Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Transkrypt

1 Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając całą masę ciała w jego środku masy, korzysając z zależności p = v dm = v dm = mv ( m) ( m). Zasada pędu i popędu ciała ma posać jak dla punku maerialnego (cała masa skupiona jes w środku masy), przy czym popęd obliczamy dla siły zredukowanej do środka masy ciała.

2 Krę ciała w ruchu posępowym, względem nieruchomego punku jes równy K = r mv, gdzie: r wekor promień o począku w punkcie i końcu w środku masy ciała, v prędkość ciała (jednakowa dla wszyskich punków ciała), m masa ciała. mv K r Krę bryły w ruchu posępowym Zasada kręu, kręu i pokręu oraz zasada zachowania kręu. Dla ruchu posępowego bryły słuszne są zasady kręu, kręu i pokręu oraz zasada zachowania kręu, kóre możemy sformułować w posaci nasępujących wierdzeń. Twierdzenie Pochodna względem czasu kręu ciała, względem punku, jes równa momenowi sił zewnęrznych działających na o ciało względem ego samego punku K & = M.

3 Równanie o możemy eż przedsawić w posaci K K = M d. (4.69) Twierdzenie Pokrę sił zewnęrznych względem punku działających na ciało jes równy przyrosowi kręu ego ciała Twierdzenie 3 Jeżeli momen sił zewnęrznych działających na ciało względem punku jes równy zero, o krę ego ciała względem punku nie może ulec zmianie K = cons. (4.70)

4 Zasada energii i pracy. Energię kineyczną bryły w ruchu posępowym możemy obliczyć, określając najpierw energię kineyczną masy elemenarnej a) dm v b) or W dr Bryła w ruchu posępowym: a) określanie energii kineycznej, b) określanie pracy sił przyłożonych do bryły de = dmv, kóra po scałkowaniu E = de, ( m) daje energię kineyczną bryły w ruchu posępowym mv E =, gdzie: m masa ciała, v prędkość punku ciała (jednakowa dla wszyskich punków). Pracę sił przyłożonych do ciała poruszającego się ruchem posępowym możemy obliczyć określając najpierw pracę elemenarną skąd dl = W dr, r r L = dl.

5 Twierdzenie Przyros energii kineycznej przy przemieszczaniu ciała z jednego położenia w drugie jes równy pracy wszyskich sił zewnęrznych działających na o ciało E = E E = L,, gdzie: E energia kineyczna ciała w położeniu począkowym, E energia kineyczna ciała w położeniu końcowym, L, praca sił zewnęrznych, wykonana na drodze od położenia począkowego do końcowego ciała. Różniczkową posać zasady energii orzymamy przez zróżniczkowanie powyższego względem czasu E & = N, gdzie: E energia kineyczna bryły, N dl d = moc. Twierdzenie Moc wszyskich sił zewnęrznych działających na ciało jes równa pochodnej energii kineycznej względem czasu.

6 Jeżeli pracę wykonują ylko siły poencjalne (np. siły ciężkości, siły w sprężynach), o zasadę energii i pracy możemy podać w posaci zasady zachowania energii poencjalnej E + V = cons. Twierdzenie Suma energii kineycznej i poencjalnej sił zewnęrznych ciała w ruchu posępowym jes wielkością sałą.

7 Ruch obroowy bryły z M z n ρ a n dm a da n ω da ε Dynamika ruchu obroowego bryły Zasada d Alembera. Sosowana jes w przypadkach, gdy chcemy określić: a) reakcje dynamiczne łożysk, b) położenie elemenów wirujących, c) siły wewnęrzne w elemenach wirujących.

8 Zasada kręu i pokręu. Równanie ruchu obroowego przekszałcamy do posaci d ( J zω ) = M z, d a po scałkowaniu J ω z d( J zω ) = M zd, J ω z orzymujemy J ω J ω M d =, z z z gdzie: J zω krę bryły, M zd pokrę. Twierdzenie Przyros kręu ciała maerialnego w przedziale czasu <, > równa się impulsowi momenu sił (pokręowi) działających na o ciało w ym okresie czasu.

9 Zasada energii i pracy. Przekszałcając z kolei równanie ruchu obroowego nasępująco J z d d ω = M z dϕ, co możemy dalej zapisać przyjmuje posać dϕ J z d ω = J z ω d ω = M zd ϕ d, po scałkowaniu ω ϕ J zωdω = M zdϕ, ω ϕ E E = L,, gdzie: E J z ω = energia kineyczna bryły w ruchu obroowym, bryłę będące w ruchu obroowym na drodze od ϕ do ϕ. L ϕ = M dϕ praca par sił (momenów) działających na, z ϕ Różniczkowa posać zasady energii. Po zróżniczkowaniu względem czasu powyższego równania orzymujemy E & = N, gdzie: & = J zωε pochodna energii kineycznej względem czasu, N z E = M ω moc momenu działającego na bryłę.

10 Ruch płaski bryły ε ω y M a α W y x x Dynamika ruchu płaskiego bryły Zasada d Alembera. Analizę dynamiki ruchu płaskiego można sprowadzić do zagadnienia sayki, jeżeli do ciała przyłożymy zarówno siłę jak i momen d Alembera. Siła a, podobnie jak dla punku maerialnego, przyłożona w środku masy jes równa A = ma, naomias momen M A = J ε. Zgodnie z zasadą d Alembera powyższe równania ruchu płaskiego możemy zapisać: W M + A = 0, + M = 0. A

11 Zasada energii i pracy. Energia kineyczna ciała w ruchu płaskim jes sumą energii ruchu posępowego środka masy i ruchu obroowego bryły względem osi przechodzącej przez środek masy v E = m + J ω. Z kolei praca wykonana przez siły i momeny przyłożone do ciała, zredukowane do jego środka masy, jes sumą, s ϕ ϕ, s ϕ L = W ds + M d gdzie: s, s droga przebya przez środek masy ciała, ϕ, ϕ ką obrou ciała. Twierdzenie Zmiana energii kineycznej ciała może być dokonana ylko koszem dosarczonej pracy. Twierdzenie o, sanowiące zasadę energii i pracy, zapisujmy E E = L,.

12 Zasada kręu i pokręu. Krę ciała będącego w ruchu płaskim względem dowolnego, nieruchomego punku, jes równy gdzie: K = K + r mv, K krę ciała względem środka masy, v prędkość środka masy ciała, m masa. r wekor a począku w punkcie i końcu w środku masy ciała, v r K Krę bryły w ruchu płaskim Pochodna względem czasu wekora kręu ciała jes równa sumie momenów sił zewnęrznych działających na o ciało n K & = M = M. i i= Twierdzenie Suma pokręów sił zewnęrznych względem punku jes równa przyrosowi kręu ciała. Twierdzenie o, sanowiące zasadę kręu i pokręu, zapisujemy =. K K M d

13 bliczanie reakcji dynamicznych łożysk Do obliczania reakcji dynamicznych łożysk w ruchu obroowym bryły sosujemy zasadę d Alembera: l B x z x da ρ α da n B y A x ω ε z y α x dm A y y kreślanie reakcji dynamicznych łożysk bryły ruchu obroowym W przypadku obliczania reakcji dynamicznych łożysk (rys. 4.7) warunki równowagi bryły są nasępujące: A x + B x + da n sinα + da cosα = 0, B y l + zda n cosα zda sinα = 0, A y + B y + da n cosα da sinα = 0, B x l + zda n sinα + zda cosα = 0, gdzie: dan = dmρω, da = dm ερ, a ponado: ρ sinα = x, ρ cosα = y. (4.79)

14 Po podsawieniu (4.79) do (4.78) orzymujemy: Ax + Bx + ω xdm + ε ydm = 0, Ay + By + ω ydm ε xdm = 0, + ω ε = 0 Byl yzdm xzdm, (4.80) Bxl + ω xzdm + ε yzdm = 0, a po skorzysaniu z zależności: xdm = x m, ( ) m ydm = y m, ( m) xzdm = D xz, (4.8) ( m) yzdm = D yz, ( m) orzymujemy: x x ω ε y y ω ε A + B = x m y m, A + B = y m + x m, y ω yz ε xz B l = D + D. (4.8) x ω xz ε yz B l = D D,

15 Z powyższych równań wynika, że reakcje dynamiczne w łożyskach będą równe zero, gdy spełnione będą dwa warunki: ) środek masy leży na osi obrou bryły (x = y = 0) ) oś obrou jes jedną z głównych osi bezwładności obracającej się bryły (D xz = D yz = 0). Wirnik, w kórym spełnione są e warunki nazywamy wyrównoważonym.