Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez"

Alicja Wilczyńska
6 lat temu
Przeglądów:

1 Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) = Ćwiczenie. Sprawdźm, że (C, +) z elementem neutralnm (0, 0) jest grupą przemienną.. działanie + jest łączne:. (0, 0) jest elementem neutralnm działania:. dla każdego (, ) C istnieje element przeciwn:. działanie + jest przemienne: Mnożenie : C C zdefiniowane jest przez (, ) (, ) = (, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) (, 0) = Uwaga. Łatwo zauważć, że (, 0) jest elementem neutralnm mnożenia, gdż (, 0) (, ) = ( 0, + 0 ) = (, ), (, ) (, 0) = ( 0, + 0) = (, ). Analogicznie można pokazać, że. (C, ) z elementem neutralnm (, 0) jest grupą przemienną;. mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Dużo łatwiej to zrobić po wprowadzeniu postaci kanonicznej liczb zespolonch. Powższe stwierdzenia implikują, że (C, +, ) jest ciałem. Ciałem liczb zespolonch nazwam algebrę (C, +, ). Liczbą zespoloną nazwam każd element zbioru C.

2 Płaszczzna zespolona Płaszczzną zespoloną nazwam model ciała liczb zespolonch C, w którm element (, ) C odpowiadają punktom na płaszczźnie z wróżnionm układem współrzędnch. Ćwiczenie. Jak realizowane jest dodawanie liczb zespolonch na płaszczźnie zespolonej? Liczb rzeczwiste Rozważm zbiór REALIS = {(, 0) : R} C. Zauważm, że dla (, 0), (, 0) REALIS mam (, 0) + (, 0) = ( +, 0) REALIS, (, 0) (, 0) = ( 0 0, ) = (, 0) REALIS, czli element tego zbioru zachowują się tak jak element zbioru liczb rzeczwistch. Przjmijm zatem konwencję, w której REALIS = R, czli R C (, 0) = R C. Liczbami rzeczwistmi nazwam wszstkie element zbioru R C. Zauważm też, że element neutralne dodawania i mnożenia są rzeczwiste: 0 = (0, 0) R, = (, 0) R.

3 Liczb czsto urojone Jednostką urojoną nazwam liczbę zespoloną j = (0, ). Uwaga. Zauważm, że j R. Nazwa jednostki urojonej pochodzi stąd, że j = (0, ) (0, ) = (0 0, 0 + 0) = (, 0) =, czli j jest pierwiastkiem kwadratowm z R. Ćwiczenie 5. Obliczm j = (, 0) (0, ) = , j = (0, ) (, 0) = , (a j) (b j) = (0, a) (0, b) = Liczbami czsto urojonmi nazwam wszstkie element zbioru { j : R } C. Ćwiczenie 6. Zaznaczm na płaszczźnie zespolonej zbior liczb rzeczwistch i czsto urojonch. Liczb rzeczwiste Liczb czsto urojone

4 Postać kanoniczna Korzstając z ostatniego ćwiczenia otrzmujem (, ) = (, 0) + (0, ) = (, 0) + (, 0) (0, ) = + j. Postacią kanoniczną lub algebraiczną liczb zespolonej z = (, ) nazwam zapis z = + j lub z = + j. Działania w postaci kanonicznej wkonuje się jak na rzeczwistch wrażeniach algebraicznch z uwzględnieniem faktu, że j =. Dla z = + j, z = + j C mam:. z + z = ( + ) + ( + )j ;. z z = ( ) + ( )j ;. z z = ( + j)( + j) = ( ) + ( + )j ;. jeśli z 0, to z = + j z + j = ( + j)( j) ( + j)( j) = j. Uwaga. Wstawiając w punkcie. liczb z = i z = + j otrzmujem, że elementem odwrotnm do z = + j względem mnożenia jest z = z = j. Ćwiczenie 7. Wkonajm wszstkie powższe działania dla z = + j, z = j.

5 Częścią rzeczwistą liczb zespolonej z = + j nazwam Re z = R. Częścią urojoną liczb zespolonej z = + j nazwam Im z = R. Zatem każdą liczbę zespoloną możem zapisać w postaci z = Re z + j Im z Ćwiczenie 8. Dla przkładu z = j, Re z = ; Im z = ; z = 6j, Re z = ; Im z = Stwierdzenie. Dla dowolnch z, z C oraz α R zachodzi. z = z Re z = Re z Im z = Im z ;. Re (z + z ) = Re z + Re z ;. Im (z + z ) = Im z + Im z ;. Re (α z ) = α Re (z ) ; 5. Im (α z ) = α Im (z ). Ćwiczenie 9. Sprawdźm, cz zachodzi równość międz liczbami Re (( + j)( j)), ( + j)re ( j), Re ( + j)re ( j). Ćwiczenie 0. Rozwiążm równanie: z = jre z. 5

6 Sprzężenie liczb zespolonej Sprzężenie liczb zespolonej z = + j C, definiujem jako liczbę z = j. Mówim, że liczba z jest sprzężona do liczb z. Uwaga. Interpretacja geometrczna sprzężenia jest następująca: Sprzężeniem liczb zespolonej jako punktu na płaszczźnie zespolonej, jest odbicie tego punktu względem osi OX. Ćwiczenie. Dla przkładu j + = ; = ; 6j = Stwierdzenie. Dla dowolnch z 0 0, z, z, z C oraz n Z zachodzi. z + z = z + z ;. z z = z z ;. z z = z z ; ( ) z. = z ; z 0 z 0 5. (z) = z; 6. z n = z n ; 7. z + z = Re (z); 8. z z = j Im (z); Ćwiczenie. Rozwiążm równania. z + z z = ( ) z + = z j 6

7 Moduł liczb zespolonej Moduł liczb zespolonej z = + j C, definiujem jako liczbę z = + R. Uwaga 5. Interpretacja geometrczna sprzężenia jest następująca: Moduł liczb z jako punktu na płaszczźnie zespolonej jest odległością tego punktu od punktu (0, 0), czli liczb zespolonej 0. Ćwiczenie. Dla przkładu j + = ; = ; 6j = Stwierdzenie. Dla dowolnch z 0 0, z, z, z C oraz n Z zachodzi. z = 0 z = 0;. z = z ;. z = z z;. z z = z z ; Uwaga 6. Zauważm, że z punktu. wnika iż z = z/ z. 5. z z 0 = z z 0 ; 6. z n = z n. Ćwiczenie. Znajdźm zbior punktów (przjmując z = + j) spełniającch zależności: z ( j) ( ) 07 z j z + = 7

8 Argument liczb zespolonej Argument liczb z C \ {0} definiujem jako miarę ϕ kąta skierowanego na płaszczźnie zespolonej utworzonego przez dodatnią półoś osi OX i odcinek łącząc z 0 z początkiem układu współrzędnch. Zbiór wszstkich argumentów liczb z oznaczam przez arg z R. Uwaga 7. Jeśli ϕ arg z, to arg z = { ϕ + kπ : k Z }. Argument główn liczb z C\{0} definiujem jako jedn jej argument z przedziału ( π, π] i oznaczm go przez Arg z ( π, π]. Uwaga 8. Argument liczb zespolonej 0 nie jest określon. Uwaga 9. Szukanie argumentu ϕ liczb zespolonej z 0 sprowadza się do rozwiązania układu równań cos ϕ = Re z z, sin ϕ = Im z. z Ćwiczenie 5. Znajdźm argument główn Arg z i zbiór argumentów arg z liczb z C \ {0}. z = + j z = j 8

9 Postać trgonometrczna liczb zespolonej Zauważm, że liczbę zespoloną z 0 można zapisać jako gdzie ϕ arg z. ( Re z z = Re z + j Im z = z z + j Im z ) = z (cos ϕ + j sin ϕ), z Postacią trgonometrczną liczb zespolonej z C \ {0} nazwam zapis gdzie r = z, ϕ arg z. z = r (cos ϕ + j sin ϕ), Postać trgonometrczna liczb zespolonej nie jest określona jednoznacznie. Stwierdzenie. Niech z = r (cos ϕ + j sin ϕ ), z = r (cos ϕ + j sin ϕ ), r, r > 0, ϕ, ϕ R. Wówczas z = z r = r k Z ϕ = ϕ + kπ. Uwaga 0. Postać trgonometrczna pozwala dobrze zinterpretować mnożenie liczb zespolonch na płaszczźnie zespolonej. Wnika to z następującego obliczenia dla liczb z = r (cos ϕ + j sin ϕ ), z = r (cos ϕ + j sin ϕ ) : z z = r (cos ϕ + j sin ϕ ) r (cos ϕ + j sin ϕ ) = r r [(cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ ) + j(cos ϕ sin ϕ + sin ϕ cos ϕ )] = r r (cos(ϕ + ϕ ) + j sin(ϕ + ϕ )). To oznacza, że z z = r r, Arg z + Arg z arg(z z ). Stwierdzenie 5. Dla dowlonch liczb zespolonch z, z C \ {0} zachodzi. k Z Arg (z z ) = Arg z +Arg z +kπ. arg(z z ) = { Arg z + Arg z + kπ : k Z } 9

10 Działania w postaci trgonometrcznej Stwierdzenie 6. Niech z, z, z C \ {0} o postaci trgonometrcznej z = z (cos ϕ + j sin ϕ ), z = z (cos ϕ + j sin ϕ ), z = z (cos ϕ + j sin ϕ), dla pewnch ϕ, ϕ, ϕ R. Wówczas:. z z = z z (cos(ϕ + ϕ ) + j sin(ϕ + ϕ )) ;. z z = z z (cos(ϕ ϕ ) + j sin(ϕ ϕ )) ;. z = z (cos( ϕ) + j sin( ϕ)) ;. z = z (cos(ϕ + π) + j sin(ϕ + π)); 5. z n = z n (cos(nϕ) + j sin(nϕ)) dla n Z (wzór Moivre a). Ćwiczenie 6. Niech z = + j oraz w = j = ( cos ( π 6 ) + j sin ( π 6 )). Obliczm postać trgonometrczną liczb z = ; z = ; w = ; w = Obliczm postać trgonometrczną i kanoniczną liczb z w =

11 Postać wkładnicza liczb zespolonej Potrzeba dość zaawansowanej analiz matematcznej b dowieść (i zrozumieć) jeszcze jednej, niezwkle użtecznej, postaci liczb zespolonch. Mówiąc w ogromnm skrócie, funkcję wkładniczą z e z można rozpatrwać dla wszstkich liczb zespolonch z C. Następnie pokazuje się, że dla każdch, R oraz z = + j C mam e z = e +j = e (cos + j sin ). W szczególności biorąc = 0 otrzmujem wzór Eulera (dla R) e j = cos + j sin. Postacią wkładniczą liczb zespolonej z C \ {0} nazwam zapis z = re jϕ, gdzie r = z, ϕ arg z. Uwaga. Po wstawieniu = π do wzoru Eulera dostaniem jego szczególn przpadek e jπ + = 0. Proszę zauważć, że w piękn sposób wiąże on 5 fundamentalnch stałch matematcznch! Stwierdzenie 7. Niech z = z e jϕ, z = z e jϕ, z = z e jϕ C \ {0} dla pewnch ϕ, ϕ, ϕ R. Wówczas:. z z = z z e j(ϕ +ϕ ) ;. z = z z z ej(ϕ ϕ ) ;. z = z e jϕ ;. z = z e j(ϕ+π) ; 5. z n = z n e jnϕ dla n Z. Ćwiczenie 7. Niech z = + j = ( ( ) π cos Obliczm postać wkładniczą liczb ( )) π + j sin, w = ( ( j = cos π ) ( + j sin π )). 6 6 z = ; w = ; z = ; w = ; z w =

Podobne dokumenty

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej

Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C