Wykład 4 Metoda Klasyczna część III

Transkrypt

1 Teoria Obwodów Wykład 4 Meoda Klasyczna część III Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 5/8 el: (7) 3 6 fax: (7) omasz.sikorski@pwr.wroc.pl Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

2 Teoria Obwodów San nieusalony w gałęzi Załączanie szeregowej gałęzi na napięcie sałe Załączanie szeregowej gałęzi na napięcie sinusoidalne... 7 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

3 Teoria Obwodów Hisoria obwodu < Analiza obwodu w sanie usalonym przed komuacją Warunek począkowy dla =- =- Warunek począkowy dla = Dla układów wyższego rzędu warunki począkowe dla pochodnych dla = = Układ równań Kirchhoffa ównanie różniczkowe szukanej wielkości Przyszłość obwodu SN składowa usalona (wymuszona) Analiza obwodu w sanie usalonym po komuacji ->inf Wyznaczenie warości składowej usalonej dla = Dla układów wyższego rzędu wyznacznie warości pochodnych składowej usalonej w chwili = OJ składowa przejściowa (swobodna) Określenie przewidywanej posać składowej przejściowej na podsawie wielomianu charakerysycznego Wyznaczenie warości składowej przejściowej w chwili o=, oraz, dla ukłądów wyższego rzędu, warości pochodnych składowej przejściowej w chwili = Wyznaczenie sałych składowej przejściowej > Wyznaczenie odpowiedzi całkowiej jako sumy składowej usalonej (wymuszonej) oraz składowej przejściowej (swobodnej) ON=SNOJ 3 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

4 Teoria Obwodów San nieusalony w gałęzi. Załączanie szeregowej gałęzi na napięcie sałe = e = E = cons. Po komuacji dwa elemeny i() Dane: zachowawcze różnego ypu,, ównanie różniczkowe II rzędu u () u c () oprzeć na E u () i ( ) lub u ( ) c. <, Analiza obwodu w sanie usalonym przed komuacją (hisoria obwodu) oraz wyznaczenie warunku począkowego dla =-, ( ), ( ) i = dla < i = u = dla < u =. =, wyznaczenie warunku począkowego dla = Po załączeniu łącznika nie swierdzamy ani oczek osobliwych ani węzłów osobliwych, a zaem napięcie na kondensaorze oraz prąd płynący przez cewkę zachowują prawa komuacji: ( ) ( ) i = i = u = u = 4 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

5 Teoria Obwodów UWAGA PZYPOMNIENIE (wykład ): Przykłady przewidywanej posaci składowej przejściowej dla = w zależności od pierwiasków wielomianu charakerysycznego jeden pierwiasek rzeczywisy dwa różne pierwiaski rzeczywise, Δ > jeden rzeczywisy pierwiasek podwójny Δ = dwa pierwiaski zespolone sprzężone Δ < λ λ λ λ λ y = A e, > p λ λ, y p = Ae Ae, > λ, k, = p Ae λ λ y = Ae, > λ λ λ y p = Ae Ae, > λ = λ * Przykłady wymagań dla warunków począkowych = w zależności od rzędu równania n= jeden pierwiasek rzeczywisy n= dwa różne pierwiaski rzeczywise, Δ > jeden rzeczywisy pierwiasek podwójny Δ = jeden zespolony pierwiasek sprzężony Δ < λ λ, λ różniczkowego n λ k = λ y yu ( ),, y dy dy u, yu ( ), λ = λ * d i d 5 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

6 Teoria Obwodów Ze względu na dwa różne elemeny zachowawcze pozosające w obwodzie po komuacji, u, będzie równaniem rzędu i do wyznaczane równanie różniczkowe, czy o dla i czy jego rozwiązania wymagana jes dodakowo, zn. oprócz i ( ) oraz warunków począkowych dla ich pochodnych w chwili = j. di ( ) du ( ) d oraz d. c u, znajomość Warości ych pochodnych możemy odnaleźć wyznaczając rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie dokładnie w chwili =, ak jakby dla zarzymanego obwodu, poszukując i, kóre nie muszą spełniać praw komuacji. Wedy: niesandardowo u ( ) oraz di( ) di ( ) u( ) = = u( ), d d du du i = = i d d hociaż w ej szczególnej dla obwodu chwili czasowej nie możemy zasosować praw komuacji dla u ( ) czy i, o wciąż mamy do dyspozycji warości, i wymuszeń dla = e ( ) równań: u oraz warości i przede wszyskim prawa Kirchhoffa. Możemy więc ułożyć układ 6 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

7 E = i Teoria Obwodów i ( ) = i ( ) = i( ) E = i( ) u ( ) u ( ) i( ) =, u( ) = u c ( ) u ( ) u E u ( ) = = = u Skąd dla orzymujemy di E A d s Ponado: du ( ) = ( ) V i i = i = = d s 3. >, wyznaczanie równania różniczkowego W przypadku dwóch i więcej elemenów zachowawczych musimy podjąć decyzję, na kórym z sygnałów zachowawczych oprzeć równanie różniczkowe. W analizowanym obwodzie mamy do dyspozycji i, uc ( ) E > i() u () Przykład wyznaczania równania różniczkowego dla di() () () i = i = i u c () u (), gdzie () () E = i u d i () u = i d 7 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

8 Teoria Obwodów Sąd po wyrażeniu wszyskich sygnałów biorących udział w II Prawie Kirchhoffa przez prąd płynący i przyjmie posać różniczkowo-całkową: przez cewkę, równanie dla di d E = i() i() d d d Aby orzymać szukane równanie różniczkowe możemy zróżniczkować obusronnie posać różniczkowocałkową: di di = i d d di di = d d Swierdzamy równanie różniczkowe liniowe jednorodne o sałych współczynnikach. Szukane rozwiązanie j. prąd płynący przez cewkę i w sanie nieusalonym zawierał będzie jedynie składową przejściową: OJ i = i, p () () i u SN = i = Sprawdźmy obwodowo czy informacja wypływająca z budowy równania różniczkowego o zerowej i składowej usalonej dla () jes prawdziwa. 8 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

9 Teoria Obwodów 4., analiza obwodu w sanie usalonym po komuacji (przyszłość obwodu) składowa usalona odpowiedzi (składowa wymuszona) E i()= u u u ()= u u ()=E u u ()= i ( ) - sprawdzenie u i = Sałe wymuszenie E oraz san usalony pozwalają swierdzić, że kondensaor naładuje się do warości sałej i sanie się przerwą i =. Sąd wszyskie pozosałe napięcia dla prądu, czyli u będą równe zeru, za wyjąkiem napięcia na kondensaorze. Z II u = E. prawa Kirchhoffa wyznaczymy u u ip di 5. >, składowa przejściowa (swobodna) ównanie jednorodne Wielomian charakerysyczny di = d d V ( λ) = λ λ () i 9 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

10 Teoria Obwodów Pierwiaski wielomianu charakerysycznego Δ = b 4ac= 4 ; Δ = 4 4 b Δ λ = = = a b Δ λ = = a Jeśli dodakowo zdefiniujemy paramery α, β odpowiednio α =, β Δ = = = α ωr, ωr = To pierwiaski wielomianu możemy zapisać jako: λ = α β, λ = α β UWAGA: Waro zauważyć, że w budowie pierwiasków wielomianu charakerysycznego można wyodrębnić składnik odpowiadający pulsacji własnej obwodu, czyli pulsacji rezonansowej ω r =. Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

11 Teoria Obwodów UWAGA PZYPOMNIENIE (wykład ): Przykłady przewidywanej posaci składowej przejściowej dla = w zależności od pierwiasków wielomianu charakerysycznego dwa różne pierwiaski rzeczywise, Δ > jeden rzeczywisy pierwiasek podwójny Δ = dwa pierwiaski zespolone sprzężone Δ < λ, λ () λ i λ y = A e λ A e, > p λ, () λ k λ λ, = y = A e A e, > λ = λ * p λ λ () = y p Ae Ae, > Dla rozważanego obwodu wyróżnik równania kwadraowego jes zależny od paramerów obwodu. A zaem charaker składowej przejściowej zależeć będzie od wzajemnych zależności pomiędzy elemenami obwodu. W poprzednio omawianych obwodach i, oceniając sałą czasową obwodu, udało nam się wskazać zależność pomiędzy oraz odpowiednio i, wskazujące szybkość zanikania sanu przejściowego w obwodzie. Podobnie w omawianym obwodzie wyróżnić można relacje pomiędzy oraz, kóre decyduję o charakerze obwodu. Wynikają one z warości wyróżnika równania kwadraowego: > Δ= 4 Δ = < rezysancji kryycznej ; > = < = UWAGA: Warość rezysancji nosi nazwę Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

12 Przypadek : Teoria Obwodów Δ >, dwa różne pierwiaski rzeczywise, λ, λ λ > λ ip = Ae Ae, > Przewidywana posać składowej przejściowej Omawianej syuacji odpowiadają nasępujące relacje pomiędzy elemenami oraz : 4 4 Δ > > > >. Wedy β Δ = = oraz α = są liczbami rzeczywisymi, a pierwiaski można określić jako λ = α β, λ = α β UWAGA: Gdy rezysancja gałęzi jes większa od rezysancji kryycznej, przebieg prądu w gałęzi w sanie nieusalonym od załączania napięcia sałego ma charaker aperiodyczny czyli nieokresowy. Przypadek : Δ =, jeden rzeczywisy pierwiasek podwójny λ, k =, λ = λ Przewidywana posać składowej przejściowej ip = Ae Ae, > Omawianej syuacji odpowiadają nasępujące relacje pomiędzy elemenami oraz : Δ = =, wedy β = Δ = = jes równa zero oraz λ = α β = α, λ = α β = α α =, a pierwiaski można określić jako UWAGA: Gdy rezysancja gałęzi jes równa rezysancji kryycznej, przebieg prądu w gałęzi w sanie nieusalonym od załączania napięcia sałego ma charaker aperiodyczny granicznie (graniczny). Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

13 Przypadek 3: Teoria Obwodów Δ <, dwa pierwiaski zespolone sprzężone λ, λ = λ* λ < λ ip = Ae Ae, > Przewidywana posać składowej przejściowej Omawianej syuacji odpowiadają nasępujące relacje pomiędzy elemenami oraz : Δ < <, wedy β = Δ = = jes liczbą urojoną oraz α =, a λ = α β, λ = α β pierwiaski można określić jako UWAGA: Gdy rezysancja gałęzi jes mniejsza od rezysancji kryycznej, przebieg prądu w gałęzi w sanie nieusalonym od załączania napięcia sałego ma charaker periodyczny czyli okresowy (oscylacyjny). Sąd wyznaczanie w punkcie 5 diagramu meody klasycznej składowej przejściowej (swobodnej) ip () może pooczyć się według rzech opisanych poniżej scenariuszy: 5.. Przypadek : Δ > 5.. Przypadek : Δ = 5.3. Przypadek 3: Δ < Jednocześnie fizyczną inerpreację parameru α należy uparywać jako współczynnika łumienia składowych przejściowych. 3 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

14 Δ > Teoria Obwodów λ, λ 5.. Przypadek :, dwa różne pierwiaski rzeczywise, λ λ ip = Ae Ae > Przewidywana posać składowej przejściowej λ = = α β oraz λ = = α β ( α β) ( α β) ip() = Ae Ae, > W odróżnieniu do obwodów I rzędu do wyznaczenia są dwie sałe A, A, >. Nie wysarczy zaem jedno równanie dla warunków począkowych. Drugie równanie orzymamy adapując równanie na warunki począkowe w formie pochodnych. () p,, u () dip () i = i dla > i = di =, dla > d d W szczególności dla = :, przy czym di λ λ = A λ e A λ e, > p λ λ p di( ) i = i = Ae Ae = A A di λ λ = Aλ e Aλe = Aλ Aλ d począkowych. d i = przy czym z warunków = d E 4 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

15 Teoria Obwodów Osaecznie układ równań do znalezienia sałych przyjmie posać: = A A A A = A E E = A λ A λ = A λ A λ = A ( λ λ ) A E E E A = = = ( λ λ) ( α β α β) β E E E A = = = ( λ λ) ( α β α β) β = A Sąd składowa przejściowa po uzupełnieniu: gdzie: ( β) ( β) = E ( λ λ ) E ( α β) E ( α β) E ( α) e e E ( α) ip () = e e = e = e sh ( β), dla > β β β β α =, β = Δ = 6.. Przypadek : Osaecznie prąd w omawianym obwodzie zawiera jedynie składową przejściową w posaci: E i() = e sh ( β), dla > β 5 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

16 Teoria Obwodów Pozosały rozkład napięć dla ego przypadku możemy znaleźć w oparciu o wyznaczoną posać prądu i związki prądowo-napięciowe oraz prawa Kirchhoffa. I ak, napięcie na cewce z pochodnej prądu: di d E α β () α β E ( α β u ) ( α β ) = = e e α β e α β e d d β = = β β β β β E α β β β β α αe αe βe βe = e αe βe αe βe Ee β = = β β α α = Ee sh( β) ch( β) Ee sh( β) ch( β) β = β Napięcie na rezysorze: E β E β ( α ) u () = i() = e sh( β) = e sh ( β), dla > Napięcie na kondensaorze z II Prawa Kirchhoffa: uc () E E e e β β ( α β) ( α β) = = = E E sh( β) ch ( β) e β 6 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

17 Teoria Obwodów Przykład przebiegu sanu przejściowego w obwodzie załączanym na napięcie sałe dla przypadku, Δ >, > - charaker aperiodyczny (nieokresowy) Dane: E = V, = kω, =.5 H, = μf, u (-) =, i(-) = > = Ω α = s, β = s λ = 3s, λ = s u (), u (), u c () [V] u u c u [s].5. () u = e e V = uc = 5 e 3e V 3 3 3, u 5 3e e V 7 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

18 Teoria Obwodów 5.. Przypadek Δ =, jeden rzeczywisy pierwiasek podwójny λ, k =, λ = λ Przewidywana posać składowej przejściowej ip = Ae Ae, > λ = λ = λ = β = Δ = = λ λ p() i = A e A e = A e A e, > Podobnie jak w przypadku pierwszym pełna posać składowej przejściowej wymaga wyznaczenia dwóch sały A, A. Nie wysarczy zaem jedno równanie dla warunków począkowych. Drugie równanie orzymamy adapując równanie na warunki począkowe w formie pochodnych. () p,, u () dip () i = i dla > i = di =, dla > d d W szczególności dla = :, przy czym p di( ) i = i = A di = A λ A d i = = d di E = A λe A e A λe, > p λ λ λ d przy czym z warunków począkowych. 8 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

19 Teoria Obwodów Osaecznie układ równań do znalezienia sałych przyjmie posać: = A A = A = E E E Aλ A A A = = = Sąd składowa przejściowa po uzupełnieniu: Sprawdzenie: Wykorzysamy przejście graniczne E β E λ λ ip() = Ae Ae = e, dla > lim β sh ( β ) ( α ) ip () = lim e sh ( β) = e, dla > β E β = i oraz posać z przypadku 6.. Przypadek : Osaecznie prąd w omawianym obwodzie zawiera jedynie składową przejściową w posaci: E i () = e, dla> p 9 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

20 Teoria Obwodów Pozosały rozkład napięć dla ego przypadku możemy znaleźć w oparciu o wyznaczoną posać prądu i związki prądowo-napięciowe oraz prawa Kirchhoffa. I ak, napięcie na cewce z pochodnej prądu: di d E u () = = e E e e E e, dla d d = = > Napięcie na rezysorze: E u () = i() = e, dla > Napięcie na kondensaorze z II Prawa Kirchhoffa: E u() = E u() u() = E e E e = E E E E e E e = E E e = E E e, dla > Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

21 Teoria Obwodów Przykład przebiegu sanu przejściowego w obwodzie załączanym na napięcie sałe dla przypadku, Dane: E = V, = kω, =.5 H, = μf, u (-) =, i(-) = = = Ω, α = s, β = λ = λ = s () Δ =, = - charaker aperiodyczny granicznie (graniczny) u (), u (), u c () [V] u = - α = -3 s 3 4 u = e V, = 3 3 uc = e V u c u.5. 3 u e V 3 [s] Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

22 Δ < Teoria Obwodów λ, λ ; λ = λ * 5.3. Przypadek 3:, dwa pierwiaski zespolone sprzężone =, > λ λ ip Ae Ae Przewidywana posać składowej przejściowej λ = = α β oraz λ = = α β, przy czym β jes urojona. Jeśli zapiszemy pierwiaski w jawnej posaci zespolonej: λ = α β = α Δ = α j Δ oraz λ = α β = α Δ = α j Δ Δ = = α ωr = ω λ = α jω ; λ = α jω A gdzie:. Sąd pierwiaski Podobnie jak dla przypadku pierwszego szukamy, A <. Nie wysarczy zaem jedno równanie dla warunków począkowych. Drugie równanie orzymamy adapując równanie na warunki począkowe w formie pochodnych. () p,, u () dip () i = i dla > i = di =, dla > d d, przy czym di λ λ = A λ e A λ e, > p d Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

23 W szczególności dla = : Teoria Obwodów λ λ p di( ) i = i = Ae Ae = A A di λ λ = Aλ e Aλe = Aλ Aλ d począkowych. Osaecznie układ równań do znalezienia sałych przyjmie posać: i = przy czym z warunków = d = A A A A = A = A E E E = A λ A λ = A λ A λ = A ( λ λ ) A = E E E E A = = = = j ( λ λ) ( α jω α jω) ( jω) ω E E E E A = = = = j ( λ λ) ( α jω α jω) ( jω) ω E ( λ λ ) 3 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

24 Sąd składowa przejściowa po uzupełnieniu: () ( ω ) ( ω ) Teoria Obwodów i j e j e e p E E j e E ω ω ω ( jω) ( jω) ( e ) α jω α jω α = = = j j E e e E = = ( ω ) > ω α e e sin, dla j ω Sprawdzenie: Wykorzysamy związki sh( jω ) = jsin ( ω ), ch( jω ) = cos( ω ) oraz podsawienie E β = jω dla przypadku ip () = e sh ( β), dla > β E E E ip e j e e j sh ω j sin = = ω = sin ω ω ω ω () 6.3. Przypadek 3: Osaecznie prąd w omawianym obwodzie zawiera jedynie składową przejściową w posaci: E i () = e sin ( ω), dla> ω 4 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

25 Teoria Obwodów Pozosały rozkład napięć dla ego przypadku możemy znaleźć w oparciu o wyznaczoną posać prądu i związki prądowo-napięciowe oraz prawa Kirchhoffa. I ak, napięcie na cewce z pochodnej prądu: di d E E u() = = e sin( ω) e sin( ω) e cos( ω) ω d d ω = = ω E sin( ) cos ( ) e, dla ω ω ω = > Napięcie na rezysorze: E u = i = e sin, dla > () () ( ω ) ω Napięcie na kondensaorze z II Prawa Kirchhoffa: E u() = E u() u() = E e sin( ω) E sin( ω ) cos ( ω ) e ω = ω E E sin( ) cos ( ) e, dla ω ω ω = > 5 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

26 Teoria Obwodów Przykład przebiegu sanu przejściowego w obwodzie załączanym na napięcie sałe dla przypadku 3, Δ <, < - charaker periodyczny (okresowy, oscylacyjny) Dane: E = V, = Ω, =.5 H, = μf u (-) =, i(-) = < = Ω α = s ω 995s f 58Hz u (), u (), u c () [V] u c u u [s].5 - u () = e sin( 995) V () 995 sin cos, = uc () ( 995) ( 995) e V 995 sin cos = u e V 6 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

27 Teoria Obwodów. Załączanie szeregowej gałęzi na napięcie sinusoidalne = i() Dane: Po komuacji dwa elemeny e = Em sin( ω ψ e) zachowawcze różnego ypu ównanie różniczkowe II rzędu u () u (),, e() u () oprzeć na lub u ( ) i c. <, Analiza obwodu w sanie usalonym przed komuacją (hisoria obwodu) oraz wyznaczenie warunku począkowego dla =-, ( ), ( ) i = dla < i = u = dla < u =. =, wyznaczenie warunku począkowego dla = Po załączeniu łącznika nie swierdzamy ani oczek osobliwych ani węzłów osobliwych, a zaem napięcie na kondensaorze oraz prąd płynący przez cewkę zachowują prawa komuacji: ( ) ( ) i = i = u = u = 7 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

28 Teoria Obwodów Ze względu na dwa różne elemeny zachowawcze pozosające w obwodzie po komuacji, u, będzie równaniem rzędu i do wyznaczane równanie różniczkowe, czy o dla i czy jego rozwiązania wymagana jes dodakowo, zn. oprócz i ( ) oraz warunków począkowych dla ich pochodnych w chwili = j. di e( ) ( ) du ( ) d = oraz i d. u ( ) u c ( ) u u c u, znajomość i ( ) = i ( ) = i( ) e( ) = i( ) u ( ) u ( ) i( ) =, u( ) = ( ( ) ( ) ( m = e = u ) = Skąd dla orzymujemy di E sin ψ e A d s Ponado: ( ) ( ) du V i( ) = i ( ) = i = = d s ) 8 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

29 E Teoria Obwodów 3. >, wyznaczanie równania różniczkowego W przypadku dwóch i więcej elemenów zachowawczych musimy podjąć decyzję, na kórym z sygnałów zachowawczych oprzeć równanie różniczkowe. W analizowanym obwodzie mamy do dyspozycji i, uc ( ) > i() u () u c () u () Przykład wyznaczania równania różniczkowego dla i = i = i di() Em sin( ω ψe) = i u d gdzie: u () = i() d () () Sąd po wyrażeniu wszyskich sygnałów biorących udział w II Prawie Kirchhoffa przez prąd płynący i przyjmie posać różniczkowo-całkową: przez cewkę, równanie dla di d Em sin( ω ψe) = i() i() d d d Aby orzymać szukane równanie różniczkowe możemy zróżniczkować obusronnie posać różniczkowocałkową: di di () Emωcos ω ψe = i d d i. () 9 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

30 Teoria Obwodów di di Emω cos( ω ψe ) = i d d Swierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o sałych współczynnikach. Szukane rozwiązanie j. prąd płynący przez cewkę i w sanie nieusalonym zawierał będzie zarówno składową przejściową jak i składową przejściową: () () ON = SN OJ i = i i 4., analiza obwodu w sanie usalonym po komuacji (przyszłość obwodu) składowa usalona odpowiedzi (składowa wymuszona) i() u i u ( ) u p I u jx -jx u u () u u () u u () e()=e m sin(ωψ e ) Zapis symboliczny E U u U u U u ( ) ω z = ω, ϕ = arcg ω ω E jψ e m iu() = Ium sin( ω ψiu) = sin( ω ψe ϕ) E Ee E j( ψ e ϕ ) z Iu = = = e jϕ z ze z Powró z zapisu symbolicznego 3 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

31 Teoria Obwodów ip 5. >, składowa przejściowa (swobodna) ównanie jednorodne Wielomian charakerysyczny dip dip = i d d V ( λ) = λ λ p () Pierwiaski wielomianu charakerysycznego λ = = α β λ = = α β gdzie: α =, β = Δ = = α ωr, ωr = 3 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

32 Δ > Teoria Obwodów λ, λ 5.. Przypadek :, dwa różne pierwiaski rzeczywise, =, > λ λ ip Ae Ae Przewidywana posać składowej przejściowej λ = = α β oraz λ ( α β) ( α β) i = A e A e, > () p = = α β W odróżnieniu do obwodów I rzędu do wyznaczenia są dwie sałe A, A >. Nie wysarczy zaem jedno równanie dla warunków począkowych. Drugie równanie orzymamy adapując równanie na warunki począkowe w formie pochodnych. = p u () dip () () i i i di diu = d d d W szczególności dla = :, gdzie: di di p E λ λ u mω = Aλe Aλe, = cos( ω ψe ϕ), d d z Em i = ip iu = A A sin( ψe ϕ) z di( ) dip( ) diu( ) Emω = = Aλ Aλ cos( ψe ϕ) d d d z 3 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

33 Przy czym z warunków począkowych Teoria Obwodów E sin( ψ ) i = di = d m e Osaecznie układ równań do znalezienia sałych przyjmie posać: Em = A A sin( ψe ϕ) z Em sin( ψ e) Emω = Aλ Aλ cos( ψe ϕ) z Po przekszałceniach szukane sałe : A ( ψ ) ( ψ ϕ) ( α β) ( ψ ϕ) ( ψ ) ( ψ ϕ) ( α β) ( ψ ϕ) m m m sin cos sin A = = Em ωem Em sin cos sin z z β E ωe E z z β 33 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

34 Teoria Obwodów () sh( β ) ch( β ) i = A e A e = A A A A e λ λ α p gdzie: α =, β = Δ = E i u () = m ( ) e z sin ω ψ ϕ 6.. Przypadek : Osaecznie prąd w omawianym obwodzie zawiera zarówno składową przejściową jak i usaloną: i = i i, dla> p u 34 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

35 Teoria Obwodów Przykład przebiegu sanu przejściowego w obwodzie załączanym na napięcie sinusoidalne dla przypadku, Δ >, > - charaker aperiodyczny (nieokresowy) Dane: = 3 Ω, =. H, = μf = -5 F ω = 5 s -, e = 3 sin( 5 ϕ ) czyli: ω r = s > = Ω 3, 3 α = = 5s. (. ) β = 5 = 5 5s 8s 3 6 λ = = s 68s λ = = s 38s UWAGA: Dla uproszczenia obliczeń dobrano ψ e = ϕ ϕ = arcg. 46[ rad ] i() i () p i () u [ s ] i () = e e sin( 5) = = e e 5 sin( 5) A Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

36 Teoria Obwodów 5.. Przypadek : Δ =, jeden rzeczywisy pierwiasek podwójny λ, k =, λ = λ Przewidywana posać składowej przejściowej ip = Ae Ae, > λ = λ = λ = β = Δ = = λ λ p() i = A e A e = A e A e, > Podobnie jak w przypadku pierwszym pełna posać składowej przejściowej wymaga wyznaczenia dwóch sały A, A. = p u () dip () () i i i di diu = d d d diu () Emω = cos( ω ψe ϕ) d z, przy czym di = A λe A e A λe ; p λ λ λ d 36 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

37 W szczególności dla = : Teoria Obwodów Em i = ip iu = A sin( ψe ϕ) z di( ) dip( ) diu( ) Emω = = Aλ Aλ cos( ψe ϕ) d d d z Osaecznie układ równań do znalezienia sałych przyjmie posać: Em = A sin( ψe ϕ) z Em sin( ψ e) Emω = Aλ A cos( ψe ϕ) z Em A = sin( ψe ϕ) z E Z sin m ( ψ e) ωcos( ψe ϕ) sin( ψe ϕ) A = Z gdzie E sin( ψ ) i = di = d λ λ ip = Ae Ae, > E iu z m () = sin( ω ψ ϕ) 6.. Przypadek : Osaecznie prąd w omawianym obwodzie zawiera zarówno składową przejściową jak i usaloną: i = i i, dla > p u ; e m e 37 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

38 Teoria Obwodów Przykład przebiegu sanu przejściowego w obwodzie załączanym na napięcie sinusoidalne dla przypadku, Δ =, = - charaker aperiodyczny granicznie (graniczny) Dane: = Ω, =. H, = μf = -5 F - ω = 5 s, czyli: ω r = s = sin( ϕ ) e 3 5 = = Ω, β = 3, λ = α = = s. 3 UWAGA: Dla uproszczenia obliczeń dobrano 3 ϕ = arc g = [ rad ] Z = 5 = 5 5. Ω 5 ψ e = ϕ i() i () p i () u -. [ s ] i() = sin ( 5) e =. sin( 5 ) e A Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

39 Δ < Teoria Obwodów λ, λ ; λ = λ * 5.3. Przypadek 3:, dwa pierwiaski zespolone sprzężone =, > λ λ ip Ae Ae Przewidywana posać składowej przejściowej λ = = α β oraz λ = = α β, przy czym β jes urojona. Jeśli zapiszemy pierwiaski w jawnej posaci zespolonej: λ = α β = α Δ = α j Δ oraz λ = α β = α Δ = α j Δ Δ = = α ωr = ω λ = α jω ; λ = α jω gdzie:. Sąd pierwiaski Podobnie jak dla przypadku pierwszego szukamy z układu równań: = p u () dip () () i i i di diu = d d d, gdzie: < di di p E λ λ u mω = Aλe Aλe, = cos( ω ψe ϕ), d d z 39 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

40 W szczególności dla = : Teoria Obwodów Em i = ip iu = A A sin( ψe ϕ) z di( ) dip( ) diu( ) Emω = = Aλ Aλ cos( ψe ϕ) d d d z Em ωem Em sin( ψ ) cos( ψ ϕ) ( α β) sin( ψ ϕ) A z z = β Em ωem Em sin( ψ ) cos( ψ ϕ) ( α β) sin( ψ ϕ) A z z = β Em iu() = ( e ) z sin ω ψ ϕ α ip() = ( A A) j sin( ω ) ( A A) cos ( ω ) e 6.3. Przypadek 3: Osaecznie prąd w omawianym obwodzie zawiera zarówno składową przejściową jak i usaloną: i = i i, dla > p u 4 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

41 Teoria Obwodów Przykład przebiegu sanu przejściowego w obwodzie załączanym na napięcie sinusoidalne dla przypadku 3, = Ω, =. H, = μf = -5 F, ω = s, e 3 sin( ϕ ) ω r s α 3 r = = s ; = ; ω ω = s s ω ;(, ω << ω r ) 6 Z = Ω Δ <, < - charaker periodyczny (oscylacyjny) ( α, ω << ω ) i() = i () i () u p r [ s ] i() sin e sin ( ) 33 sin e sin ( ) A 99 4 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

42 Teoria Obwodów Przykład przebiegu sanu przejściowego w obwodzie załączanym na napięcie sinusoidalne dla przypadku 3, = Ω, =. H, = μf = -5 F ; ω = 9s, e = 3 sin( 9 ϕ ); 3 ωr ω r = s. ;, ω ω α = s, ω = s s ω ( r ) 6 Z = Ω 9 Δ <, < - charaker periodyczny (oscylacyjny) ( α, ω ω ) r i() = i u() i p() [ s ] i() sin( 9) e sin ( ). 4 sin ( 9). e sin ( ) A. 9 4 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski

43 Teoria Obwodów Przykład przebiegu sanu przejściowego w obwodzie załączanym na napięcie sinusoidalne dla przypadku 3, = Ω, =. H, = μf = -5 F; ω 3 s 3 =, e() = 3 sin( ) ω r s ω 3 r = Z = ; α ω = s ; 6 = s s ; ω = ;(, ω = ωr ) Δ <, < - charaker periodyczny (oscylacyjny) ( α, ω = ω ) i() = i u () i p() r [ s ].5 sin i 5 e A 43 Współauor kursu: dr inż. Pior uczewski