkrycie, Ŝe równanie -4a jes ylko przybliŝeniem. Szczególna eoria względności pokazuje, Ŝe dokładny wzór na prędkość względną ma posać: + yw wb yb = -4b + ywwb / c

4 Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz 4 gdzie c=3 8 m/s jes prędkością świała w próŝni. W codziennych syuacjach ciała makroskopowe mają najczęściej prędkości yb i wb znacznie mniejsze niŝ c, dlaego eŝ równania -4a i -4b są akie same. Jednak dla bardzo duŝych prędkości akich np. jaką ma elekron lub odległa, oddalająca się od Ziemi galakyka, róŝnice między ymi dwoma równaniami mogą być znaczne. Równanie -4b ma ciekawą własność: jeŝeli yw = c o yb eŝ równa się c. Jes o właśnie posula szczególnej eorii względności, kóry mówi, Ŝe prędkość świała w próŝni jes zawsze aka sama bez względu na o w jakim układzie współrzędnych ( ruchomym, czy nieruchomym) dokonujemy pomiaru. - Przyspieszenie Przyspieszenie określa szybkość zmian prędkości chwilowej. Średnie przyspieszenie w pewnym przedziale czasu = definiuje się jako sosunek / gdzie = - : a śr = = -5 Jednoska przyspieszenia jes określona przez długość podzieloną przez czas do kwadrau, czyli w układzie SI - m/s. Przyspieszenie chwilowe jes równe granicy / gdy dąŝy do zera. Na wykresie prędkości chwilowej w zaleŝności od czasu przyspieszenie chwilowe w chwili jes równe nachyleniu sycznej do ej krzywej w chwili. a ( ) = lim = g α = angensowi kąa nachylenia sycznej do krzywej () w punkcie ( krócej, nachylenie sycznej w danym punkcie ) -6 Analogicznie jak w przypadku definicji prędkości, przyspieszenie chwilowe jes pochodną prędkości po czasie - d/d. PoniewaŜ prędkość jes pochodną współrzędnej x po czasie, o przyspieszenie jes drugą pochodną współrzędnej x po czasie - d x/d. MoŜna o zapisać w nasępujący sposób: ( dx / d) d d d x a = = d d d = -7 JeŜeli przyspieszenie jes równe zero, o prędkość się nie zmienia w czasie jes sała. JeŜeli przyspieszenie jes niezerowe i sałe o prędkość zaleŝy od czasu liniowo - jes linią prosą na wykresie (). Wedy połoŝenie ciała opisane jes parabolą na wykresie x().

5 Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz 5 Rozparzmy szczegółowiej właśnie aką syuację. -3 Ruch ze sałym przyspieszeniem. Ruch punk maerialnego ze sałym przyspieszeniem jes dość powszechny w przyrodzie. Np. w pobliŝu Ziemi wszyskie ciała spadają swobodnie ze sałym przyspieszeniem (pod warunkiem zaniedbania oporu powierza ). JeŜeli punk maerialny ma sałe przyśpieszenie a, o oczywiście, przyspieszenie średnie dla dowolnego przedziału czasu eŝ będzie sałe i będzie równe a. a śr = = a JeŜeli prędkość w chwili = wynosi, a jes prędkością po pewnym czasie, o przyspieszenie wyrazi się wzorem: = = = a Przekszałcenie powyŝszego daje nam jako funkcję czasu: = + a -8 Jes o równanie linii prosej na wykresie od ( Rysunek -4). Nachylenie linii jes równe przyspieszeniu a, a jej przecięcie z osią daje warość prędkości począkowej. Przemieszczenie x = x - x w czasie = jes równe : x = śr = śr -9a Rysunek -4 Przy sałym przyspieszeniu prędkość zmienia się liniowo z czasem, a o powoduje, Ŝe prędkość średnia jes równa średniej warości prędkości począkowej i końcowej:

6 Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz 6 śr = + ( ) Wówczas, przemieszczenie będzie dane równaniem: -9b x = x - x = śr = ( ) + - MoŜemy wyeliminować prędkość podsawiając -8: x = + ( + ) = ( + + a) = a Z powyŝszego wynika, Ŝe przemieszczenie dane jes wzorem: x + = x x = a - JeŜeli z równania -8 obliczymy czas i podsawimy go do wzoru na drogę: x = śr = ( + ) = ( + ) a = a W rezulacie mamy: = + a x - Równanie - jes przydane np. wedy gdy chcemy znaleźć prędkość końcową ciała puszczonego swobodnie z pewnej wysokości. Zagadnienia związane z jednym ciałem. Wiele prakycznych zagadnień związanych jes z ruchem ciał w polu grawiacyjnym. Przyspieszenie ciał wywoływane polem grawiacyjnym Ziemi jes w jej pobliŝu prakycznie sałe i oznaczane jes lierą g, a warość ego przyspieszenia wynosi: g = 9,8m/s

7 Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz 7 Zgodnie z umową, g jes zawsze dodanie. JeŜeli kierunek do dołu przyjąć za dodani o przyspieszenie zgodne z kierunkiem grawiacji wynosi a = g, jeŝeli kierunek do góry jes dodani o a = -g. P R Z Y K Ł A D Chłopiec rzucił pionowo do góry czapkę z począkową prędkością 4,7m/s (Rysunek -5). Zakładając Ŝe przyspieszenie wynosi 9,8m/s (zaniedbujemy opór powierza) naleŝy obliczyć, (a) jak długo czapka będzie poruszać się do osiągnięcia maksymalnej wysokości?, (b) Jaka jes a maksymalna wysokość?, (c) Ile wynosi całkowiy czas ruchu czapki w powierzu? Dyskusja zadania. Kiedy czapka jes w najwyŝszym punkcie, jej prędkość chwilowa wynosi zero. Maemaycznie oznacza o, Ŝe =. Podobnie "całkowiy czas w powierzu" oznacza czas nasępujący po wyrzuceniu z punku x = x do chwili powrou w o samo miejsce. Wybieramy począek układu odniesienia w Rysunek -5 W najwyŝszym punkcie = punkcie w kórym, czapka znajdowała się w chwili wyrzucenia i przyjmujemy, Ŝe kierunek do góry jes kierunkiem dodanim. Wedy x =, = 4,7m/s, a przyspieszenie, kóre jes skierowane do dołu wynosi a = - 9,8m/s. (a). Czas jes związany z przyspieszeniem i prędkością : = + a. Aby znaleźć czas po kórym, czapka osiągnie najwyŝszy punk podsawiamy = ( w najwyŝszym punkcie, oczywiście, czapka zarzymała się) i obliczamy : a 4 7, m / s = = =,5s 9,8m / s (b) Po ym czasie =,5s czapka osiągnie maksymalną wysokość, poruszając się z prędkością średnią :

8 Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz 8 x= śr = ( ) + = ½(4,7m/s)(,5s)=,m (c). Aby znaleźć czas całego ruchu, naleŝy do równania - x - x = + podsawić x = x i wyliczyć : = ( + a ) a. Jak widać są dwa rozwiązania dla gdy x = x.pierwsze odpowiada chwili począkowej gdy ciało. jes wyrzucane w górę: = (pierwsze rozwiązanie) Drugie odpowiada czasowi, po kórym ciało wyląduje: ( 4 7, m / s) = = 3s a 9,8m / s = (drugie rozwiązanie) -4 Całkowanie. JeŜeli chcemy znaleźć prędkość mając dane przyspieszenie, o zwróćmy uwagę, Ŝe prędkość jes funkcją (), kórej pochodną jes przyspieszenie a() : d d ( ) = a ( ) JeŜeli przyspieszenie ma być sałe o prędkość musi być aką funkcją czasu, Ŝe po policzeniu jej pochodnej orzymamy sałą równą przyspieszeniu. W ym wypadku aką funkcją jes : = a, a = consans ( wielkość sała) Bardziej ogólnie; do a moŝemy dodać dowolną sałą i nie zmieni o pochodnej. Oznaczając sałą jako, będziemy mieli: = + a Kiedy =, =. Czyli jes prędkością począkową. Podobnie jes dla połoŝenia x() jako funkcji czasu. Pochodna x po czasie jes równa prędkości:

9 Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz 9 dx d = = + a KaŜdy Ŝe składników moŝemy porakować oddzielnie. Funkcja kórej pochodna, jes równa ma posać plus dowolna sała. Funkcja kórej pochodna, jes równa a ma posać przez x dowolną sałą orzymamy: x = x + + a Kiedy = o x = x. Tak więc x jes połoŝeniem począkowym. a plus dowolna sała. Oznaczając Za kaŝdym razem jeŝeli chcemy znaleźć funkcję znając jej pochodną, musimy wprowadzić dowolną sałą do posaci funkcji w posaci ogólnej. PoniewaŜ, dla znalezienia wyraŝenia na połoŝenie punku maerialnego, dwa razy szukaliśmy funkcji na podsawie pochodnej o dwa razy musieliśmy wprowadzić sałe Te sałe zwykle określa się poprzez podanie warości prędkości i połoŝenia dla pewnej określonej chwili, najczęściej dla =. Określenie prędkości i połoŝenia począkowego w chwili począkowej nazywamy podaniem warunków począkowych. Problem en odgrywa szczególną rolę w fizyce, poniewaŝ przyspieszenie cząski jes określone poprzez siły, kóre działają na cząskę. Zaem, znając: siły działające na cząskę, połoŝenie i prędkość w pewnej określonej chwili, moŝemy znaleźć połoŝenie i prędkość cząski we wszyskich innych chwilach. Funkcję F(), kórej pochodna (po czasie ) jes równa funkcji f() nazywamy funkcją pierwoną. Okazuje się, Ŝe znajdowanie funkcji pierwonej jes związane Ŝe znajdowaniem pola powierzchni pod krzywą f(). Rozparzmy ruch Ŝe sałą prędkością o. Zmiana połoŝenia x w czasie jes równa: Rysunek -6 x = Jak widać jes o powierzchnia pod krzywą prędkości w funkcji czasu (Rysunek -6). Taka geomeryczna inerpreacja przemieszczenia jako powierzchni pod krzywą () jes prawdziwa nie ylko dla sałej prędkości, ale ma ogólny charaker (Rysunek -7). Widać, Ŝe powierzchnia pod krzywą jes przybliŝona przez pola małych prosokąów, powsałych z podzielenia całego czasu ruchu na małe przedziały,, id. Powierzchnia prosokąa odpowiadająca i-emu przedziałowi czasu (część zacieniowana) jes równa i i, i odpowiada w przybliŝeniu przemieszczeniu na odległość x i w czasie i.. Suma prosokąnych powierzchni jes zaem równa sumie przemieszczeń podczas przedziałów czasu i jes równa w przybliŝeniu całkowiemu przemieszczeniu od chwili do chwili Maemaycznie moŝemy o zapisać jako:

10 Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz x i i i śr g d z i e Rysunek -7 Rysunek -8 grecka liera Σ ( sigma ) jes znakiem określającym sumowanie. Jak ławo zauwaŝyć, dokładność określenia przemieszczenia zwiększy się jeŝeli i będziemy wybierać coraz mniejsze. W granicy, dla coraz mniejszych przedziałów czasu, powyŝsza suma będzie równa powierzchni pod krzywą, kóra równa jes całkowiemu przemieszczeniu. Granica a nazywa się całką oznaczoną i jes zapisywana w posaci: x = x ( ) x( ) = lim i i = d i Wydaje się poŝyeczne myśleć o znaku jako o wyciągnięej lierze S symbolizującej sumowanie. Graniczne warości i określają warość począkową i końcową zmiennej. Zaem przemieszczenie jes równe polu pod krzywą () jak jes o przedsawione na rysunku -8. Z wykresu na ym rysunku widać, Ŝe prędkość średnia ma prosą inerpreację geomeryczną: Ruch zmienny z prędkością średnią śr jes równowaŝny akiemu ruchowi jednosajnemu z prędkością śr, w kórym w ciągu czasu ciało przebędzie aką samą drogę jak w ruchu zmiennym..