Maciej Grzesiak Pochodne i ich zastosowania. Pochodna.. Iloraz różnicowy Niechx 0 Riniechfunkcjay=fx)będzieokreślonawpewnymotoczeniupunktux 0. Niech oznacza przyrost argumentu xmoże być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y=fx 0 +) fx 0 ). Ilorazemróżnicowymfunkcjifwpunkciex 0 odpowiadającymprzyrostowiargumentu nazywamy: y =fx 0+) fx 0 ). Przykład. Obliczyć ilorazy różnicowe dla następujących danych: a)fx)=x,x 0 =,=0,;b)fx)=logx,x 0 =,= 0,9. Ilorazróżnicowymaprostąinterpretacjęgeometryczną.Jeśliprzezdwapunktyx 0,fx 0 )), x 0 +,fx 0 +)należącedowykresufunkcjiy=fx)poprowadzimyprostąnazywamy ją sieczną wykresu funkcji), to iloraz różnicowy jest równy tangensowi jej kąta nachylenia do osi Ox. Krócej: iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym siecznej. y y=fx) fx 0 +) fx 0 ) x 0 x 0 + sieczna y x Rysunek. Interpretacja ilorazu różnicowego.. Definicja pochodnej Definicja.Niechx 0 Riniechfunkcjay=fx)będzieokreślonawpewnymotoczeniu punktux 0.Jeśliistniejegranica: f x 0 )= lim 0 tonazywamyjąpochodnąfunkcjifwpunkciex 0. fx 0 +) fx 0 ), Liczbętęoznaczamyy x 0 ), df dx x 0), dy dx x 0),lubDfx 0 ). Można wykazać, że jeśli istnieje pochodna, to funkcja musi być ciągła. Ciągłość jest więc warunkiem koniecznymale nie wystarczającym) istnienia pochodnej.
Przykład.Obliczyćzdefinicjipochodnąfunkcjifx)=x wpunkciex 0 R. Tworzymy iloraz różnicowy i przechodzimy do granicy: y =x 0+) x 0 = x 0 +) lim x 0+)=x 0. 0 =x 0 +, Taliczbajestpochodnąfunkcjifx)=x wpunkciex 0.Możnazapisać x ) x=x 0 =x 0 Np.x ) x==4,x ) x= 3= 6. Obliczanie pochodnej nazywamy różniczkowaniem funkcji. Mówimy też rachunek różniczkowy. Pochodnawpunkciex 0 jestliczbą,f x 0 ).Jeślipochodnaf x)istniejedlakażdegox a,b), to mówimy, że wa, b) określona jest funkcja pochodna..3. Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych c) =0 ) x α ) =αx α, gdzieα R ) sinx) =cosx 3) cosx) = sinx 4) tgx) = cos x =+tg x 5) ctgx) = sin x = ctg x 6) a x ) =a x lna gdzie0<a 7) e x ) =e x 8) log a x) = xlna 9) lnx) = x arcsinx) = x 0) ) arccosx) = x ) Przykład.Wykazać,żesinx) =cosx. Tworzymy iloraz różnicowy y =sinx 0+) sinx 0 arctgx) = +x 3) arcctgx) = +x 4) sinhx) =coshx 5) coshx) =sinhx 6) tghx) = cosh x 7) ctghx) = sinh x 8) = sinx0+ x0 cos x0++x0 = sin cosx0+,
i przechodzimy do granicy: sin lim cosx0+ 0 = lim 0 sin Taliczbajestpochodnąfunkcjifx)=sinxwpunkciex 0. Np.sinx) x=π =cosπ=. cos x 0 + ) =cosx 0. Twierdzenie.o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu) Jeżeli funkcje f i g mająpochodnewpunkciex 0,to.f+g) x 0 )=f x 0 )+g x 0 );.f g) x 0 )=f x 0 ) g x 0 ); 3.cf) x 0 )=cf x 0 ),gdziec R; 4.fg) x 0 )=f x 0 )gx 0 )+fx 0 )g x 0 ); 5. f g Przykłady. ) x0 )= f x 0)gx 0) fx 0)g x 0) g x 0),oilegx 0 ) 0. x 4 4x 3 +3x) =x 4 ) 4x 3 ) +3x) =8x 3 x +3 x ) = x ) x +) x ) x +) x + x +) = x x +) x ) x x +) =.4. Interpretacja geometryczna pochodnej Ponieważ: iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym siecznej; siecznadążydostycznejdowykresufunkcjiwpunkciex 0 gdy 0); więc mamy wniosek: Pochodnafunkcjiwpunkciex 0 jestwspółczynnikiemkierunkowymstycznejdowykresu funkcji w tym punkcie. y 4x x +) y=fx) fx 0 +) fx 0 ) x 0 styczna x 0 + sieczna y x Rysunek. Pochodna jako współczynnik kierunkowy stycznej Zatemrównaniestycznejdowykresufunkcjiy=fx)wpunkciex 0 mapostać: y=fx 0 )+f x 0 )x x 0 ). Przykłady. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: )y=cosx,π/,0); )y= 4 x,6,). Z zagadnieniem wyznaczania stycznej wiąże się obliczanie kąta między krzywymi. Przez kąt przecięcia krzywych rozumiemy kąt ostry ϕ, jaki tworzą styczne do tych krzywych w punkcie 3
ichprzecięcia.niechkrzywey=fx)iy=gx)przecinająsięwpunkciex 0,y 0 ).Jeśliα,β oznaczająkątyjakietworząstycznedotychkrzywychwpunkciex 0,y 0 ))zosiąox,toze wzoru na tangens różnicy kątów mamy: tgα β)= tgα tgβ +tgαtgβ. Pouwzględnieniu,żetgα=f x 0 ),tgβ=g x 0 )otrzymamywzór: tgϕ= f x 0 ) g x 0 ) +f x 0 )g x 0 ). Wartość bezwzględna daje pewność, że wyznaczone z tego wzoru ϕ będzie miarą kąta ostrego. Przykłady. Obliczyć kąty przecięcia krzywych: a)fx)= x,gx)=4 x ;b)fx)=x,gx)=x 3..5. Interpretacja fizyczna pochodnej Załóżmy, że punkt materialny porusza się prostoliniowo, i droga przebyta w czasie t wynosi st).przyrostdrogiodczasut 0 doczasut 0 + twynosist 0 + t) st 0 ),ailoraz st0+ t) st0) t jestprędkościąśrednią.granicategoilorazuawięcpochodnas t 0 ))jestprędkościąchwilową wmomenciet 0. Ogólniej, w zastosowaniach fizycznych pochodna pojawia się wtedy, gdy mamy do czynienia ze zmianą jakiejś wielkości. Jeżeli tę zmianę potrafimy wyrazić jako funkcję czasu, to pochodną tej funkcji interpretujemy jako prędkość zmiany. Wyżej mieliśmy drogę jako funkcję czasu pochodna jest wtedy prędkością ruchu. Jeżeli mielibyśmy prędkość vt) jako funkcję czasu, to pochodna byłaby przyspieszeniem ruchu. Gdy Qt) oznacza ilość ładunku elektrycznego przepływającegoprzezprzewodnikwczasiet,toq t)jestnatężeniemprąduit),i.t.d. Przykład.RopazuszkodzonegotankowcawyciekazestałąprędkościąV=0 m3 min itworzy plamę kołową o grubości d = mm. Obliczyć z jaką prędkością będzie powiększała się średnica plamyropywchwili,gdybędziemiałaśrednicęd=000m. Rozwiązanie. Niech Dt) będzie średnicą plamy w chwili t. Ponieważ do momentu t wyleje się0tropy,którautworzywalecopromieniudt)/iwysokościd,więc skąd Dt)= 4 πd t)d=0t 40t t πd =00 π PonieważDt)=000gdyt=50π,więcmusimyobliczyćpochodnąD 50π).MamyD t)= 50 πt,więcd 50π)= 0 π wynikjestwmetrachnaminutę)..6. Pochodna funkcji złożonej Twierdzenie.o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli.funkcjafmapochodnąwpunkciex 0,.funkcjagmapochodnąwpunkciefx 0 ), to g f)x 0 )=g fx 0 ))f x 0 ). Przykłady... 3. y= 3 x+cosx; y=3x 3 +cos 3 x) 4 ; y= tgx 3x ). 4
.7. Pochodna funkcji odwrotnej Twierdzenie 3.o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli.funkcjafjestciągłaiściślemonotonicznanaotoczeniuOx 0 )punktux 0,.funkcjafmapochodnąf x 0 ) 0, to f ) y 0 )= f x 0 ), gdziey 0=fx 0 ). Przykład.Wyprowadzimywzórnaarcsinx)..8. Pochodna logarytmiczna arcsinx) = = siny cosy = sin y =. x Jeżeli funkcja y = ln fx) jest różniczkowalna, to jej pochodną nazywamy pochodną logarytmicznąfunkcjif.mamy lnfx)) = f x) fx), więc f x)=fx) lnfx)). Ten ostatni wzór stosujemy, gdy pochodna logarytmiczna jest łatwiejsza do obliczenia niż zwykła, tj. gdy mamy skomplikowany iloczynktóry przez logarytmowanie zamienia się nasumę)lubpotęgę,wktórejxwystępujeiwliczniku,iwmianownikuiwtedyniema żadnych bezpośrednich wzorów na pochodne). Przykłady..fx)=4 x x +)sinxcos 4 x;.fx)=x x. W przykładzie można również zastosować wzór: fx) gx) =e gx)lnfx).. Różniczka Definicja.Niechfunkcjafx)mapochodnąwpunkciex 0.Różniczkąfunkcjifwpunkcie x 0 nazywamyfunkcjędfzmiennej=x x 0 określonąwzorem df)=f x 0 ). Różniczkę oznaczamy też symbolem dy. Uwaga. Przyjmujemy dx =, więc wzór powyższy można zapisać także: df)=f x 0 )dx. Przyrost y=fx 0 +) fx 0 )niejestrównyróżniczcedy.aleróżnicamiędzyprzyrostem aróżniczkąjestniewielkadlamałych,anawetmożnawykazać,żedążyszybciejdozera niżtzn.np.jeślijestrzędusetnych,toróżnica y dyjestrzędutysięcznych). Przykład.Obliczyćprzyrostiróżniczkęfunkcjiy=x 3 wpunkciex 0 =dla=0,4. Odp.: y=5,84) Gdy=0,04,to y=0,4897,dy=0,48)... Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych i szacowania błędów pomiarów Jeżelifunkcjafmapochodnąwpunkciex 0,to fx 0 +) fx 0 )+f x 0 ). 5
Ponadto błąd jaki popełniamy zastępując przyrost f różniczką df dąży szybciej do zera niż, tzn. f df lim =0. 0 Przykład. Obliczyć przy pomocy różniczki ln,004. ln,004 ln+ 0,004 0,004. Przy pomocy różniczki można też uzasadnić wzory przybliżone: sinx x, ln+x) x Szacowanie błędów. Przypuśćmy teraz, że wielkość fizyczna y jest funkcją innej wielkości x, którąjesteśmywstaniezmierzyć:y=fx).pomiarjestzawszezwiązanyzpewnymbłędem, i należy oszacować jak wpływa on na błąd obliczeń wielkości y. Jeżeli błąd bezwzględny pomiaruwynosi x,tobłądbezwzględnyobliczanejwielkości y wyrażasięwzorem: y f x 0 ) x. Po obliczeniu błędów bezwzględnych można obliczyć błędy względne: δ x = x x, δ y= y y. Błędy względne wyrażamy najczęściej w procentach. Przykład. Krawędź sześcianu zmierzono z dokładnością ± mm i otrzymano 5 mm. Z jaką dokładnością można obliczyć pole powierzchni całkowitej sześcianu, a z jaką jego objętość? Podać błędy bezwzględne i względne. Jeśliaoznaczakrawędź,topolePa)=6a,P a)=a,więcdlaa=5[mm] : P = 5 =500, δ a = 5 =0,8% δ P= 500 6 5 = 5 =,6%. 3. Zmienności zależne W zastosowaniach często spotykamy sytuację, że dwie wielkości x i y są różniczkowalnymi funkcjami czasu t i dodatkowo związane są pewną zależnością, np. x 3 +y y+3=0. Ponieważx=xt),y=yt),więcnp.[xt)] 3 ) =3[xt)] x t).krócej:x 3 ) =3x x.zatem różniczkując powyższą równość mamy: 3x x +yy y =0. Pochodnex iy sąnazywanezmiennościamizależnymi,ponieważsązwiązanerównością. Jeśli jedna z tych zmienności jest znana, to można obliczyć drugą. Przykład.Ropazuszkodzonegotankowcawyciekazestałąprędkością0 m3 min itworzyplamę kołową o grubości d = mm. Obliczyć z jaką prędkością będzie powiększała się średnica plamyropywchwili,gdybędziemiałaśrednicęd=000m. Rozwiązanie. Niech Dt) będzie średnicą plamy w chwili t. W momencie t plama tworzy walec opromieniu Dt)iwysokościd,więcobjętośćplamywynosi Różniczkując względem t otrzymujemy Vt)= 4 πd t)d. V t)= 4 π Dt)D t)d. 6
DlaprostotyopuścimytiwyliczymyD. D = V πdd. Wiadomo,żeV t)=0,d=000,d=0,00.stądd = 0 π wynikjestwmetrachna minutę). Przykład. Dwaj rowerzyści są w odległości 350 metrów. Osoba A jedzie na północ z prędkością5m/si7minutpóźniejosobabruszanawschódzprędkością3m/s.zjakąprędkością oddalająsięodsiebie5minutpotymjakazaczynajechać? Szkic.OsobęBumieszczamywpoczątkuukładu,aosobęAnaosiOywodległości350.Po 7.minutach,czyli40.sekundachzaczynamyliczyćczast.Wchwilitpozycjeosóbtox=3t, y = 450 + 5t. Odległość między nimi wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: z =x +y. Zatem5minutpostarcieAczyli8min.=080spostarcieB)odległośćwmetrach) między rowerzystami wynosi: z080)= x080) +y080) = 340 +7850 =849,36. Szukamyz wiedząc,żex =3iy =5.Interesujenaswartośćz gdyt=080. Abywyznaczyćprędkośćoddalaniasięrowerzystówróżniczkujemyz ipodstawiamywszystkiewielkościabyznaleźćz. zz =xx +yy ) z = z 3x+5y) Rowerzyści oddalają się z prędkością 5,77 m/s. z = 849,36 3 340+5 7850) z 5,77. Przykład.Mamydwaopornikipołączonerównolegle,oopornościachR andr omówω). Opór całkowity R jest dany wzorem R = R + R Przypuśćmy,żeR rośniezprędkością0.4ω/minir malejezprędkością0.7ω/min.zjaką prędkościązmieniasięopórcałkowityrgdyr =80ΩandR =05Ω? Rozwiązanie. SzukamyR wiedząc,żer =0.4iR = 0.7. Wyznaczmy R: R = 80 + 05 = 37 R=45.4054Ω. 680 Różniczkujemy równość początkową: iobliczamy Podstawiamy dane R R = R R RR R =R RR + ) R R R =45.4054) 80 0.4+ 05 0.7) ) = 0.00045. Zatem R maleje z prędkością 0.00045 Ω/min. 7
4. Pochodne wyższych rzędów Pochodnąrzędundefiniujemyindukcyjnie:y n) =y n ) ) dlan=,3,4,... Przyjmujesiętakżeoznaczeniey 0) =y pochodna rzędu0jestrównafunkcji). Dlapochodnychniewielkichrzędówmożnapisać:y,y,y IV,y V,y VI,i.t.d. Przykład.Obliczyćsinx) n). Obliczamy kolejno: sinx) =cosx=sinx+π/), i.t.d. Odgadujemy stąd wzór: sinx) =cosx) = sinx=sinx+π), sinx) = sinx) = cosx=sinx+3π/), sinx) IV = cosx) =sinx=sinx+π), sinx) n) =sinx+nπ/). Formalny dowód wzoru można uzyskać stosując indukcję matematyczną. Podobnie można uzyskać wzory: iinne.zauważmyteż,żee x ) n) =e x. cosx) n) =cosx+nπ/), ) n) = )n n! x x n+, lnx) n) = )n n )! x n, 5. Twierdzenia o wartości średniej Twierdzenie 4.Rolle a) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:.jestciągłana[a,b],.mapochodnąnaa,b), 3.fa)=fb), toistniejepunktc a,b)taki,że f c)=0. Geometryczny sens twierdzenia Rolle a jest taki, że na wykresie funkcji ciągłej, gładkiej, tzn. nie mającej kantów ) i przyjmującej na końcach przedziału jednakowe wartości, można znaleźć punkt, w którym styczna jest pozioma, tj. równoległa do osi Ox. Twierdzenie 5.Lagrange a) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:.jestciągłana[a,b],.mapochodnąnaa,b), toistniejepunktc a,b)taki,że f c)= fb) fa). b a W porównaniu z twierdzeniem Rolle a mamy jedno założenie mniej. Funkcja nie musi przyjmować na końcach przedziału jednakowych wartości, a skutek jest taki, że styczna nie musi już być równoległa do osi Ox. Teza twierdzenia Lagrange a głosi, że można znaleźć punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punktya, fa)),b, fb)). Dowód.Wprowadzamyfunkcjępomocniczą hx)=fx) fa) fb) fa) x a). b a 8
Funkcjahx)jestciągłanaprzedziale[a,b]imapochodną h x)=f x) fb) fa), b a aponadtoha)=hb)=0.namocytwierdzeniarolle aistniejewięctakipunktc a,b), żeh c)=0.podstawiającx=cdopowyższejrównościotrzymamy czyli 0=f c) fb) fa), b a f c)= fb) fa), b a co kończy dowód. Przykłady. Znaleźć liczbę c, o której mowa w twierdzeniu Lagrange a, gdy:.fx)=x x 3, x ;.fx)=arccosx, x. Ważne wnioski z twierdzenia Lagrange a dotyczą badania monotoniczności funkcji. Wniosek. Niech I oznacza dowolny przedział, na którym określona jest funkcja f. Jeżeli dlakażdegox I:.f x)=0,tofjeststałanaprzedzialei;.f x)>0,tofjestrosnącanaprzedzialei; 3.f x)<0,tofjestmalejącanaprzedzialei. Dowód..Niechx,x oznaczajądowolnepunktyprzedziałua,b),przyczymx <x.na podstawietwierdzenialagrange azastosowanegodoprzedziałux,x )istniejetakipunkt c x,x ),że fx ) fx )=f c)x x ). Alezzałożeniaf c)=0,więcfx )=fx ),czylifunkcjajeststałanaa,b).. Rozumując jak poprzednio otrzymamy fx ) fx )=f c)x x ). przyczymterazzzałożeniaf c)>0.ponieważx >x,więcfx )>fx ),azatem funkcjajestrosnącanaa,b). Przykład. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:.fx)= x +x..fx)=x 4 4 3 x3 +3. Wniosek.Niechfunkcjef igbędąokreślonenaprzedzialei Rorazniechx 0 I. Wtedy, jeżeli:.fx 0 )=gx 0 ),. x I f x)=g x), tof gnai. Przykłady.Uzasadnićtożsamościdla x ): arcsinx+arccosx=π/; sinarccosx)= x. 6. Wzór Taylora Niechdanabędziefunkcjafmającawpunkciex 0 pochodnedorzędukwłącznie.wtedy można utworzyć wielomian: P k x)=fx 0 )+ f x 0 )! x x 0 )+ f x 0 )! 9 x x 0 ) + + fk) x 0 ) x x 0 ) k. k!
Ten wielomian nazywamy wielomianem Taylora funkcji f. W szczególnym przypadku, gdy x 0 =0,nazywasięgowielomianemMaclaurina. Przykład.NapisaćwielomianyP x),p x),p 3 x),p 4 x)dlafunkcjifx)=sinxwpunkcie x 0 =π/. Obliczamykolejnepochodne:sinx) =cosx,sinx) = sinx,sinx) = cosx,sinx) IV = sinx,anastępnieichwartościwπ/;sątokolejno0,,0,.ponadtofx 0 )=sin π =. Zatem P x)=+0 x π ) =, P x)=+0 x π ) x π ) =! P 3 x)=+0 x π ) x π ) + 0! 3! P 4 x)=+0 x π ) x π ) + 0 x π! 3! ) 3+ 4! Twierdzenie 6.wzór Taylora) Jeżeli funkcja f ma:.ciągłąpochodnąrzędun na[x 0,x],.pochodnąf n) nax 0,x), toistniejepunktc x 0,x)taki,że fx)=fx 0 )+ f x 0 )! x x 0 )+ f x 0 )! x π x π x x 0 ) + + fn ) x 0 ) n )! x π ), ) 3= ) 4= x π ), x π ) + x π ) 4 4 x x 0 ) n + fn) c) x x 0 ) n. n! OstatniwyraznazywamyresztąwzoruTaylora ioznaczamyr n x).zatemwzórtaylora można zapisać krócej: fx)=p n x)+r n x). Dlax 0 =0otrzymujemywzórMaclaurina: fx)=f0)+ f 0)! x+ f 0) x + + fn ) 0)! n )! xn + fn) c) x n. n! Przykłady. Napisać wzór Taylora dla: ) fx)=e x,x 0 =,n=4; ) fx)= x x,x 0=,n=4; 3) fx)=cosx,x 0 =π,n=6. Dla jasności sporządzamy tabelę: ) n f n) x) f n) ) 0 e x e e x e e x e 3 e x e 4 e x ) n f n) x) f n) ) x 0 x x ) - x ) 3 3 6x ) 4-6 4 4x ) 5 Zatem oraz e x =e+ex )+ e x ) + e 6 x )3 + ec 4 x )4 x x = x )+x ) x ) 3 + c ) 5x )4 Warto znać wzory Maclaurina następujących funkcji: e x =+x+ x +x3 xn + + 3! n )! +ec n! xn, sinx=x x3 3! +x5 5! + +sinc+nπ ) x n, n! 0
cosx= x! +x4 4! + +cosc+nπ ) x n, n! ln+x)=x x +x3 3 x4 4 + + )n+ x n n+c) n. Dzięki wzorom tego typu można tworzyć rozmaite wzory przybliżone. Zasada jest taka: ponieważresztar n x)dążydo0gdyn,więcimwiększejestn,tymlepiejwielomian P n x)przybliżawartośćfunkcjifx).błądjakipopełniamywynosi R n x),itęwielkość należy oszacować. Przykłady. Oszacować dokładności wzorów przybliżonych:. sinx x x3 6 dla x < π 6 ;. ln+x) x x dla x < 0. PierwszywzórotrzymujemyzewzoruMaclaurinadlafunkcjisinxin=5: sinx=x x3 3! +cosc x 5. 5! Wzór przybliżony otrzymujemy odrzucając ostatni wyraz. Oszacujemy jego wielkość: Analogicznie, ponieważ cosc x 5 π ) 5 0,0003. 5! 0 6 ln+x)=x x x 3 3+c) 3, więc dokładność wzoru wynosi: x3 3+c) 3 0 3 3 9 0 )3= 3 7 0,0005, 7. Reguła de l Hospitala Granicefunkcjipostacilim x x0 fx) gx),gdzielicznikimianownikdążąjednocześniedo0lub jednocześnie do ) nazywamy nieoznaczonymi. Wiele z nich można obliczyć metodami elementarnymi, np. 3x +x 4 x 3+/x 4/x ) lim x x = lim +8 x x +8/x = 3 ), ale też wiele z nich jest nieelementarnych. Bardzo przydatna bywa w takich sytuacjach następująca reguła. Twierdzenie 7.reguła de l Hospitala) Jeżeli:.lim x x0 fx)=lim x x0 gx)=0 lublim x x0 fx)=lim x x0 gx)=, f.istniejegranicalim x) x x0 g x) właściwalubniewłaściwa), to fx) lim x x 0 gx) = lim f x) x x 0 g x). Reguła jest prawdziwa również dla granic jednostronnych i granic w ±. fx) Należyzwrócićuwagę,żegranicalim x x0 gx) możeistniećnawetwtedy,gdygranicalim f x) x x 0 g x) nie istnieje! Przykłady. Obliczyć x. lim 50 x x, x. lim 3 x e, x cosx + 3. lim x x 0 x. 4
Nietylkogranicepostaci 0 0),czy ) sąnieoznaczone.innesymbolenieoznaczoneto:, 0, 0 0, 0,. Jak widać powyższe symbole dotyczą granicy różnicy, iloczynu bądź potęgi. Stosując odpowiednieprzekształceniaalgebraicznemożnatesymbolesprowadzićdosymbolu 0 0) lub ), a następnie zastosować regułę de l Hospitala. Przykład..Abyobliczyćgranicęlim x 0 sinx x) typu sprowadzamyułamki dowspólnegomianownika;uzyskujemywtedynieoznaczoność 0 0) istosujemydwukrotnie regułę de l Hospitala: ) lim x 0 sinx x sinx H cosx H sinx =lim =lim =lim x x 0 xsinx x 0 sinx+xcosx x 0 cosx xsinx =0 =0. Przykład.. Przy nieoznaczoności 0 należy iloczyn zamienić na iloraz, np.: ln x lim x 0+ xln x= lim x 0+ x H lnx x lnx = lim x 0+ = lim x x 0+ x H = lim x 0+ x x = lim x 0+ x=0. Przy nieoznaczonościach typu wykładniczego stosujemy tożsamośćwynikającą z definicji logarytmu): fx) gx) =e gx)lnfx), i korzystamy z ciągłości funkcji wykładniczej, co pozwala nam przejść z granicą do wykładnika: lim x x 0 fx) gx) =e limx x 0 gx)lnfx). Wwykładnikupojawisięwtedysymbol0,idalejnależypostępowaćjakwprzykładzie. Przykłady. Obliczyć granice:. lim x 0+ x) x,. lim x x /x, 3. lim x 0 cosx) x. 8. Ekstremum funkcji 8.. Ekstremum lokalne Definicja3.Funkcjafmawpunkciex 0 minimum,jeżeli δ>0 x Sx0,δ)fx) fx 0 ). Jeżeli powyższa nierówność jest ostra, to minimum nazywamy właściwym. Definicja4.Funkcjafmawpunkciex 0 maksimum,jeżeli δ>0 x Sx0,δ)fx) fx 0 ). Jeżeli powyższa nierówność jest ostra, to maksimum nazywamy właściwym. Minima i maksima funkcji nazywamy ekstremami. Pojęcia te odnoszą się do lokalnych własnościfunkcji,bodotycząpewnegosąsiedztwapunktux 0.Funkcjamożemiećwięcejniż jedno maksimum i minimum w swojej dziedzinie, a nawet może mieć nieskończenie wiele ekstremów.przykłademjestnp.funkcjay=sinx,któramaminimarówne-)wpunktach x k = π +kπ,k Z,amaksimarówne)wpunktachx l= π +lπ,l Z. Przykład. Posługując się wykresem funkcji wskazać punkty w których występuje ekstremum:.fx) x ;.fx)=sgnsinx.
Twierdzenie 8.Fermata; warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma:.ekstremumwpunkciex 0,.pochodnąf x 0 ), to f x 0 )=0. Implikacjaodwrotnaniejestprawdziwa.Przykłademmożesłużyćfunkcjafx)=x 3,dla którejf 0)=0,aleniemaekstremumdlax 0 =0;jakwiadomo,funkcjatajeststale rosnąca. Warto też zwrócić uwagę na fakt, że funkcja może mieć ekstremum, ale nie mieć pochodnej.przykłademtakiejfunkcjijestfx)= x ;dlax=0jestminimum,alepochodna w tym punkcie nie istnieje. Zapamiętanie następującej uwagi ułatwi praktyczne poszukiwanie ekstremów. Funkcja może mieć ekstrema tylko w tych punktach, w których jej pochodna równa jest 0 albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje. Następne dwa twierdzenia podają warunki dostateczne istnienia ekstremum funkcji. Twierdzenie 9.I warunek dostateczny istnienia maksimum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:.f x 0 )=0,.wpewnymsąsiedztwielewostronnympunktux 0 jestf x)>0, 3.wpewnymsąsiedztwieprawostronnympunktux 0 jestf x)<0, towpunkciex 0 funkcjafmamaksimumwłaściwe. Analogiczne twierdzenie obowiązuje dla minimum. Twierdzenie 0.I warunek dostateczny istnienia minimum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:.f x 0 )=0,.wpewnymsąsiedztwielewostronnympunktux 0 jestf x)<0, 3.wpewnymsąsiedztwieprawostronnympunktux 0 jestf x)>0, towpunkciex 0 funkcjafmaminimumwłaściwe. Ten warunek jest najczęściej wykorzystywany. Jak widać należy obliczyć pochodną, znaleźć jej miejsca zerowe, przeanalizować znak pochodnej w pobliżu podejrzanych punktów i wyciągnąć prawidłowe wnioski. Przykład. Znaleźć ekstrema funkcji:.fx)=x e /x ;.fx)= x +x; 3.fx)= +x+x x+x. Gdyby analiza znaku pochodnej była kłopotliwa, można posłużyć się następującym twierdzeniem. Twierdzenie.II warunek dostateczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:.f x 0 )=0,.f x 0 )<0f x 0 )>0), towpunkciex 0 funkcjafmamaksimumminimum)właściwe. Powyższe twierdzenie wymaga jednak obliczenia drugiej pochodnej. 8.. Wartość największa i najmniejsza funkcji na zbiorze Ekstremum funkcji jest pojęciem lokalnym; jeżeli natomiast rozpatrujemy funkcję na konkretnym zbiorzenp. przedziale), to wówczas określony jest zbiór jej wartościna tym zbiorze). Jeśli zbiór wartości ma element największy i najmniejszy, to te liczby nazywamy największą i najmniejszą wartością funkcji na tym zbiorze. Z twierdzenia: Twierdzenie.Weierstrassa) Funkcja ciągła na przedziale domkniętym osiąga kres dolny i kres górny swojego zbioru wartości, 3
wynika, że jeśli funkcję rozpatrujemy na przedziale domkniętym, to istnieje wartość największa i najmniejsza. Wartości te znajdujemy według następującego schematu..znajdujemypunktyc,c,...,c n zerowaniasiępochodnejfunkcjifna[a,b]orazpunkty d,d,...,d m,wktórychpochodnanieistnieje.. Obliczamy wartości funkcji w wyżej znalezionych punktach oraz w końcach przedziału a, b. 3.Spośródliczbfa),fb),fc ),fc ),...,fc n ),fd ),fd ),...,fd m )wybieramynajmniejszą i największą. Będą to odpowiednio wartości najmniejsza m i największa M funkcji f na przedziale[a, b]. Przykład. Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji w przedziale:.fx)=x 5 5x,[, 3 ];.fx)= x x+,[0,4]. Często pojawiają się problemy geometryczne, fizyczne, itp. w których należy wyznaczyć wartość maksymalną lub minimalną pewnej wielkości. Jeżeli uda się znaleźć funkcję jednej zmiennej wyrażającą tę wielkość, to można zastosować poznaną wiedzę na temat znajdowania ekstremów. Przykład. W kulę o danym promieniu R wpisano walec. Kiedy jego objętość jest największa? Rozwiązanie. Narysujemy przekrój kuli płaszczyzną równoległą do osi walca: A B h O R D r E C Objętość V walca wyrazimy jako funkcję jego wysokości h. Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanegodotrójkątaodemamyr =r + h 4,więc ) V=πr h=π R h h. 4 Należyzbadaćtęfunkcjędla0<h<R.Obliczamypochodną:V h)=π R 3h 4 StądV =0dlah=± 3 R,aledodziedzinyfunkcjinależytylkowartośćdodatnia.Łatwo sprawdzić,żedlah= 3 Robjętośćjestmaksymalna.Wynosiona V maks = 4πR3 3 3. Przykład. Ciężar G leżący na płaszczyźnie poziomej ma być przesunięty przez przyłożoną doń siłę. Pod jakim kątem ϕ do płaszczyzny poziomej należy przyłożyć tę siłę, żeby po uwzględnieniu tarcia jej wielkość F była najmniejsza? Współczynnik tarcia µ jest dany. Wsk. Tarcie jest proporcjonalne do siły nacisku ciała na płaszczyznę i skierowane w stronę przeciwną do ruchu. Rozwiązanie. Siłę F rozkładamynaskładowe:poziomąipionową: ). F= Fx + F y Wtedy F x =Fcosϕ, F y =Fsinϕ. 4
SiłatarciaR=µG Fsinϕ)mabyćzrównoważonasiłąFcosϕ: Fcosϕ=µG Fsinϕ), F= µg cosϕ+µsinϕ. Należywyznaczyćminimumtejfunkcjidlaϕ [0, π ],czylitakieϕdlaktóregofunkcja y=cosϕ+µsinϕosiągamaksimum.liczymy: y = sinϕ+µcosϕ. Zatemy =0gdytgϕ=µ,czyliϕ=arctgµ.Oznaczmyarctgµ=ϕ 0.Pochodnąmożna zapisaćwpostaciy =cosϕ tgϕ+µ)=cosϕ tgϕ+tgϕ 0 ),skądwidać,żewprzedziale [0, π ]jejznakzależytylkoodznakunawiasu tgϕ+tgϕ 0.Jeżeliϕ<ϕ 0,to tgϕ+ tgϕ 0 >0,ajeżeliϕ>ϕ 0,to tgϕ+tgϕ 0 <0.Zatemfunkcjaosiagamaksimumwpunkcie ϕ=ϕ 0 =arctgµ. 9. Funkcje wypukłe i wklęsłe Mówimy, że podzbiór A płaszczyzny jest wypukły, jeśli dowolny odcinek o końcach należących dozbioruajestzawartywtymzbiorze. Aby ten warunek sformułować algebraicznie przypomnimy pewne fakty. Wiemy,żeśrodekodcinka[a,b]to a+ b.ogólniej,każdypunktodcinka[a,b]możnazapisać wpostaciλa+ λ)bdlapewnejliczbyλ [0,]. Np. rozważmy odcinek[3, 6]. Wtedy 3 3+ 3 6=5 3+ 6=4,5 3 3+ 3 6=4 Teraz możemy podać definicję. Definicja 5. Zbiór A jest wypukły, jeżeli x,y ),x,x ) A 0<λ< λx + λ)x,λy + λ)y ) A. Bazując na tym pojęciu podamy definicję funkcji wypukłej. Nazwiemy tak funkcję f określoną naa, b), której nadwykres, czyli zbiór jest zbiorem wypukłym. {x,y);x a,b),y fx)}, Definicja 6. Funkcja f jest wypukła na przedzialea, b), jeżeli a<x<x <b 0<λ< fλx + λ)x ) λfx )+ λ)fx ). Oznaczato,żewartośćfunkcjiwkażdympunkciemiędzyx ix leżyponiżejsiecznejwykresu przechodzącejprzezpunktyx,fx ))ix,fx )). Definicja 7. Funkcja f jest wklęsła na przedzialea, b), jeżeli a<x<x <b 0<λ< fλx + λ)x ) λfx )+ λ)fx ). Oznaczato,żewartośćfunkcjiwkażdympunkciemiędzyx ix leżypowyżejsiecznejwykresu przechodzącejprzezpunktyx,fx ))ix,fx )). Jeżeli w powyższych definicjach założymy nierówności ostre, to funkcję nazwiemy odpowiednio ściśle wypukłą i ściśle wklęsłą. Nierówność definiująca funkcję wypukłą: fλx + λ)x ) λfx )+ λ)fx ). 5
nazywa się nierównością Jensena. n Stądprzezindukcjęmożnawykazać,żejeśliλ,λ,...,λ n 0i λ k =,to k=0 n n f λ k x k ) λ k fx k ). k=0 Stosując tę nierówność do konkretnych funkcji otrzymujemy rozmaite przydatne nierówności. Przykład zastosowania nierówności Jensena: Funkcjafx)=lnxjestściślewklęsładlax>0.WypiszmynierównośćJensenaprzyjmującλ =λ = = λ n= n.dladowolnychx,x,...,x n>0: k=0 ln n x + n x + n xn) n lnx + n lnx + n lnxn, przyczymrównośćzachodzijedyniewtedy,gdyx =x =...=x n.lewastronajestoczywiścierówna ln x +x + +x n prawązaśmożemyprzekształcić,korzystajączwłasnościlogarytmu,dopostacilnx n x x n) n. Zatem ln x +x + +x n lnx x x n) n n Ponieważ logarytm jest funkcja rosnącą, więc x +x + +x n n n x x x n Lewastronanierównościtośredniaarytmetyczna,aprawa geometrycznaliczbx,x,...,x n.równość miedzy nimi zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie te liczby są równe. Twierdzenie3.warunekdostatecznywypukłościiwklęsłości)Jeżelif x) > 0 f x)<0)dladowolnegox a,b),tofunkcjajestściślewypukłaściślewklęsła)na a,b). Przykład. Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji;.fx)=x 4 6x 6x+; Obliczamy:f x)=4x 3 x 6,y x)=x =x )x+) Funkcjajestwypukławprzedziałach, )oraz, ),awklęsław,)..fx)= x x ) 3 Obliczenia:y = x +x x ),y = x +8x+ 4 x ) ; 5 3.y= x+)3 x +x+4 =x+ 3 x+ x +x+4. Pochodne wynoszą: y = x+) x +x+0) x +x+4), y = 6x+)x +x 8) x +x+4) 3. Punkty, w których następuje zmiana z wypukłości na wklęsłośćlub odwrotnie) nazywamy punktami przegięcia wykresu funkcji. Twierdzenie 4.warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f ma:.punktprzegięciawpunkciex 0,.pochodnąf x 0 ), to f x 0 )=0. Tenwarunekniejestwystarczający.Np.funkcjafx)=x 4 madlax=0drugąpochodną równą 0, ale nie ma punktu przegięcia. Twierdzenie 5.warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:.f x 0 )=0,.wpewnymsąsiedztwielewostronnympunktux 0 jestf x)>0lubf x)<0), 3.wpewnymsąsiedztwieprawostronnympunktux 0 jestf x)<0lubf x)>0), towpunkciex 0 funkcjafmapunktprzegięcia. 6
Przykład. Wyznaczyć punkty przegięcia:.y=e x odp.:± );.y= 3 x 3 x odp.:±).dośćtrudnerachunki: y = 3 x 3 3 xx ) 3, y = [ ] 9 x 4 3 x ) 5 3 x ) 5 3 x ) 5 4 3 3x 3 0. Badanie funkcji Przy badaniu funkcji wyznaczamy kolejno:. dziedzinę funkcji;. granice funkcji na krańcach dziedziny, np. na końcach przedziałów określoności; 3. asymptoty funkcji; 4. przedziały monotoniczności funkcji i jej ekstrema; 5. przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punkty przegięcia. Ponadto należy zwrócić uwagę, czy funkcja ma jakieś szczególne własności, np. czy jest parzysta bądź nieparzysta, okresowa, czy ma miejsca zerowe, itp. Wyniki wpisujemy do tabelki i sporządzamy wykres. Przykład.Zbadaćwielomiany=x 3 4x +4x+inarysowaćjegowykres. Postępujemy następująco.. Dziedziną jest cały zbiór R.. Jedyne granice, jakie należy obliczyć, to lim x x3 4x +4x+)= lim x x3 4 x + 4 x + x 3)=, lim x x3 4x +4x+)= lim x x3 4 x + 4 x + x 3)=. Skorzystaliśmy z własności, że gdy jeden czynnik iloczynu dąży do, a drugi do stałej dodatniej, to iloczyn dąży do. 3. Funkcja nie może mieć asymptot pionowychbo nie ma przerw w dziedzinie). W celu zbadania asymptot ukośnych obliczamy x 3 4x +4x+ lim = lim x x x x 4 x + 4 x + x 3)=, x 3 4x +4x+ lim x x = lim x x 4 x + 4 x + x 3)=. Granice są niewłaściwe, więc asymptot nie ma. 4. Obliczamy pochodną, wyznaczamy jej miejsca zerowe i rozkładamy ją na czynniki. y =3x 8x+4=3 x 3) x ). Zwłasnościparaboliwiemy,żepochodnajestdodatniaw, 3), ),aujemnaw 3,).Zatemfunkcjarośniewprzedziale ), 3 iwprzedziale, ),amalejew 3,). Ponieważnalewoodpunktu 3 funkcjarośnieanaprawomaleje,więcw 3 jestmaksimum. Wpunkciejestnaodwrót,itamjestminimum.Obliczamywartości:f ) 3 = 86 7,f)=. 5. Obliczamy drugą pochodną, wyznaczamy jej miejsca zerowe i rozkładamy ją na czynniki. y =6x 8=6 x 4 3). Widzimy,żey =0dlax= 4 3,y <0dlax< 4 3,y >0dlax> 4 3.Zatemdlax<4 3 funkcja jestwklęsła,dlax> 4 3 wypukła,awpunkciex= 4 3 mamypunktprzegięcia.wartość: f ) 4 3 = 70 7. Wyniki umieszczamy w tabelce. 7
5 4 3 maks p.p. min 3 4 Rysunek3.Wykreswielomianux 3 4x +4x+ x x< 3 3 3 <x< 4 3 4 3 4 3 <x< <x y + 0 0 + y 0 + + + 86 70 y 7 7 Przykład.Zbadaćfunkcjęy= x x 4 x+ i narysować jej wykres. Pochodne:y = x +x+3 x+),y = x+) 3 8
y x= y= x 6 5 4 3 x 3 4 5 6 3 4 Rysunek4.Wykresfunkcjiy= x x 4 x+ 9