Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Transkrypt

1 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru P, to mówimy, że na zbiorze D jest określona (zadana) funkcja f : D P. Funkcję zapisujemy także jako y = f(x), x D, y P. Zbiór D nazywa się zbiorem argumentów lub dziedziną funkcji, natomiast zbiór P nazywa się zbiorem wartości lub przeciwdziedziną funkcji. Przykłady. Dla funkcji y = x 2 +1: D = R, P = [1, ). Dla funkcji y = ln x: D = (0, ), P = R. Sposoby zadania funkcji: graficzny, tabelaryczny, analityczny. Funkcja ograniczona. Funkcja f jest ograniczona z dołu, jeśli istnieje taka liczba c R, że dla dowolnego x D zachodzi f(x) c. Funkcja f jest ograniczona z góry, jeśli istnieje taka liczba C R, że dla dowolnego x D zachodzi f(x) C. Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z 1

2 dołu i z góry, czyli jeśli istnieją takie liczby c, C R, że dla dowolnego x D zachodzi c f(x) C. Przykłady. y = x 2 + 1, y = ln x, y = 2 x, y = sin x. Funkcja różnowartościowa. Mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa, jeśli różnym wartościom x D odpowiadają różne wartości y P. W przeciwnym przypadku, funkcja nie jest różnowartościowa. Przykłady. y = x 2 + 1, y = ln x, y = 2 x, y = sin x, y = 2x + 3, y = x 3. Funkcja parzysta (nieparzysta). Funkcja jest parzysta, jeśli f(x) = f( x) dla każdego x D. Funkcja jest nieparzysta, jeśli f(x) = f( x) dla każdego x D. Funkcja, oczywiście, może nie być ani parzysta, ani nieparzysta. Przykłady. y = x 2 + 1, y = ln x, y = 2 x, y = sin x, y = 2x + 3, y = x 3. Funkcja okresowa. Funkcja f nazywa się okresową o okresie T > 0, jeśli dla każdego x D takiego, że x + T D zachodzi f(x) = f(x + T ). Najmniejsza z dodatnich liczb T, spełniających powyższy warunek, nazywa się okresem podstawowym funkcji f. Przykłady. y = x 2 + 1, y = sin x. 2

3 Funkcja złożona. Funkcja f nazywa się złożoną, jeśli istnieją takie funkcje g oraz h, że f(x) = g(h(x)) (mówimy, że funkcja f jest superpozycją funkcji g i h; g jest funkcją zewnętrzną, a h jest funkcją wewnętrzną). Przykłady. y = cos(x 2 + 1), y = ln(2x + 3). Funkcja odwrotna. Jeśli f jest funkcją różnowartościową, to dla niej istnieje funkcja odwrotna (ozn. f 1 ). Jest to funkcja f 1 : P D (każdemu y P przyporządkowujemy x D). Jeśli y = f(x), to x = f 1 (y). Szukanie funkcji odwrotnej odbywa się poprzez rozwiązanie równania y = f(x) względem x. Ponieważ w matematyce nie jest istotne, jak oznaczamy argument i wartość funkcji, to ze względów tradycyjnych mówimy, że dla funkcji y = f(x) funkcją odwrotną jest y = f 1 (x). Przykłady. y = 2x + 3, y = 2 x, y = ln x, y = x 3. Wykres funkcji odwrotnej jest symetryczny względem dwusiecznej pierwszej i trzeciej ćwiartki układu współrzędnych. 3

4 Podstawowe funkcje elementarne. 1. Wielomiany: funkcje postaci y = a n x n +a n 1 x n a 1 x + a 0 - wielomian stopnia n N; {a i } R Ważne szczególne przypadki: funkcja liniowa y = ax + b; współczynnik kierunkowy a - tangens kąta nachylenia linii prostej do osi OX; współczynnik b - wartość funkcji przy x = 0; funkcja kwadratowa y = ax 2 + bx + c; wykres - parabola; jeśli a > 0, to gałęzie paraboli w górę, jeśli a < 0, to gałęzie paraboli w dół; wierzchołek paraboli to punkt ( b 2a, b2 4ac 4a ). 2. Funkcje wymierne: iloraz dwóch wielomianów, czyli y = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + a m 1 x m b 1 x + b 0. Ważny szczególny przypadek: y = 1 x n. 3. Funkcje potęgowe: funkcje postaci y = x a, gdzie a R. Funkcja jest określona dla każdego x, jeśli a > 0, oraz dla wszystkich x 0, jeśli a Funkcje wykładnicze: funkcje postaci y = a x, gdzie a > 0. Dla a > 1 funkcja jest rosnąca, dla a < 1 malejąca, dla a = 1 stała i równa 1. 4

5 5. Funkcje logarytmiczne: funkcje postaci y = log a x, gdzie a > 0, a 1. Funkcja jest odwrotna do wykładniczej. Dla a > 1 funkcja jest rosnąca, dla a < 1 malejąca, dla a = 1 stała i równa Funkcje trygonometryczne: funkcje y = sin(x), y = cos(x), y =tg(x), y =ctg(x). Są to funkcje okresowe; podstawowy okres dla pierwszych dwóch to T = 2π, dla dwóch pozostałych T = π. 6. Funkcje odwrotne trygonometryczne: funkcje y =arcsin(x), y =arccos(x), y =arctg(x), y =arcctg(x). Są to funkcje wieloznaczne, dla tego rozważamy je z pewnymi ograniczeniami. 5