( ) ( ) ( τ) ( t) = 0

Transkrypt

1 Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany prądów i napięć spowodowane pewnym paramerem: Mu ( )/Mx j, Mi ( )/Mx j, x j - jes paramerem elemenu, np. R, L, C, g m id. Twierdzenie Tellegena uogólnione na unkcje czasu: T T T T u ( ) i ( τ) = i ( ) u ( τ) = i ( τ) u( ) = u ( τ) i( ) = Brak izycznego znaczenia ych iloczynów. T i ( τ) u( ) = u T ( τ) i( ) = i τ u u i ( ) ( ) ( τ) ( ) = i ( τ) u ( ) u ( τ) i ( )= i ( τ) u ( ) u ( τ) i ( ) p p p p g g g g W szczególności równania e są słuszne dla czasu τ = -, gdzie jes chwilą, dla kórej wyznacza się u oraz i. Całka osaniego równania od = do = daje : [ i ( τ) u ( ) u ( τ) i ( ) d = p p p p τ = = [ i ( τ) u ( ) u ( τ) i ( ) d g g g g τ = W celu wyznaczenia ych całek naleŝy dokonać analizy czasowej układów ù i ù i obliczyć porzebne prądy i napięcia. Obwód oryginalny jes analizowany w czasie bieŝącym # #, [, obwód dołączony jes analizowany w czasie wsecznym # τ #, [, Prawa srona ego równania przedsawiona w posaci skalarnej: g [ ( ) ( ) ( ) ( ) τ = d k= 1 i τ u u τ i Wyznaczanie całek dla wybranych ypów gałęzi : Gałąź rezysancyjna u = R i, u (τ) = R i (τ) [ i τ u u ( τ) i( ) d = τ= τ= = i τ [ R i( ) i( ) R R i ( τ) i( ) d = = R [ i ( τ) i( ) d τ= - 21 K.M.Gawrylczyk

2 Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 2 Gałąź pojemnościowa i = dq/d, q = C u, i (τ) = dq (τ)/dτ, q (τ) = C u (τ); [ i τ u u ( τ) i( ) d = q = i τ u u ( τ ) d= τ= d = i τ u u ( τ) [ C u( ) u( ) C d= d d = i τ u u ( τ ) [ C u u C d d =υ υ υ τ= Warości kolejnych całek, poczynając od υ 3 wynoszą : du du υ = u ( τ ) C d C u ( τ ) d 3 = d τ= d τ= τ= τ= Całki υ 1 υ 2 oblicza się całkując przez części υ 2 : d u ( τ) υ1 υ2 = i ( τ ) u( ) C u( ) d ( u ( τ ) C u( ) τ= ) = dτ τ= = i ( τ ) u( ) - i ( τ) u( ) d C u u( ) Cu ( ) u = τ= = C u u( ) C u ( ) u Warunki pocz. na kondensaorach układu ù przyjmuje się zerowe: u c (τ) = dla τ =. Napięcie począkowe jes sałe, gdy inne paramery się zmieniają. Wedy u = i : [ i τ u u ( τ) i( ) d = C u ( τ ) d τ=. Dla gałęzi indukcyjnych wyprowadzenie jes dualne. du d τ= Dla lewej srony równania, związanej z niezaleŝnymi źródłami : - napięcie wyjściowe jes napięciem na niezaleŝnym źródle prądowym, - prąd wyjściowy jes prądem w niezaleŝnym źródle napięciowym. Pobudzenie układu ù wybierane jes ak, aby lewa srona równania zawierała ylko składnik będący zmianą szukanej wielkości w chwili =. Na ogół jes o impuls Diraca. Inne źródła niezaleŝne w ù są równe zeru. Na przykład : - chcąc obliczyć u p3 ( ) naleŝy przyjąć i p3 (τ) = δ(τ). Lewa srona jes wedy równa: ip τ up up τ ip i τ = p3 τ u p3 τ = up3 up3 δ [ ( ) ( ) ( ) ( ) d = ( ) d = ( ) ( )d = ( ). 21 K.M.Gawrylczyk

3 Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 3 SKŁADNIKI WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Typ Opis Składnik wraŝliwościowy elemenu elemenu [ i τ u u ( τ) i( ) d = R R R R R u R i R [ i ( τ ) i d = [ ( ) G G G G d q du C C i =, q = C u C u ( τ ) d C C C d d τ= G i G u G u τ u 2= 1 1= 2 1 = = τ= dφ di L L u L=, Φ = L il L il ( τ ) d d d τ= µ u µ u, i µ [ i ( τ ) u d β i β i, u - β [ u ( τ) i d τ= τ= τ= τ= d g m = = [ ( ) 2 m 1 1 m 2 1 i g u, u - g u τ u τ= d = m 2 m i1 = 1 m 2 1 τ= r u r, u r [ i ( τ ) i d = = T u n u, i n i n [ i ( τ ) u u ( τ ) i d τ= 21 K.M.Gawrylczyk

4 Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 4 Przykład W układzie na rysunku u C = 1V i u p1 = 3V. Wyznaczyć: Mu ( )/MR i Mu ( )/MC. Napięcie wyjściowe u zaznaczono na schemacie jako napięcie u p2 na niezaleŝnym źródle prądowym i p2 o zerowej wydajności prądowej. Rozwiązanie : 1. Analiza czasowa obwodu oryginalnego ù: 2 d u ( ) 2 C ir ( ) = e, uc( ) = 3 2e, = e. R d 2. Układ dołączony ù widoczny jes na rysunku po prawej sronie. 3. Analiza czasowa układu dołączonego ù : τ 1 1 ir ( τ ) = e, uc ( τ ) = e C 4. Składniki wraŝliwości według abeli : Dla R : Dla C : 5. τ R = R τ e e d e 2 R R C τ= C C τ e e d= e 2 C τ= ( ) e e 2 2 u = R C R C osaecznie orzymuje się : u ( ) 2 - = 2 e R R C u( ) 2 - = 2 e C Poprawność orzymanych wraŝliwości moŝna sprawdzić przez zróŝniczkowanie względem R i C wyraŝenia : u ( ) = 3 2e - 21 K.M.Gawrylczyk

5 PROCEDURA OBLICZANIA WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU 1. Analiza czasowa układu ù w przedziale czasu = [,. Wyznaczenie i, u dla gałęzi rezysancyjnych, du/d dla pojemnościowych i di/d dla indukcyjnych. 2. Uworzenie układu ù przy dwóch warunkach: - napięcia na C i prądy w L równają się zeru dla τ = oraz - wszyskie źródła niezaleŝne =, za wyjąkiem: i pk (τ)= δ(τ) gdy obliczane jes u pk ( ) lub u pk (τ)= δ(τ) gdy obliczane jes i pk ( ). 3. Analiza czasowa układu ù w przedziale τ = [,. Wyznaczenie i (τ), u (τ) dla gałęzi rezysancyjnych, u (τ) dla pojemnościowych oraz i (τ) dla indukcyjnych. Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu Wyznaczenie składników wraŝliwości na podsawie podanych równa½ i abeli. 5. Wyznaczenie Mu ( )/Mx j lub Mi ( )/Mx j dla małych zmian x j. Podsumowanie 1. Aby określić pochodne cząskowe wybranej wielkości względem wszyskich paramerów wysarczy dwukronie dokonać analizy czasowej układu ù w czasie bieŝącym i układu ù w czasie wsecznym. 2. Rozwiązanie dla układu ù musi być pamięane we wszyskich chwilach czasowych. Naomias warości z układu ù mogą być podsawiane na bieŝąco. 3. Do określenia Mu/M dla gałęzi pojemnościowych oraz Mi/M dla indukcyjnych moŝna zasosować meodę zmiennych sanu. 21 K.M.Gawrylczyk