Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Transkrypt

1 Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek między ruchem, a siłami go powodującymi. Ruch ciała zmiana położenia w przestrzeni, względem innego ciała, które traktujemy jako nieruchome.

2 odstawowe pojęcia rzestrzeń i czas; Współrzędne; Tor ruchu; Ruch postępowy: rędkość; rzyspieszenie; Ruch obrotowy: rędkość kątowa; rzyspieszenie kątowe. 3 Równania ruchu Wektor wodzący poruszającego się punktu: r r t Funkcje skalarne opisujące ruch punktu: z t y y t z z t r i jykz i k r t y j z y 4

3 Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Równanie opisujące ruch punktu, gdy znany jest tor ruchu względem nieruchomego położenia początkowego : s s t z st y 5 rędkość w ruchu prostoliniowym W ruchu jednostajnym: t W dowolnym ruchu prostoliniowym: rędkość średnia: rędkość chwilowa: 1 sr t d lim t t 6

4 rędkość w ruchu krzywoliniowym (1) rędkość punktu: Wektor o module równym wartości bezwzględnej pochodnej drogi po czasie, skierowany wzdłuż stycznej do toru ruchu i o zwrocie w kierunku ruchu w danej z chwili. s ds lim t t y 7 rędkość w ruchu krzywoliniowym () Składowe prędkości w układzie współrzędnych równe są pochodnym po czasie odpowiednich współrzędnych: d y dy y z dz z Moduł prędkości (wartość liczbowa): ds y z y z Rzut prędkości punktu na oś układu współrzędnych równy jest prędkości z jaką porusza się rzut punktu wzdłuż osi. 8

5 rędkość w ruchu krzywoliniowym (3) W układzie współrzędnych prostokątnych rzuty prędkości punktu są prędkościami rzutów wektora wodzącego r. rędkość punktu równa jest pochodnej geometrycznej względem czasu promienia wodzącego tego punktu: dr dr ds ds r t t ds 9 rzyspieszenie punktu ierwsza pochodna prędkości względem czasu: d d r a r Składowe w układzie kartezjańskim można wyrazić jako drugie pochodne współrzędnych: a a a y z y z a a a a y z y z 1

6 rzyspieszenie styczne i normalne do toru ruchu Całkowite przyspieszenie punktu jest równe sumie składowych stycznej i normalnej do toru ruchu: d aat an t n d t n a a a a n n t a a t 11 Składowe przyspieszenia w ruchu po torze kołowym rędkość w zależności od prędkości kątowej: romień krzywizny: r Składowe przyspieszenia: d d at r r an r rzyspieszenie kątowe: r r d a t a n at r d d 1

7 Szczególne przypadki ruchu Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy; Ruch harmoniczny; Ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem. 13 Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy Ruch po prostej ze stałym co do wartości i kierunku przyspieszeniem: rędkość: atc1 ołożenie punktu: at Ct 1 C Warunki brzegowe: t ( ) ( t ) C1 C Stałe całkowania: Równanie ruchu: Równanie prędkości: at t t at a a const t 14

8 Ruch harmoniczny unkt poruszający się jednostajnie po okręgu o promieniu r: T t Ruch rzutu punktu po osi : rcos rcost d rsin t d a r cos t r 15 Ruch harmoniczny Wykresy położenia, prędkości i przyspieszenia: 16

9 Ruch ciała sztywnego Ciało sztywne układ punktów materialnych, których wzajemne odległości pozostają niezmienne. Ruch postępowy; Ruch obrotowy; Złożenie ruchów: Ruch płaski; Ruch kulisty. 17 Ruch postępowy ciała sztywnego W ruchu postępowym prędkości i przyspieszenia wszystkich punktów ciała są jednakowe. unkty ciała poruszają się po jednakowych równolegle przesuniętych torach. C C A B C A B A B p p p A B C 18

10 Ruch obrotowy ciała sztywnego Ruch obrotowy wokół nieruchomej osi obrotu (środka obrotu w ruchu płaskim). Torami punktów ciała są okręgi w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu i środkach leżących na tej osi. 19 Ruch obrotowy ciała sztywnego Równanie ruchu obrotowego ciała sztywnego: s r t rędkość ds d t liniowa: rędkość d t t kątowa: rzyspieszenie t kątowe: Składowe przyspieszenia liniowego: d d r r t d t d t at r r r an r r a a t n

11 Dynamika Dział mechaniki zajmujący się badaniem związków między ruchem punktów materialnych i ciał sztywnych oraz sił go wywołujących. Dynamika bada zależności między takimi wielkościami jak: siła, przyspieszenie, prędkość, pęd, kręt, praca, energia itd. 1 ierwsza zasada dynamiki Newtona rawo bezwładności: Z punktu widzenia dynamiki jest wszystko jedno, czy ciało się porusza ruchem jednostajnym prostoliniowym, czy jest w spoczynku. W obu przypadkach siły działające na ciało są w równowadze. Można zawsze założyć istnienie nieruchomego układu odniesienia.

12 Druga zasada dynamiki Newtona od działaniem stałej siły punkt materialny porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym po linii prostej. rzyspieszenie z jakim porusza się punkt jest wprost proporcjonalne do działającej siły (wypadkowej układu sił), a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała. a m m a 3 Trzecia zasada dynamiki Newtona Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych równoważą się, tj. mają jednakowe moduły i kierunki, zaś zwroty przeciwne

13 Zasada superpozycji Efekt działania kilku wpływów na ciało można wyrazić jako sumę efektów ich działania. rzyspieszenie z jakim porusza się ciało pod wpływem układu sił (siły wypadkowej) może zostać obliczone jako suma przyspieszeń powodowanych przez każdą z sił składowych. ma ma1ma... man 1... n 5 rawo grawitacji Dwa ciała działają na siebie wzajemnie jednakowymi co do wartości i przeciwnie zwróconymi siłami o wartości odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległości między ich środkami i wprost proporcjonalnej do iloczynu mas tych ciał. G m m r 1 6

14 Równania ruchu punktu materialnego Dynamiczne równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego: d dr m m r m a Dynamiczne różniczkowe równania ruchu we współrzędnych prostokątnych: i m m a z i m z m a i iz y i m y m a iy 7 Skalarne równania ruchu Rzutowanie przyspieszenia na osie normalną, styczną i binormalną: m an m i in d m a m t it ma a b Wektor przyspieszenia całkowitego leży na płaszczyźnie ściśle stycznej do toru. i ib b i 8

15 ierwsze i drugie zadanie dynamiki ierwsze zadanie dynamiki: Dana jest masa i równania ruchu punktu materialnego, należy wyznaczyć siły działające na ten punkt; Drugie zadanie dynamiki: Dana jest masa i siły działające na punkt materialny, należy wyznaczyć równania ruchu tego punktu. 9 ierwsze zadanie dynamiki Równanie ruchu: ma m r Składowe wypadkowej we współrzędnych prostokątnych: m y my mz Wartość i kierunek wypadkowej: cos, y z i cos j, k y z cos, 3

16 Drugie zadanie dynamiki Ruch punktu pod działaniem siły: Stałej co do wartości i kierunku; const Zależnej od czasu; Zależnej od prędkości; Zależnej od położenia. t 31 Ruch pod działaniem stałej siły (1) Rzut ukośny: Równania ruchu: m my mg y ma Składowe przyspieszeń: a Składowe prędkości: C 1 t gt C Równania ruchu: 1 3 t Ct C y a y g mg ma gt yt C tc 4 3

17 Ruch pod działaniem stałej siły () Warunki brzegowe: ( t ) cos ( t ) sin y y t ( ) yt ( ) Stałe całkowania: C cos 1 y ma mg Równania prędkości: cos t gt sin Równania ruchu t tcos gt ma C sin C3 C4 y t sin t 33 Ruch pod działaniem siły zależnej od położenia Drgania liniowe: Różniczkowe równanie ruchu: k ma m k m Rozwiązanie ogólne: C sintc cost 1 asin t C1 acos m (Równanie ruchu harmonicznego prostego) C asin k m 34

18 Ruch nieswobodnego punktu materialnego W przypadku, gdy warunki zewnętrzne ograniczają swobodę ruchu, w równaniu ruchu należy uwzględnić także siły bierne (reakcje więzów): ma m r R Y X T N N G mg ma may y 35 Siła bezwładności Równanie ruchu: ma ma Siła bezwładności (d Alemberta d Alemberta): Bma Zasada d Alemberta: Siły rzeczywiste działające na punkt materialny równoważą się z siłą bezwładności tego punktu. B r m a a n const t a n r r B m 36