MECHANIKA OGÓLNA (II)

Transkrypt

1 MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale dla kier. ZiP wykład 15 godz., ćwiczenia 15 godz. *) egzamin Wykładający: prof. dr hab. inż. Edmund Wittbrodt Katedra Mechaniki i Mechatroniki p. 103 (sekretariat p. 104) WM Ćwiczenia tablicowe: dr hab. inż. Krzysztof Lipiński, mgr inż. Grzegorz anaszek, mgr inż. Piotr Patrosz, mgr inż. Paweł Wawrzyniak, mgr inż. Paweł Załuski

2 Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas którego wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach π π 0 (płaszczyzna kierująca) ryła w ruchu płaskim Punkty ciała leżące na prostej prostopadłej do płaszczyzny kierującej poruszają się po takich samych torach, mają jednakowe prędkości i przyspieszenia. Zatem dla badania ruchu płaskiego wystarczy wziąć pod uwagę dowolny przekrój ciała płaszczyzną równoległą do kierującej.

3 Ruch płaski jest superpozycją (złożeniem) ruchów: postępowego dowolnie wybranego punktu ciała (bieguna) i obrotowego wokół tego wybranego punktu. Ruch płaski można też traktować jako ruch obrotowy, wokół pewnego punktu, tzw. środka obrotu. Środek obrotu zmienia swoje położenie podczas ruchu. a) φ b) Ruch płaski jako: a) superpozycja ruchu postępowego i obrotowego, b) ruch obrotowy wokół chwilowego środka obrotu C

4 Położenie bryły by określić położenie ciała na płaszczyźnie należy podać trzy współrzędne (bryła ma trzy stopnie swobody). Na ogół są to: y Położenie bryły w ruchu płaskim 0 r r φ ψ dwie współrzędne bieguna 0(x, y): x = x (t), r x y x y = y (t), (3.34a) kąt, o jaki obróciło się ciało ϕ = ϕ(t). (3.34b) Położenie dowolnego punktu bryły, względem nieruchomego układu osi x, y, określamy za pomocą wektora r. Ponieważ położenie punktu, względem bieguna, opisuje wektor, gdzie = r = r cosψ i + r sinψ j, więc wektor r przyjmuje postać r = r + r = ( x + r cos ψ ) i + ( y + r sin ψ ) j. (3.35)

5 Prędkość bryły Prędkość ciała w ruchu płaskim jest określona, jeżeli znamy prędkość bieguna oraz prędkość kątową bryły ω. Prędkość bieguna obliczamy różniczkując współrzędne bieguna z równania (3.34a) względem czasu = x i + y j, (3.36a) gdzie: = x &, = y &, x y natomiast prędkość kątową obliczamy różniczkując kąt obrotu ciała z równania (3.34b) względem czasu ω = ϕk & (3.36b)

6 Prędkość liniową punktu bryły obliczamy przez zróżniczkowanie względem czasu równania (3.35) = r& = r& + r& = +. (3.37) Prędkość jest prędkością bieguna i dana jest równaniem (3.36a), natomiast względem bieguna, obliczamy jak dla ruchu obrotowego z zależności, która jest prędkością punktu rω cosψ j i j k = r& = ω r = 0 0 ω, (3.38) r cosψ r sinψ 0 y y& j zatem = xi + y j, (3.39) y y& j r ψ ω x& i x rω sinψ i x& i gdzie: = x& rω sinψ, = y& + rω cosψ. x y x Wektor prędkości punktu bryły w ruchu płaskim

7 Wartość wektora prędkości punktu obliczamy (rys. 3.28) = x + y = ( ω sin ψ ) + ( + ω cos ψ ) x& r y& r = ( x& ) + ( y& ) + r ω 2 rω( x& sinψ y& cos ψ ). Często wygodniej jest obliczać prędkość punktu, korzystając ze współrzędnych naturalnych do opisu prędkości względnej. We wzorze (3.37), jak poprzednio, 0 jest prędkością bieguna, a jest prędkością względną punktu względem bieguna. Zatem = +, (3.40) gdzie: = r &, = r& = ω r, przy czym: = ωr = & ϕr, zaś kierunek wektora jest prostopadły do wektora ω i do wektora r (zgodny z kierunkiem osi t) co można też zapisać = & ϕret. statecznie zależność na prędkość punktu bryły przyjmuje postać = + & ϕret. (3.41) t r & ϕe t n ω = & ϕ r kreślenie prędkości punktu bryły w ruchu płaskim przy danej prędkości punktu

8 Twierdzenie 1 W ruchu płaskim istnieje punkt, którego prędkość jest równa zero. Jest to chwilowy środek prędkości. Przyjmując za biegun chwilowy środek prędkości ( C ) prędkość dowolnego punktu możemy obliczyć z zależności ωρ = et. t ρ ω = & ϕ C 0 n Prędkość punktu bryły w ruchu płaskim przy wykorzystaniu chwilowego środka prędkości

9 Twierdzenie 2 Rzuty wektorów prędkości dwóch dowolnych punktów bryły na prostą łączącą te punkty są sobie równe. cosα = cos β. α cos β β cosα Rzuty wektorów prędkości punktów i bryły na prostą łączącą te punkty Twierdzenie to jest słuszne dla dowolnego ruchu bryły. Gdyby rzuty wektorów prędkości punktów nie były sobie równe, to odległość pomiędzy tymi punktami musiałaby się zmieniać, co jest z założenia niemożliwe dla bryły sztywnej. Twierdzenie 3 Wektor prędkości punktu bryły jest prostopadły do promienia łączącego chwilowy środek prędkości z tym punktem.

10 Twierdzenie 4 Końce wektorów prędkości dowolnych punktów bryły w ruchu płaskim są widziane pod tym samym kątem ϕ z chwilowego środka prędkości, przy czym ϕ = arctgω. Prędkości punktów bryły widziane z chwilowego środka prędkości C ρ ϕ ϕ ρ ω C