Część I. MECHANIKA. Wykład KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO. Ruch jednowymiarowy Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni.

Transkrypt

1 Część I. MECHANIKA Wykład.. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Ruch jednowymiarowy Ruch na płaszczyźnie i w przesrzeni 1

2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO KINEMATYKA zajmuje się opisem ruchu ciał bez rozparywania przyczyn, kóre en ruch spowodowały (siła). Rys. Ruch - jedno z najczęściej obserwowanych zjawisk fizycznych POJĘCIA WSTĘPNE Ruch mechaniczny zmiana wzajemnego położenia ciała (punku maerialnego) w przesrzeni (lub jednych ich części względem drugich) pod wpływem czasu. Punk maerialny punk geomeryczny, w kórym skupiona jes pewna masa, a kórego rozmiary i kszały możemy w danym zagadnieniu pominąć. Układ odniesienia nieruchome w czasie obserwacji ciało lub zbiór ciał, względem kórego opisujemy ruch innych ciała w przesrzeni. Układ współrzędnych związany z danym układem odniesienia zespół wzajemnie prosopadłych osi umożliwiający jednoznaczne określenie położenia punku w przesrzeni. Równania ruchu opisują zmiany położenia ciała w przesrzeni w funkcji czasu. Trajekoria ruchu krzywa w przesrzeni, opisująca zmianę położenia ciała.

3 Klasyfikacja ruchów: KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO A. Ze względu na or (rajekorię) ruchu: prosoliniowe (posępowe); krzywoliniowe (w ym: po okręgu); B. Ze względu na zależność położenia od czasu: jednosajne; jednosajnie zmienne (przyspieszone lub opóźnione); pozosałe (np. niejednosajnie zmienny ip.). 3

4 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Ruch prosoliniowy Położenie i przemieszczenie Prędkość średnia i chwilowa Przyspieszenie Spadek swobodny Ruch w dwóch i rzech wymiarach Rzu ukośny Ruch jednosajny po okręgu Ruch cząsek emiowanych w zderzeniach jąder aomowych, rwał ułamki milionowych części sekundy. (CERN, Rap.Ann.1986) 4

5 Ruch prosoliniowy Ruch jednowymiarowy podsawowe definicje i wzory Założenia: -ruch odbywa się ylko wzdłuż linii prosej (pionowej lub poziomej), - ineresuje nas sam ruch i jego zmiany a nie ich przyczyny, - poruszające się ciało rakujemy jak obiek punkowy, czyli obdarzony masą lecz bez rozmiaru. 5

6 6 Przemieszczenie - zmiana położenia pomiędzy danymi punkami Prędkość średnia Ruch jednowymiarowy podsawowe definicje i wzory ) ( ) ( 1 1 x x x x x x v śr 1 1 ) ( ) ( 1 przemieszczenie przedział czasu na przemieszczenie nachylenie prosej m s m

7 Położenie [m] Ruch jednowymiarowy podsawowe definicje i wzory Prędkość chwilowa- prędkość poruszania się ciała w danej chwili, v( ) lim 0 x dx d m s Czas [s] 7

8 8 Przyspieszenie określa jak zmienia się prędkość ciała. Przyspieszenie średnie = (przyros prędkości)/ (przedział czasu, w kórym on nasąpił) Ruch jednowymiarowy podsawowe definicje i wzory v v v a śr 1 1 ) ( ) ( 1 Przyspieszenie chwilowe: 0 lim d x d d dv v a m s m s

9 Przyspieszenie sałe (a=consan) Najczęściej będziemy się spoykać ze sałym przyspieszeniem (opóźnieniem). Gdy przyspieszenie chwilowe i średnie są równe, można zapisać: gdzie Przekszałcając powyższe, mamy : Ruch ze sałym przyspieszeniem a a : v0 oznaczaprędkoć wchwili począocząkowej 0 śr v ( ) v v k k o v 0 a 0 0, Rys. 1 a) Położenie cząski poruszającej się ze sałym przyspieszeniem. b) Prędkość cząski w ruchu przyspieszonym. c) Przyspieszenie cząski w ruchu przyspieszonym jes sałe. Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podsawy fizyki - om I", PWN, Warszawa 005r. 9

10 Przyspieszenie ziemskie Spadek swobodny (rzu pionowy) Gdy rzucimy ciało w górę lub w dół i w jakiś sposób wyeliminujemy wpływ powierza na jego ruch, o ak podczas wznoszenia jak i opadania ciało porusza się z przyspieszeniem, kóre nazywamy przyspieszeniem ziemskim (g). Nie zależy ono od własności przedmiou (masa, kszał, id.) gdy zaniedbamy wpływ powierza. Warość g zmienia się nieznacznie w zależności od szerokości geograficznej i wysokości nad poziomem morza. W zadaniach będziemy używać warości g=9,81 m/s Odpowiadającej średniej szerokości geograficznej i poziomowi morza. Rys. źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podsawy fizyki, om 10 I.

11 Ruch prosoliniowy Rzu pionowy w górę RÓWNANIA RUCHU: v 0 Dla ciała wyrzuconego z prędkością, y v y v y 0 dy v0 d g g (.10) (.11) (.1) (.13) Tablica- wyprowadzenie wzorów 11

12 Ruch prosoliniowy Rzu pionowy w dół Dla ciała wyrzuconego z wysokości H, prędkością v 0,: RÓWNANIA RUCHU: y H v y v y 0 dy v0 d g g (.14) (.15) Czas rwania rzuu. (.16) Warość prędkości Końcowej. (.17) 1

13 Ruch prosoliniowy- jednowymiarowy Ruch prosoliniowy jednosajnie zmienny (a= cons.) 13

14 Przykład 1 (ablica) Jechałeś samochodem po prosej drodze z szybkością 70 km/h. Po przebyciu 8,4 km skończyło ci się paliwo i samochód się zarzymał. Musiałeś iść pieszo km do sacji benzynowej, co zajęło 30 min. a) Ile wynosiło woje przemieszczenie od począku podróży do sacji benzynowej? b) Ile czasu upłynęło od począku podróży, do chwili przybycia na sację benzynową? c) Ile wynosiła woja prędkość średnia w czasie od począku podróży do przybycia na sację benzynową ( sposobami). d) Załóżmy, że nabrałeś benzyny i wróciłeś do samochodu co zajęło ci 45 min. Ile wynosi woja średnia prędkość i średnia szybkość w czasie od począku podróży do chwili powrou z benzyną do samochodu. e) Załóżmy, że po nalaniu benzyny powróciłeś do punku saru z prędkością 35 km/h. Ile wynosi średnia prędkość dla całej podróży? 14

15 Ruch w dwóch i rzech wymiarach Założenia: - or ruchu nie musi być linią prosą, - ciągle ineresuje nas sam ruch i jego zmiany a nie ich przyczyny, -poruszające się ciało rakujemy jak obiek punkowy, czyli obdarzony masą lecz bez rozmiaru 15

16 Prędkość w karezjańskim rójwymiarowym układzie współrzędnych Wekor położenia ciała w funkcji czasu: r x( ) iˆ y( ) ˆj z( ) kˆ (.1) A B Przemieszczenie: r r' r r x iˆ y ˆj z kˆ (.) Prędkość średnia: v śr. r x iˆ y ˆj z kˆ (.3) Rys. Wekor prędkości, w każdym punkcie oru poruszającego się ciała, (jego kierunek), pokrywa się ze syczną do oru i jes prędkością chwilową. Prędkość chwilowa: v vx y vz r dr dx dy dz iˆ ˆj d d d d kˆ v lim 0 (.4) dr m v 1 d s (.5) 16

17 m..1. PRZYSPIESZENIE (ang. acceleraion, a, jedn. 1 ), o wielkość wekorowa, kóra s określa zmiany wekora prędkości w czasie poruszającego się ciała (zarówno warości, jak i kierunku). Ruch w dwóch i rzech wymiarach Rys. źródło: hp:// 17

18 Ruch w dwóch i rzech wymiarach PRZYSPIESZENIE ŚREDNIE: zmiana wekora prędkości a śr PRZYSPIESZENIE CHWILOWE : v m 1 s przedział czasu (.7) a dr d( ) v dv d d r lim 0 d d d m 1 s (.8) Zauważamy, przyspieszenie jes eż drugą pochodną wekora położenia względem czasu. syczna Składowe wekor przyspieszenia w układzie współrzędnych prosokąnych: or a a ax y az dv dv x y dvz iˆ ˆj d d d kˆ (.9) 18

19 Graficzne wyznaczanie drogi Ruch prosoliniowy- jednowymiarowy 19

20 Ruch w dwóch i rzech wymiarach Brachisochrona (krzywa najkrószego czasu) jes o krzywa, po kórej czas saczania się ciała o masie m od punku A do punku B, pod wpływem sałej siły ciężkości, jes najkrószy. Nazwa pochodzi od złożenia greckich słów brachisos - najkrószy oraz chronos - czas. Rys. Brachisochrona, źródło: hp:// 0

21 .4.1. RZUT UKOŚNY ruch krzywoliniowy Rzu ukośny jes złożeniem dwóch ruchów : ruchu jednosajnego w kierunku poziomym - z prędkością: y v 0y v 0x v 0 z H g x v ox v 0 cos ruchu jednosajnie zmiennego w kierunku pionowym: -z prędkością począkową: dx (.0) vx v0 x v( ) : d a( ) : v y dy v0 d Ruch w dwóch i rzech wymiarach y v 0x Rys. Rzu ukośny: w czasie ruchu składowa pozioma prędkości g (.1) g i przyspieszeniem. RÓWNANIA RUCHU: x v 0x 0 y v y v oy v 0 Dla ciała wyrzuconego z położenia (0,0) z prędkością do poziomu: g sin v0 x cons; przyspieszenie a- akie samo w każdym punkcie oru a a x y r( ) : 0 g v, 0 pod (.) (.3) (.18) (.19) 1

22 Tablica- wyznaczenie paramerów oru: Rzu ukośny c.d. Orzymane paramery oru: Zasięg (Z) rzuu: Z x( c ) v 0 sin g (.4) Maksymalna wysokość wzniesienia Hmax: v ( y w) 0 (z warunku: ) H max y( w ) v 0 sin g (.5) Wyznaczając z równania (3.6) czas i podsawiając do równania (3.7), znajdujemy równanie oru: Równanie oru dla rzuu ukośnego- rajekoria ruchu: y x g x v o g cos x (.6) Tablica- Przykłady

23 Analiza rzuu ukośnego-opór powierza Opór powierza Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podsawy fizyki, om I. 3

24 .4.1. Od przyspieszenia do równania ruchu Znając przyspieszenie (a =cons.) ciała można znaleźć prędkość, przemieszczenie lub drogę ego ruchu. a dv d Z definicji wynika : Całkując obie srony równania (.35), orzymujemy: v v 0 dv dv ad 0 ad (.8) (.9) a ponieważ a= cons, sąd: v v0 a( 0) (.30) v( ) a v W przypadku 0 =0s, równość (.37) przyjmuje posać: 0 Z definicji prędkości chwilowej Co wynika z całkowania sałego przyspieszenia? v dr d, orzymujemy: (.31) dr (.3) vd Całkując obie srony równania (.39), orzymujemy: (.33) Całka po czasie z wekora prędkości wyraża przemieszczenie ciała w przesrzeni. 4

25 .5. Ruch jednosajny po okręgu Ruch po okręgu - ruch cząski odbywa się po okręgu lub kołowym łuku z prędkością o sałej warości bezwzględnej, - choć warość prędkości się nie zmienia, ruch cząski jes ruchem przyspieszonym. Uzasadnienie. Przyspieszenie ( zmiana prędkości) kojarzy się ze Wzrosem lub zmniejszaniem się warości bezwzględnej prędkości. Prędkość jes wekorem, a nie skalarem. Jeśli zmienia się choćby ylko jej kierunek, o ruch jes przyspieszony. (.36) Okres-czas porzebny cząsce na jednokrony obieg zamknięego oru. 5

26 Ruch po okręgu Wielkości kąowe wekor prędkości kąowej (.37) (.38) 6

27 Ruch po okręgu Wielkości kąowe przyspieszenie kąowe (.39) (.40) (.41) 7

28 Ruch po okręgu Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) (.4) 8

29 Ruch po okręgu Zależności między wielkościami liniowymi a kąowymi w ruchu po okręgu Wysępowanie: 9

30 Przykład (dla zaineresowanych) Talerz adapera o średnicy d = 0 cm obraca się ruchem jednosajnym wykonując 33 obroy/min w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Oblicz : a) prędkość kąowa alerza, b) prędkość liniową i przyspieszenie dośrodkowe punku na brzegu alerza. c) Ile obroów/min powinien wykonywać alerz, aby przyspieszenie dośrodkowe punku na jego brzegu było równe przyspieszeniu ziemskiemu? Jaki byłby jego okres obrou? d) Gdy adaper wyłączono alerz zarzymał się po upływie 10 s. Zakładając, że siła oporu była sała obliczyć przyspieszenie kąowe alerza podczas hamowania oraz ilość obroów, kóre wykonał alerz od momenu wyłączenia do zarzymania. Oblicz przyspieszenie liniowe punku na brzegu alerza w chwili rozpoczęcia hamowania. Narysuj wekory prędkości i przyspieszenia kąowego alerza oraz prędkości liniowej, przyspieszenia dośrodkowego, sycznego i całkowiego punku na brzegu alerza uż po wyłączeniu adapera. 30

31 Dziękuję za uwagę! 31