Charakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji

Transkrypt

1 Charakterstki geometrczne figur płaskich dr hab. inż. Tadeusz Chż Katedra Mechaniki Konstrukcji

2 Wielkości geometrczne charakterzujące przekrój pod względem wtrzmałościowm to: pole przekroju (A), (ang. cross section), moment statczne przekroju (S), (ang. first moments of area), moment bezwładności przekroju ( ), (ang. second moments of area) 2

3 Pole przekroju (figur płaskiej) określa się wzorami: A S da ddz Jest to wielkość zawsze dodatnia 3

4 Moment statczne przekroju (figur płaskiej) względem dowolnej osi leżącej w płaszczźnie tego przekroju określa się wzorami: S zda, S da A Są to wielkości addtwne, o wartościach dodatnich lub ujemnch z A 4

5 Moment statczne są potrzebne do obliczania współrzędnch środków geometrcznch (środków ciężkości) przekrojów: e da S S z A, ez Wniosek: moment statczn względem dowolnej osi centralnej (przechodzącej przez środek geometrczn przekroju, np. c, z c lub każda oś smetrii przekroju) jest równ zeru. A zda A A A A 5

6 6 W przpadku przekrojów złożonch z prostch figur geometrcznch, ze względu na addtwność momentów statcznch, można zastosować wzor uproszczone (sumowanie zamiast całkowania): S z A, S A in in i i z i i i1 i1 Ponadto: e in A in i i i i i1 i1, e i n z in A i i1 i1 z A A i 6

7 7

8 Biegunow moment bezwładności przekroju ( 0 ) (moment bezwładności przekroju względem punktu) oblicza się ze wzoru: 0 2 da A 8

9 9 Moment bezwładności przekroju względem osi (, z ) (moment osiowe) są zdefiniowane przez poniższe wzor: z da, da A 2 2 z A Moment bezwładności są wielkościami addtwnmi, mającmi zawsze wartości dodatnie; addtwnmi, tzn. np. = Promieniem bezwładności nazwa się wielkość zdefiniowaną następująco: i A, i z z A 9

10 10 Odśrodkow moment bezwładności przekroju ( z ) względem układu osi z (moment zboczenia, moment dewiacji) wraża się wzorem: z A zda Moment odśrodkowe są wielkościami addtwnmi, przjmującmi wartości dodatnie lub ujemne. Układ osi z, w którm moment odśrodkow równa się zeru nazwa się układem osi głównch; ab z =0 wstarcz, że jedna z osi jest osią smetrii przekroju, Układ osi głównch o początku w środku geometrcznm przekroju to układ głównch centralnch osi bezwładności 10

11 W przpadku równoległego przesunięcia układu osi do obliczania momentów bezwładności stosuje się twierdzenie Steinera. Wraża się ono wzorami: Ae, Ae, 2 2 z z z c c a dla momentów odśrodkowch: Ae e z czc z 11

12 12 Gd wstępuje obrót układu odniesienia wokół jego początku o kąt 12

13 13... wówczas słuszne są następujące zależności: cos sin sin z z α sin cos sin z z z α z α α z z cos 2 sin

14 Dla układu osi obróconch o kąt względem osi głównch g, z g powższe równania można też zapisać w następującej formie: z α α z α g g g g g g g g cos 2 α 2 2 z z z z 2 2 g zg sin 2 2 cos 2 14

15 15 Wniosek: prz obrocie układu odniesienia zawsze słuszne są zależności: z z 0 α α g g Wzor można przedstawić graficznie za pomocą tzw. koła Mohra. 15

16 Koło Mohra pozwala odcztać wartości momentów, z i z dla układu obróconego o dowoln kąt względem układu głównego, albo wartości ekstremalne momentów 16

17 17 Moment główne można teraz wrazić wzorami, które jednocześnie określają położenie osi głównch m aks g 2 2 z z 2 z m in z g 2 2 oraz: tg2 z z 2 z Wniosek: moment bezwładności względem osi głównch mają wartości ekstremalne 0 2 z z

18 18 Wartości charakterstk geometrcznch dla najprostszch przekrojów: prostokąt e z c h bh, 2 3 bh 3 3 3, 12 c 12 z hb 18

19 Wartości charakterstk geometrcznch dla najprostszch przekrojów: trójkąt e z c 3 h bh, 3 12 bh 3 3, z hb 36 c 48 19

20 Wartości charakterstk geometrcznch dla najprostszch przekrojów: koło 0 c 4 4 d r d r zc

21 Wartości charakterstk geometrcznch dla najprostszch przekrojów: półkole 1 r r z c r r r 4 r ez 0,11r c

22 22

23 23

24 24

25 25