mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

Transkrypt

1 mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver

2 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba stopni swobody: współrzędne uogólnione: prędkości uogólnione: r v=ṙ a = r f q= q 1, q 2,... q f q= q 1, q 2,... q f

3 równanie ruchu doświadczenie: jednoczesna znajomość wszystkich współrzędnych uogólnionych i prędkości uogólnionych całkowicie określa stan układu i pozwala przewidzieć jego ruch. znajomość w pewnej chwili q, q określa q związek między tymi wielkościami jest równaniem ruchu, jest to różniczkowe równanie drugiego rzędu na funkcję q t.

4 zasada Hamiltona ogólne sformułowanie praw ruchu: zasada najmniejszego działania (Hamiltona) układ mechaniczny jest całkowicie scharakteryzowany przez funkcję Lagrange a: L q, q,t niech: q t 1 =q 1 q t 2 =q 2 między tymi punktami układ porusza się tak, że funkcja zwana działaniem: t 2 S= L q, q,t dt t 1 przyjmuje wartość minimalną.

5 równanie ruchu niech dla więc dla q(t) działanie jest minimalne, q( t) + δ q( t) działanie jest większe. funkcja δ q(t) jest wariacją jest mała w przedziale oraz przyrost działania jest równy: δ q( t1 ) = δ q( t 2 ) = ( t, t ) ΔS = t 1 t t 2 2 L q δq, q δ q,t dt t 1 L q, q, t dt pierwsza wariacja: czyli: t 2 δs =δ L q, q,t dt =0 t 1 t 2 t q δq q δ q dt =0 1

6 równanie Lagrange a ponieważ δ q= d dt δq...eulera δs= q δq t 1 t 2 t 2 t 1 q d dt q δ qdt=0 dla dowolnego δq t stąd równanie Lagrange a (równanie ruchu): d dt q q =0 w ogólności: d dt =0 (i = 1, 2,... f) q i q i rozwiązanie zależy od 2f stałych, które określone są przez wartości początkowe

7 własności funkcja Lagrange a jest addytywna: lim L=L A L B równanie ruchu każdej części układu nieoddziałującego z pozostałymi nie może zależeć od wielkości odnoszących się do pozostałych części L równoważne jest αl (wybór jednostek)

8 własności (cd.) co więcej: L ' q, q, t =L q, q, t d dt f q,t f q,t - dowolna funkcja t 2 S ' = t 1 t 2 L ' dt= t 1 t 2 Ldt t 1 df dt dt=s f q 2,t 2 f q 1,t 1 różnica znika przy wariowaniu funkcja Lagrange a jest określona z dokładnością do addytywnej funkcji będącej zupełną pochodną czasową dowolnej funkcji f q,t

9 zasada względności układy inercjalne = prawo bezwładności zasada względności (doświadczenie) + czas bezwzględny = zasada względności Galileusza takie sama prawa! t=t ' r = r ' u t v= v ' u a= a '

10 cząstka swobodna jednorodność czasu i przestrzeni więc funkcja L nie może zależeć od r ani od t a izotropia przestrzeni wyklucza zależność od kierunku. czyli L=L v 2 z zasady Galileusza: ta sama postać we wszystkich inercjalnych: L [ v ' u 2 ]=L v 2 d dt f q,t tylko gdy L = α v 2 α = const

11 cząstka swobodna (cd) v' u 2 = v ' 2 2 v ' u u 2 = v ' 2 d dt 2 r ' u u 2 t L v 2 =L v ' 2 d dt 2 r ' u u 2 t przyjmuje się: α= m 2 dla cząstki swobodnej: dla układu cząstek: L= mv 2 2 L= a m a v a 2 2 m - masa, ma sens dzięki własności addytywności, m > 0

12 element długości łuku wsp. kartezjańskie: dl 2 =dx 2 dy 2 dz 2 L= m 2 ẋ 2 ẏ 2 ż 2 wsp. cylindryczne: dl 2 =dr 2 r 2 d 2 dz 2 L= m 2 ṙ2 r 2 2 ż 2 wsp. sferyczne: dl 2 =dr 2 r 2 dϑ 2 r 2 sin 2 ϑd 2 L= m 2 ṙ2 r 2 ϑ 2 r 2 sin 2 ϑ 2

13 energia potencjalna rozważmy układ odosobniony wewnątrz którego cząstki mogą oddziaływać... okazuje się, że: L= a 2 m a v a U r 2 1, r 2, czyli energia kinetyczna T minus (!) energia potencjalna oddziaływanie rozprzestrzenia się natychmiastowo (bezwzględność czasu + zasada Galileusza) NB: co gdy t przechodzi w -t? odwracalność ruchu.

14 siła d dt = v a r a m a d v a dt = U r a wielkość z prawej ma sens siły! i uzyskujemy równanie Newtona: F a = U r a czyli: F a = grad U U jest określone z dokładnością do addytywnej stałej (zwykle U=0 w nieskończoności)

15 U(t) ogólniej: x a = f a q 1, q 2, q f ẋ a = k f a q k q k L= 1 2 i, k a i, k q q i q k U q jest to forma kwadratowa prędkości układ A w polu układu B, który wykonuje zadany ruch L=T A q A, q A T B q B, q B U q A, q B energie kinetyczne zależy tylko od czasu energia potencjalna L A =T A q A, q A U q A, q B t drugi wyraz zależy jawnie od czasu

16 np. ruch cząstki: równanie ruchu: L= mv 2 2 U r, t m v= U r na przykład energia potencjalna w polu jednorodnym: U = F r uwaga: więzy mniej stopni swobody

17 wahadło płaskie T = 1 ml U =mgh=mgl 1 cos U = mgl cos g sin =0 l małe drgania: ϕ l L= 1 2 ml 2 2 mgl cos d dt =0 d dt ml 2 mgl sin =0 g l =0 T =2π l g t = A cos ωt α m mg ml 2 mgl sin =0 ω= g l

18

19 prawa zachowania całki ruchu: funkcje od q i, q i niezmienne podczas ruchu, zależą od warunków początkowych liczba całek: 2f - 1, stałych dowolnych jest f ale równania ruchu nie zależą jawnie od czasu (układ odosobniony) i wybór t 0 jest dowolny q i =q i t t 0,C 1,C 2, C 2f 1 q i = q i t t 0,C 1,C 2, C 2f 1 C 1, C 2,... C 2f-1 zależą od q i, q i niektóre z całek są ważne, te addytywne, związane z własnościami przestrzeni

20 jednorodność czasu energia: dl dt = i q i q i i q q i i t q i = d dt q i dl dt = i q i d dt q i i q i q i = i d q i dt q i d dt i q i q i L =0 układ odosobniony lub stałe pole: def E = i q i q i L=const

21 energia L=T q, q U q forma kwadratowa prędkości i q i q i = i q i T q i =2T twierdzenie Eulera o funkcjach jednorodnych E=T q, q U q w układzie kartezjańskim: E= a m a v a 2 2 U r 1, r 2,

22 zasada zachowania pędu pęd: r a r a ε L nie zmienia się ε dowolne a r a =0 a d dt v a = d dt a v a =0 def p = a v a =const p= a m a v a

23 uogólniona siła L= a 2 m a v a U r 2 1, r 2, = U r a r a siła działająca na ciało a a F a =0 ogólnie: p i = q i F i = q i ṗ i =F i pęd uogólniony siła uogólniona równanie Lagrange a

24 koniec

25 oni Joseph-Louis Lagrange, comte de l'empire ( ) Giuseppe Lodovico Lagrangia Sir William Rowan Hamilton ( ) Lev Davidowich Landau ( ), 1962 Nobel Ле в Дави дович Ланда у