DYNAMIKA KONSTRUKCJI

Transkrypt

1 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI DYNAMIKA KONSTRUKCJI Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej chwili. Jes o odwołanie do zasady d'lambera, kóra mówi, że dla układu będącego w ruchu równowaga musi być spełniona w każdej chwili konkrenej przesrzeni czasowej. Macierz M jes macierzą masową, macierz K - macierzą szywności. Macierz P jes macierzą określającą przyłożone do układu obciążenia zewnęrzne. Naomias C jes macierzą określającą łumienie układu. Macierz ą przyjmujemy najczęściej w posaci zw. łumienia proporcjonalnego (zależnego od macierzy K i M) w posaci C= 1 M K (10.) Współczynniki 1 i wyznaczamy na podsawie udziału poszczególnych posaci drgań własnych. Jeśli założymy warość łumienia i obciążenia zewnęrzne równe zero, orzymamy równanie M d Kd =0 (10.3) czyli problem drgań własnych układu. Idąc dalej, sosując podsawienie d =d 0 sin (10.4) i różniczkując dwukronie po czasie d = d 0 cos d = d 0 sin (10.5) orzymujemy warości, kóre podsawiamy do równania (10.3) i dosajemy K M d 0 =0 (10.6) Czyli równanie, kóre definiuje nam uogólniony problem własny. Równanie o ma n równań rzeczywisych w posaci par: warości własnej i odpowiadającego jej wekora własnego.

2 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.. Meody całkowania Jak wiemy równanie ruchu jes równaniem różniczkowym. Zasanówmy się zaem nad sposobami jego rozwiązywania. Ze względu na pewne własności macierzy K, M i C w analizie ruchu ciała przedsawionego przy pomocy elemenów skończonych zasadniczo sosujemy dwie meody: meodę całkowania bezpośredniego i meodę superpozycji modalnej Meody całkowania bezpośredniego Meody całkowania bezpośredniego są meodami jawnymi. Polegają ona na ym, że równanie ruchu jes całkowane krok po kroku. Równanie ma być spełnione ylko w wybranych chwilach, a nie w całym przedziale całkowania. Zakładamy, że w chwili =0 znane nam są przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia (czyli znamy d 0, d 0, d 0 ). Rozparujemy określony przedział czasowy (0,T), kóry dzielimy na n równych przedziałów, w kórych o poszukujemy naszych nieznanych wielkości. Rozważamy zaem chwile: 0,,,...,,,..., T (10.7) Zadanie polega na zbudowaniu algorymu, kóry pozwoli nam na obliczeniu poszukiwanych warości w danym kroku przy wykorzysaniu wyliczonych warości z kroku poprzedniego. W aki sposób orzymamy warości we wszyskich chwilach czasowych z przedziału (0,T) Pokażemy na przykładzie, ok posępowania przy rozwiązywaniu zadania z dynamiki przy pomocy jednej z najbardziej efekywnych meod z grona meod całkowania bezpośredniego, a mianowicie meodą różnic cenralnych. Zakładamy zmienność w czasie wekorów prędkości i przyspieszeń w posaci d 1 d d d 1 d d d (10.8) Jeśli podsawimy operaory różnicowe (10.8) do (10.1) orzymamy 1 d d d M 1 d d C Kd =P (10.9) Z równania (10.9) obliczamy poszukiwany san przemieszczeń w chwili czyli d.

3 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 3 Należy zwrócić uwagę, że rozwiązanie o orzymujemy na podsawie rozwiązania w chwili. Sąd eż meodę ę zaliczamy do meod jawnych (explicie). Dużą zaleą ego sposobu rozwiązywania równania (10.9) jes fak, iż nie musimy odwracać macierzy szywności. Należy zwrócić uwagę, że obliczanie wyników w kolejnych chwilach z wykorzysaniem wyników orzymanych w chwilach poprzednich wymaga przyjęcia pewnej procedury sarowej. Waro zaznaczyć, że zakładamy uaj, iż wekory d 0, d 0, d 0 są znane w chwili począkowej czyli w chwili =0. Sąd eż wykorzysując wzory (10.8) możemy wyznaczyć wekor przemieszczenia d w fikcyjnej chwili, kóra poprzedzać będzie począek ruchu czyli dla chwili : d =d 0 d 0 d 0, (10.10) Zaznaczmy, że meody jawne są ylko warunkowo sabilne, dlaego eż wymagane jes zasosowanie małych kroków całkowania przy obliczaniu kolejnych warości. Krok nie może być dowolnie duży, lecz musi spełniać poniższą zależność kr = T n, (10.11) gdzie T n jes najmniejszym okresem drgań układu Niespełnienie warunku (10.11) powoduje narasanie akumulację błędów całkowania i zaokrągleń w rakcie rozwiązywania równań ruchu. Algorym obliczeń dla meody całkowania jawnego: Obliczamy macierze K, C, M Nasępnie obliczamy d 0, d 0, d 0, Określamy sałe a 0 = 1 a 1 = 1 a = a 0 a 3 = 1 a (10.1) Obliczamy d =d 0 d 0 d 0 Wyznaczamy M M =a 0 M a 1 C (10.13) Triangularyzacja macierzy M przy pomocy wzoru M =L D L T (10.14)

4 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 4 Obliczenia dla każdego kroku: - wekora obciążenia efekywnego R R=R K a M d a 0 M a 1 C d (10.15) - rozwiązanie równania (10.9) dla chwili -obliczenie wekorów prędkości i przyspieszeń: L T DLd = R (10.16) d a 1 d d d a 0 d d d (10.17) W przypadku braku łumienia czyli gdy C=0, równanie (10.9) upraszczamy do posaci 1 M d = R (10.18) gdzie R=R K M d 1 M d (10.19) Jeśli w równaniu (10.18) macierz mas będzie diagonalna, wówczas rozwiązania orzymujemy poprzez wykonanie określonego wzorem (10.19) mnożenia i d = R i (10.0) m ii i gdzie d oraz i R będą oznaczać i-e składowe wekorów d i R, naomias m ii odnoszą się do i-ej składowej diagonalnej macierzy mas (należy jednakże spełnić założenie, że m ii 0. Zauważmy, że nie musimy znać macierzy globalnych (zarówno macierzy szywności K jak i macierzy mas M). Dzieje się ak dlaego, bo nie rozwiązujemy układu równań liniowych. Macierze K i M mogą być określone na poziomie elemenów. Wśród meod całkowania jawnego możemy wymienić, oprócz meody różnic cenralnych, między innymi meodę Houbola, Wilsona i Newmarka. Meody e, pod warunkiem przyjęcia pewnych warości współczynników charakerysycznych dla danej meody, należą do meod bezwarunkowo sabilnych.

5 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI Meody superpozycji modalnej Równanie ruchu ma posać: M d C d Kd =P (10.1) M d C d Kd =P (10.) d = d [ 1 d d ] (10.3) d =d d [ 1 d d ] ℵ (10.4), - paramery przyjmowane na podsawie rozwiązań doyczących dokładności i sabilności orzymanych rozwiązań = 1 6 = 1 Rozwiązując ℵ względem d orzymamy: d = 1 [ d d d 1 ] d (10.5) ḋ = d d 1 d 1 d (10.6) 1 [ d d d 1 ] d M =P (10.7) i ḋ Z równania ego obliczamy niewiadomy wekor przemieszczeń d i podsawiamy do d Jeśli liczba kroków i liczba sopni swobody układu jes duża, wówczas efekywność obliczeń meodami całkowania bezpośredniego jes niesaysfakcjonująca. Należy wedy posłużyć się innymi meodami - meodami niejawnymi (implicie), do kórych można zaliczyć meodę superpozycji modalnej. Należy uaj dokonać przekszałcenia równania równowagi (10.1) do posaci, kóra będzie wymagała od nas mniejszego nakładu pracy.

6 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 6 Dokonajmy akiego przekszałcenia wykorzysując rozwiązanie problemu drgań własnych (a więc pomijamy obciążenie zewnęrzne i łumienie) M d K d =0 (10.8) Rozwiązaniem równania (10.8) jes n par i, i, czyli macierze i w posaci =[ 1... ], n =[ 1... n ] (10.9) Spełniony jes uaj zw. warunek M-orogonalności wekorów własnych T M =1 (10.30) oraz warunek T K = (10.31) Dokonajmy ransformacji równania (10.1) sosując podsawienie d = X (10.3) Orzymujemy w en sposób równanie ruchu M Ẍ C Ẋ K X =P (10.33) Nasępnie przemnażamy lewosronnie przez T i orzymujemy T M Ẍ T C Ẋ T K X = T P (10.34) Jeśli weźmiemy pod uwagę warunki (10.31) i (10.3) dosaniemy osaecznie

7 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 7 Ẍ T C Ẋ X = T P (10.35) Uzupełniamy równanie (10.34) warunkami począkowymi X 0 = T M d 0 (10.36) X 0 = T M d 0 Z równania (10.34) wynika, że jeżeli przyjmiemy macierz łumienia równą zero zn. pominiemy człon T C Ẋ o orzymamy układ równań rozprzężony co możemy zapisać jako n równań skalarnych posaci Ẍ X = T P, (10.37) gdzie ẍ i i x i =r i, (10.38) Warunki począkowe orzymujemy z (10.36) r i = i T P (10.39) x i0 = i T M d 0, x i0 = T i M d 0, (10.40) Zaznaczmy, że rozwiązanie równań (10.38) możemy prowadzić przy wykorzysaniu meod całkowania bezpośredniego lub przy wykorzysaniu zw. całki Duhamela x i = 1 i o r i sin i d i sin i i cos i (10.41) sałe i i i wyznaczamy z warunków poczakowych (10.40) W naszym zadaniu po rozwiązaniu n równań musimy powrócić do ransformacji (10.3). Orzymamy wówczas osaeczne rozwiązanie n d = i x i (10.4) i=1

8 m 1 x 1 m x 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI Przykłady Równanie równowagi dynamicznej każdego punku w każdej chwili: [M ][ d ] [C ][ d ] [ K ][d ]=[ p ] (10.43) Rozwiązanie ego równania mówi nam, jak dany elemen przemieścił się w każdej chwili. Przykłady: k 1 k 1 p 1 k k p k 3 k 3 m 3 x3 p 3 Rys Przykład 1

9 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 9 x 1 x x 3 k 1 k k 3 p 1 p p 3 c 1 c c 3 łumik Rys Przykład Równanie równowagi zapisane macierzowo: [k1 k k 0 c k k k 3 k 3 x c c c 3 c 3 x 0 m 0 x ]{x1 ]{ẋ1 0 k 3 k 3 x 3} [c1 c 0 c 3 c 3 ẋ 3} [m1 0 0 m 3]{ẍ1 P ẍ 3}={P1 3} P (10.44) [ K ]{x} [C ]{ẋ} [M ]{ẍ}={p} Przykład obliczeniowy: x 1 x k 1 =k k =k m 1 =m m = m Q()=0 [ 3 k k k k ]{ x 1 x } [ m 0 0 m]{ẍ1 x } = { 0 0} (10.45) X 1 =A 1 sin (10.46) X =A sin (10.47) Obliczamy drugą pochodną po czasie wyrażeń i X 1 = A 1 sin (10.48)

10 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10 X = A sin (10.49) i podsawiamy do równania 10.45, orzymując k[ 3 ]{ A 1 A } m [ ]{ A 1 A } = { 0 0} (10.50) Podsawiamy = m k : [ 3 ]{ A 1 A } { = 0 (10.51) 0} Przykładowa posać rozwiązania: 1 =0,673 =3,730 A 1 =0,73 A A 1 =,735 A (10.5) I posać: 0,73 1, Eksremalna warość własna [ A] [ B ] [ X ]={0} (10.53) [ A] [ X ]= [ B ][ X ] /[ B ] 1 (10.54) [C ] [ I ] [ B ] 1 [ A] [ X ]= [ B ] 1 [ B ] [ X ] (10.55) Orzymujemy: [C ][ X ]= [ X ] (10.56)

11 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 11 [C ][ X i ]=[ X i 1 ]= [ X i 1 ] (10.57) Dokonujemy ieracji: [C ][ X 0 ]=[ X 1 ]= 1 [ X 1 ] [C ][ X 1 ]=[ X ]= [ X ] [C ][ X k 1 ]=[ X k ]= [ X k ] (10.58) Przykład: [ ][ 5 n] l [ m = ][ n] l m (10.59) 0 0 ieracje i=0: [ ]{ 0 0 l}0 ={ }i =30 { 0,166 0,300 1,000}l (10.60) i=1: [ ]{ 0,166 0,300 l,000} { 11,780 = 18,996 35,530} { 0,35 =35,59 0,566 (10.61) 1,000} Nasępne ieracje powarzamy do momenu, kiedy orzymane warości będą zbliżone: [ ]{ 0,766 1,000 0,98} { 0,78 =43,49 1,00 (10.6) 0,97}

12 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI Dynamika konsrukcji W przypadku dynamiki konsrukcji macierz mas wyrażona za pomocą funkcji kszału i gęsości jes posaci: M = e e N T e N e dv e (10.63) V