ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

Transkrypt

1 ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna poruszającego się ciała zamieniając się w energię wewnęrzną ośrodka w kórym porusza się ciało oraz w energię wewnęrzną ciała poruszającego się Sray energeyczne zależą od rodzaju ośrodka oraz od kszału ciała uczesniczącego w ruchu Ciało w ośrodku rzeczywisym porusza się ruchem drgającym nieswobodnym Doznaje zaem oporów ruchu Siła oporu ośrodka zależy od prędkości poruszającego się ciała Dla małych prędkości możemy uważać że siła oporu F ~ V w posaci równania F - b V gdzie: b - jes współczynnikiem oporu zależnym od kszałów ciała i rodzaju ośrodka Znak minus oznacza że siła oporu jes zawsze przeciwna względem wekora prędkości Warość liczbowa b równa jes sile działającej na ciało poruszające się z jednoskową prędkością Różniczkowe równanie ruchu ciała drgającego w ośrodku sawiającym opór możemy zapisać w posaci m d x b dx kx d d dx V gdzie: d Po uporządkowaniu d x b dx d + k m d + m x b Oznaczając m k oraz m ω orzymamy równanie: d x dx + + ω x d d /1/ Jes o jednorodne różniczkowe równanie drugiego rzędu o sałych współczynnikach Charaker rozwiązania ego równania zależy od warości współczynnika Przypuśćmy że całką szczególną równania jes wyrażenie x e α // Aby wyznaczyć współczynnik α należy całkę // po zróżniczkowaniu odpowiednio podsawić do równania /1/ Orzymamy wówczas: Ćwiczenie 7 1

2 Sąd ławo zauważyć że α α α α e + αe + ω e α + α + ω /3/ jes równaniem charakerysycznym Jeżeli wyróżnik równania charakerysycznego jes większy od zera wówczas mamy do czynienia z ruchem aperiodycznym Rozwiązanie ogólne α 1 x Ae α + Be gdzie: α + + ω 1 i α ω + ω ω x e ( Ae + Be ) /4/ Sałe A i B wyznaczamy z warunków począkowych np: dla żądamy aby: x i V V /5/ Zauważmy że V dx d zaem V e Ae + Be + e A e B ω ω ω ω ω ω e Nakładając warunki /5/ w równaniach /4/ i powyższym orzymujemy układ równań algebraicznych: A + B ( A + B) + ω ( A B) V kóre rozwiązujemy względem sałych A i B Po prosych przekszałceniach dosajemy: 1 V 1 V A B ω i ω Osaecznie kinemayczne równanie ruchu /4/ da się zapisać w posaci 1 V x e ( e e ) ω ω ω /7/ V x e sinh( ω ) ω Jeżeli wyróżnik równania /3/ jes mniejszy od zera zn ω o i ω możemy zapisać gdzie ω a i jes jednoską urojoną i 1 Przyjmując że w chwili począkowej ciało znajdowało się w położeniu równowagi i poruszało się z prędkością V (co odpowiada warunkom Ćwiczenie 7

3 /5/) rozwiązanie równania /1/ orzymujemy w posaci /7/ dokonując w nim podsawień ω i ω Zaem 1 V x e ( e e ) i i ω ω i ω po wykorzysaniu wzoru Eulera V x e sin( ω ) ω /8/ Jeżeli wyróżnik równania /3/ wówczas rozwiązanie możemy zapisać w posaci α x e ( A + B ) /9/ gdzie: α - dx V e ( A + B ) + B e Obliczając d oraz nakładając warunki /5/ orzymamy układ równań algebraicznych względem sałych A B : A B V Co pozwala zapisać rozwiązanie /9/ w posaci x V e /1/ Rozwiązanie /1/ odpowiada zw przypadkowi granicznemu kiedy o ciało wykonuje wychylenie z kórego powró do sanu równowagi zmienia się w zależności od czasu jak funkcja wykładnicza Najbardziej ineresującym nas przypadkiem jes przypadek opisany rozwiązaniem /8/ Odpowiada on drganiom periodycznym o malejącej wykładniczo ampliudzie V A e ω /11/ A A e Szybkość zaniku drgań zależy od warości współczynnika Wykres wychylenia w funkcji czasu (parz równanie 9) przedsawia rysunek poniżej Ćwiczenie 7 3

4 Niech A N i A N+1 oznaczają kolejno po sobie nasające ampliudy wyrażające się odpowiednio wzorami: Ae i ( + T ) + 1 Ae gdzie: T - okres drgań T e ln A N T D o + 1 i + 1 gdzie: D - nazywamy dekremenem łumienia Współczynnik łumienia obliczamy ze wzoru D T ale b m ; md b sąd T /1/ Logarymiczny dekremen łumienia obliczyć można z dwóch dowolnych lecz ściśle określonych w czasie ampliud np ampliudy A N i A N+k gdzie k jes liczbą nauralną związaną z czasem obserwacji i okresem drgań T wzorem kt l k 1 A l k 1 N + l + l kd ln ln Π ln l A l N + l l k W en sposób 1 D ln k + k /13/ Opis urządzenia pomiarowego Urządzenie pomiarowe składa się z wahadła grawiacyjnego z wymiennymi obciążnikami (ze wskazówką) zawieszonymi na dwóch długich słabo rozciągliwych nikach Podczas wahań wskazówka obciążnika przesuwa się na le regulowanej skali milimerowej Płaszczyzna drgań jes prosopadła do odpowiedniej płaszczyzny przekroju obciążnika Wychylenie wahadła na le skali obserwujemy przy pomocy soczewki dyfrakcyjnej Ćwiczenie 7 4

5 Przebieg pomiarów 1 Wahadło wprawiamy w drgania ściśle płaskie po uprzednim swierdzeniu że punk równowagi wahadła pokrywa się z zerem skali milimerowej Odczyujemy na podziałce (z ej samej srony położenia równowagi) kolejne ampliudy wykonując kilkanaście odczyów Pomiary powarzamy zaczynając zawsze od ej samej ampliudy począkowej 3 Sporządzamy wykres krzywej łumienia A N f 1 () odkładając na osiach układu ampliudę mierzoną w mm a czas w okresach 4 Sporządzamy wykres jak w punkcie 3 funkcji ln A N f () 5 Obliczamy logarymiczny dekremen łumienia Porzebne ampliudy odczyujemy z krzywej łumienia w różnych jej miejscach Obliczamy warość średnią logarymicznego dekremenu łumienia 6 Wyznaczamy średni okres drgań wahadła mierząc kilkakronie czas rwania n drgań (Liczbę n poda prowadzący zajęcia np n1) 7 Wyznaczamy masę wahadła na wadze laboraoryjnej 8 Obliczamy współczynnik oporu ze wzoru /1/ 9 Powarzamy pomiary dla wahadeł o innych kszałach 1Przeprowadzamy ocenę błędów 11Wyciągamy wnioski Ocena błędów 1 Błąd maksymalny przy pomiarze ampliudy określamy biorąc pod uwagę najmniejszą podziałkę skali oraz rozrzu punków pomiarowych na płaszczyźnie A Przy oszacowywaniu maksymalnego błędu pomiaru dekremenu korzysamy z meody różniczki zupełnej wykorzysując wzór /13/ 1 + A N + k D k + k 3 Błąd pomiaru okresu określamy z błędu pomiaru czasu obserwacji ( nt ) T n gdzie: n - liczba zaobserwowanych drgań ( nt ) - błąd zależny od najmniejszej działki sopera oraz przyjęego błędu reakcji uruchomienia i zarzymania sopera 4 Maksymalny błąd pomiaru współczynnika łumienia obliczamy meodą różniczkowania logarymicznego D T m b b + + D T m Ćwiczenie 7 5