Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Transkrypt

1 napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość prądu związanego wewnątrz magnesu: j zw = M = 0. Gęstość prądu związanego na powierzchni magnesu wynosi: κ zw = M n = M e z e r = M sin θ e ϕ (1) gdzie n = e r jest wersorem prostopadłym do powierzchni magnesu. Jak widać magnes kulisty można zastąpić cewką nawiniętą na powierzchni kuli z gęstością uzwojenia proprocjonalną do sin θ. Potencjał wektorowy pola magnetycznego, który wytwarza wokół siebie kula, obliczamy za pomocą wzoru całkowego. Jest to ogólne rozwiązanie równania Poissona A = µ 0 j, przepisane dla przypadku gęstości prądu powierzchniowego κ zw : A( r ) = µ 0 4π S κ zw ( r ) ds (2) r r gdzie wektor r wskazuje na punkt obserwacji, dla którego obliczamy potencjał wektorowy, wektor r wskazuje na źródło pola magnetycznego. Korzystając ze wzoru (1) i zauważając, że stały wektor magnetyzacji nie podlega całkowaniu możemy napisać: gdzie całka wektorowa F wynosi: A( r ) = µ 0 4π M F () F = S e r ds (4) r r Przy obliczaniu powyższej całki wskazane jest obrócenie osi z układu współrzędnych, tak aby pokryła się ona z kierunkiem wektora r, który nie podlega całkowaniu. Wówczas składowe kartezjańskie wektora r wyniosą: r = [0, 0, r] (5) Do zapisu składowych kartezjańskich wersora e r możemy zastosować współrzędne sferyczne: e r = [cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ] (6) 1

2 gdzie kąt θ jest kątem pomiędzy wektorami r i r. Odległość między źródłem pola i punktem obserwacji można obliczyć z twierdzenia cosinusów: r r = r 2 + R 2 2r R cos θ (7) Element całkowania powierzchni sfery ds w układzie sferycznym wynosi ds = R 2 sin θ dθ dϕ (8) Składowe kartezjańskie x i y wersora e r zawierają funkcje sin ϕ i cos ϕ, które wycałkowane po ϕ dają zero. Jedyną niezerową składową całki wektorowej F jest składowa z, która wynosi: F z = 2π π ϕ=0 θ=0 cos θ r2 + R 2 2r R cos θ R2 sin θ dθ dϕ (9) Całka po ϕ daje 2π, do całki po θ można zastosować podstawienie u = cos θ: F z = 2π R 2 u du r2 + R 2 2r R u (10) Pole magnetyczne na zewnątrz kuli W obszarze na zewnątrz kuli, dla punktu obserwacji r > R możemy wprowadzić zmienną ξ = R/r < 1. F z = 2πr ξ 2 u du 1 + ξ2 2ξ u (11) Wielkość występująca pod całką ma związek z funkcję tworzącą wielomianów Legendre a: Równanie (11) można więc przepisać w postaci: ξ2 2ξ u = P n (u) ξ n (12) n=0 F z = 2πr ξ n+2 n=0 u P n (u) du (1) 2

3 Całkę po u można łatwo obliczyć, zauważając że P 1 (u) = u i korzystając z warunku ortogonalności wielomianów Legendre a P 1 (u) P n (u) = 2 2n + 1 δ n,1 = 2 δ n,1 (14) Wysumowana delta Kroneckera działa jak zamiana indeksu n na wartość 1. Składowa z całki wektorowej wynosi więc: F z = 2πr 2 (R/r) = 4π R (15) r 2 Po wykonaniu całkowania możemy oś z ustawić z powrotem wzdłuż kierunku wektora prędkości kątowej. Wielkość F z będzie wówczas oznaczała składową radialną całki wektorowej: F = F z e r. Zgodnie z równaniem () potencjał wektorowy na zewnątrz kuli wyniesie: A zew = µ 0 4π M e z F z e r = µ 0 MR sin θ e r 2 ϕ (16) Jest to potencjał wektorowy dipola punktowego o momencie dipolowym m = MV, gdzie V jest objętością magnesu. Pole magnetyczne wewnątrz kuli W przypadku gdy punkt obserwacji znajduje się we wnętrzu kuli zachodzi r < R. Możemy wtedy wprowadzić zmienną ξ = r/r < 1. Całka (10) przyjmuje postać: F z = 2πR u du 1 + ξ2 2ξ u Wykonując rachunek analogiczny do poprzedniego przypadku otrzymujemy: (17) F z = 2πR 2 (r/r)1 = 4π r (18) Potencjał wektorowego dla punktu obserwacji wewnątrz magnesu wynosi: A wew = µ 0 4π M F z e r = µ 0 M r = µ 0 M r sin θ e ϕ (19) Wektor indukcji pola magnetycznego wewnątrz kuli jest stały: B = A = µ 0 M r = µ 0 [ M( r) M r ] = µ 0 [ M M ˆ1 ] = 2 µ 0 M (20)

4 Jak widać wewnątrz magnesu w kształcie kuli pole magnetyczne jest jednorodne i równoległe do magnetyzacji. Korzystając z równania materiałowego można obliczyć wektor natężenia pola magnetycznego: H = 1 µ 0 B M = 1 M (21) Wewnątrz magnesu natężenie pola magnetycznego jest skierowane przeciwnie do kierunku magnetyzacji. Linie sił pola magnetycznego Wektor indukcji pola magnetycznego jest równy rotacji potencjału wektorowego. We współrzędnych sferycznych, w przypadku gdy potencjał wektorowy ma tylko jedną składową A ϕ (r, θ) mamy: 1 B r = r sin θ θ (sin θ A ϕ), B θ = 1 r r (r A ϕ), B ϕ = 0 (22) Równanie linii sił pola magnetycznego w układzie sferycznym daje się zapisać jako warunek różniczkę zupełną dr = r dθ (2) B r B θ r (r sin θ A ϕ) dr + θ (r sin θ A ϕ) dθ = d(r sin θ A ϕ ) = 0 (24) Linie sił pola magnetycznego są więc określone przez równanie: r sin θ A ϕ = const (25) Linie sił pola magnetycznego można narysować na płaszczyźnie x, z przyjmując: sin θ = x r, r = x 2 + z 2 4

5 A zew [x, z ] = Abs[x]/(x 2 + z 2) (/2); A wew [x, z ] = Abs[x]; A[x, z ]:=If [ x 2 + z 2 < 1, A wew [x, z], A zew [x, z] ] rys = ContourPlot[Abs[x] A[x, z], {x, 2, 2}, {z, 2, 2}, Contours {0.00, 0.0, 0.1, 0.2, 0.5, 0.55, 0.8}, ContourShading False, PlotPoints 50]; Show[Graphics[Circle[{0, 0}, 1]], rys] 5