y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

Transkrypt

1 Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,, n s a dane, a y j = y j (), j =, 2,, n, (a; b) R, s a szukane W noacji wekorowej uk lad równań () można zapisać y = y y 2 y n, y = y y 2 y n y = f(, y),, f(, y) = f (, y, y 2,, y n ) f 2 (, y, y 2,, y n ) f n (, y, y 2,, y n ) Uk lad funkcji (y (), y 2 (),, y n ()) różniczkowalnych w przedziale (a; b) nazywamy rozwi azaniem uk ladu () w ym przedziale, jeżeli zachodzi ożsamość y () = f (, y (), y 2 (),, y n ()) y 2() = f 2 (, y (), y 2 (),, y n ()) y n() = f n (, y (), y 2 (),, y n ()) dla każdego (a; b) Wykres rozwi azania uk ladu równań zn zbiór punków w przesrzeni R n+ {(, y (), y 2 (),, y n ()) : (a; b)} nazywamy krzyw a ca lkow a Funkcje y j = y j (), j =, 2,, n, (a; b), nazywamy sk ladowymi rozwi azania Naomias zbiór punków przesrzeni R n {(y (), y 2 (),, y n ()) : (a; b)} nazywamy rajekori a rozwi azania Przesrzeń R n w ym konekście nazywa siȩ przesrzeni a fazow a (dla n = 2 p laszczyzn a fazow a) Przyk lad { x = y y = x, (0; 2π)

2 Można sprawdzić, że powyższy uk lad spe lniaj a funkcje x = sin, y = cos (sk ladowe rozwi azania) Zaem krzyw a ca lkow a ego uk ladu jes linia śrubowa {(, sin, cos ) : (0; 2π)}, a rajekori a rozwi azania na p laszczyźnie fazowej jes {(sin, cos ) : (0; 2π)}, czyli okr ag o środku w punkcie (0; 0) i promieniu Uk lad równań () oraz uk lad warunków y ( 0 ) = y 0, y 2 ( 0 ) = y 0 2,, y n ( 0 ) = y 0 n, (2) 0 (a; b), y, 0 y2, 0, yn 0 R, nazywamy zagadnieniem Cauchy ego lub zagadnieniem pocz akowym Liczby 0, i y, 0 y2, 0, yn 0 nazywamy warościami pocz akowymi Warunek (2) nazywamy warunkiem pocz akowym lub warunkiem Cauchy ego Twierdzenie Jeżeli funkcje f j (, y, y 2,, y n ), j =, 2,, n, wraz z pochodnymi f j y i (, y, y 2,, y n ), i, j n s a ci ag le w obszarze D R n+ oraz ( 0, y, 0 y2, 0, yn) 0 D, o zagadnienie pocz akowe (), (2) ma dok ladnie jedno rozwi azanie 2 Uk lady równań różniczkowych liniowych Uk lad równań, kóry można zapisać w posaci y = a ()y + a 2 ()y a n ()y n + b () y 2 = a 2 ()y + a 22 ()y a 2n ()y n + b 2 () y n = a n ()y + a n2 ()y a nn ()y n + b n () (3) nazywamy uk ladem równań różniczkowych liniowych rzȩdu pierwszego Funkcje a ij (), i, j n, nazywamy wspó lczynnikami, a funckje b j (), j n, wyrazami wolnymi ego uk ladu W noacji wekorowej uk lad (3) przyjmuje posać y = A() y + b(), y = y y 2 y n, y = y y 2 y n, A() = a () a 2 () a n () a 2 () a 22 () a 2n () a n () a n2 () a nn (), b() = b () b 2 () b n () Twierdzenie Jeżeli funkcje a ij () i b j (), i, j n, s a ci ag le w przedziale (a; b) oraz ( 0, y, 0 y2, 0, yn) 0 (a; b) R n, o zagadnienie pocz akowe (3), (2) ma dok ladnie jedno rozwi azanie Twierdzenie Funkcja y = y() jes rozwi azaniem równania liniowego y + p()y + q()y = f(), 2

3 wedy i ylko wedy, gdy funkcje y = y () i y 2 = y 2 (), y () = y() i y 2 () = y () s a rozwi azaniem uk ladu liniowego { y = y 2 y 2 = q()y p()y 2 + f() Przyk lad Rozważmy równanie y + y = 0 K lad ac y = y, y 2 = y mamy y = y 2, a zaem orzymujemy uk lad = y 2 y 2 = y Rozwi azaniem ogólnym danego równania jes funkcja y() = C cos + C 2 sin, s ad funkcje { y = C cos + C 2 sin y 2 = C sin + C 2 cos s a rozwi azaniem uk ladu równań 3 Uk lady jednorodne równań różniczkowych liniowych lub w noacji wekorowej y = a ()y + a 2 ()y a n ()y n y 2 = a 2 ()y + a 22 ()y a 2n ()y n y n = a n ()y + a n2 ()y a nn ()y n (4) y = A() y Uk lad n rozwi azań [ y (), y 2 (),, y n (), y j () = [y j (), y 2j (),, y nj () T, j =, 2,, n uk ladu jednorodnego (4) w przedziale (a; b) nazywamy uk ladem fundamenalnym ego uk ladu w ym przedziale, jeżeli dla każdego (a; b) spe lniony jes warunek y () y 2 () y n () y 2 () y 22 () y 2n () W ( y, y 2,, y n ) = 0 y n () y n2 () y nn () Jeżeli wprowadzimy oznaczenie Y () [y ij () = y () y 2 () y n () y 2 () y 22 () y 2n () y n () y n2 () y nn (), o macierz a w przedziale (a; b) spe lnia równanie macierzowe Y () = A() Y (), 3

4 Y () = [y ij() Przyk lad oraz Posać macierzowa uk ladu jes nasȩpuj aca [ y y = = (2 )y + ( )y 2 y 2 = ( 2)y + ( )y 2, R y 2 [ y, y = y 2 y = A() y, [ 2, A() = 2 Weźmy uk lad funkcji [ y (), y 2 (), y () = [, T, y 2 () = [e, e T Wedy mamy [ e Y () = e Zaem A() Y () = [ 2 2 [ e Y () = e [ [ e e e = e = Y (), co oznacza, że uk lad funkcji [ y (), y 2 () jes rozwi azaniem podanego uk ladu Ponado W ( y, y 2 ) = e e = e 0, co oznacza, że uk lad funkcji [ y (), y 2 () jes uk ladem fundamenalnym ego uk ladu Twierdzenie Niech [ y (), y 2 (),, y n () bȩdzie uk ladem fundamenalnym uk ladu jednorodnego (4) Wedy rozwi azanie ogólne ego uk ladu jes posaci C, C 2,, C n s a sa lymi rzeczywisymi Przyk lad y() = C y () + C 2 y 2 () + + C n y n (), = (2 )y + ( )y 2 y 2 = ( 2)y + ( )y 2, R Ponieważ [ y (), y 2 (), y () = [, T, y 2 () = [e, e T jes uk ladem fundamenalnym, wiȩc [ [ [ e C y() = C y () + C 2 y 2 () = C + C 2 e = + C 2 e C ( ) C 2 e jes rozwi azaniem ogólnym ego uk ladu Rozwi azanie o można zapisać w posaci { y () = C + C 2 e y 2 () = C ( ) C 2 e, R 4

5 4 Uk lady jednorodne równań różniczkowych liniowych o sa lych wspó lczynnikach a ij R, i, j n, lub w noacji wekorowej y = a y + a 2 y a n y n y 2 = a 2 y + a 22 y a 2n y n y n = a n y + a n2 y a nn y n (5) y = A y, a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a n a n2 a nn Wielomianem charakerysycznym macierzy A nazywamy wielomian w A (λ) = de(a λi), (6) I jes macierz a jednoskow a sopnia n Równaniem charakerysycznym macierzy A nazywamy równanie w A (λ) = 0 (7) zaem Przyk lad = y + 2y 2 y 2 = y, R Macierz ego uk ladu jes posaci A = [ 2 0 w A (λ) = λ 2 λ Warości a w lasn a macierzy A nazywamy każdy (rzeczywisy lub zespolony) pierwiasek wielomianu charakerysycznego ej macierzy zn liczbȩ λ spe lniaj ac a równanie w A (λ) = 0 Każdy niezerowy wekor v (o rzeczywsiych lub zespolonych wspó lrzȩdnych) nazywamy wekorem w lasnym macierzy A odpowiadaj acym warości w lasnej λ (rzeczywisej lub zespolonej), jeżeli spe lnia warunek A v = λ v Jeżeli v = [v, v 2,, v n T, o powyższy warunek można zapisać w posaci a λ a 2 a n v 0 a 2 a 22 λ a 2n v 2 = 0 a n a n2 a nn λ v n 0 5

6 Przyk lad = y + 2y 2 y 2 = y, R Rozwi azaniami równania charakerysycznego λ 2 λ = λ2 λ 2 = 0 s a liczby rzeczywise λ = i λ 2 = 2 S a o wiȩc warości w lasne macierzy A Warości w lasnej λ odpowiada wekor w lasny [ p v =, p R \ {0}, p bȩd acy rozwi azaniem równania macierzowego [ 2 2 [ v v 2 = [ 0 0 a warości w lasnej λ 2 odpowiada wekor w lasny [ 2q v 2 =, q R \ {0}, q bȩd acy rozwi azaniem równania macierzowego [ 2 2 [ v2 Twierdzenie Niech λ bȩdzie pierwiaskiem rzeczywisym i jednokronym równania charakerysycznego (7) Wedy funkcja wekorowa v 22 v e λ, = v jes wekorem w lasnym odpowiadaj acym λ, jes rozwi azaniem uk ladu (5) Przyk lad = y + 2y 2 y 2, R = y Liczby λ = i λ 2 = 2 s a pierwiakami jednokronymi równania charakerysycznego Jako odpowiadaj ace im wekory w lasne możemy przyj ać [ [ 2 v =, v 2 = Na podsawie powyższego wierdzenia możemy uworzyć dwa rozwi azania danego uk ladu [ [ 2 y () = e, y 2 () = e 2, oraz rozwi azanie ogólne ego uk ladu [ 0 0 y() = C y () + C 2 y 2 () Rozwi azanie o można zapisać w posaci { y () = C e + 2C 2 e 2 y 2 () = C e + C 2 e 2, R, 6