Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Transkrypt

1 Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta pochodna funkcji jest pochodną wszej pochodnej. Oznaczenia Pochodne wyższych rzędów oznaczamy Mamy więc Uwaga Dogodnie jest przy tym zdefiniować pochodną rzędu zerowego jako samą funkcję: Przykłady Dla mamy:,,, a wszystkie wyższe pochodne są równe zeru. Ogólnie: ta pochodna funkcji jest a wyższe pochodne są równe zeru. ta pochodna funkcji, gdzie oraz, jest równa zwróćmy uwagę, że tutaj pochodna dowolnego rzędu jest różna od zera!, co daje, że wszystkie wyższe pochodne funkcji są równe. Dla funkcji mamy to było dla pierwszych czterech pochodnych, a dowolną pochodną można obliczyć

2 wykorzystując 6. tożsamość zawartą wyżej:. Wzór (1) pozwala policzyć dowolną pochodną dowolnego wielomianu Nie będziemy tego wypisywać in extenso, (wzór ten jest dość skomplikowany i nie mamy tu potrzeby wypisywać go), a weźmy jego szczególny przypadek, tzn. wypiszmy pochodne od 0 do w punkcie. Mamy [1] : Stąd wynika wzór: -ta pochodna iloczynu funkcji wzór Leibniza Na tą pochodną sumy i różnicy sumy dwóch funkcji mamy proste wzory (natychmiastowy dowód indukcyjny: W pierwszym kroku: ; dalej: zasady indukcji wzór (3) jest prawdziwy dla każdego.) ; i na mocy Dla tej pochodnej iloczynu funkcji wzór jest bardziej skomplikowany, ale dający się ogarnąć: Twierdzenie (wzór Leibnitza) ta pochodna iloczynu dwóch funkcji dana jest wzorem (dla prostoty nie pisaliśmy jawnej zależności od ; wszędzie wyżej należy pamiętać, że, itd.)

3 Dowód będzie indukcyjny. Dla otrzymujemy znany już wzór na pochodną iloczynu. Załóżmy, że wzór (4) zachodzi dla i obliczmy pochodną obu jego stron. Z twierdzenia o pochodnej iloczynu mamy ostatnia równość wynika z faktu, iż mamy dla współczynników Newtona (wzór ten był pokazywany przy dowodzie wzoru dwumiennego Newtona). CBDO Przykład Obliczmy drugą pochodną funkcji odwrotnej. Najsampierw wyprowadźmy raz jeszcze wzór na tę pochodną, korzystając z wzoru na pochodną funkcji złożonej. Jeśli funkcja, a funkcja do niej odwrotna, to mamy:, skąd po zróżniczkowaniu otrzymamy co daje Obustronnie różniczkując, otrzymujemy co daje Różniczkując ten wzór, można uzyskać dowolną wyższą pochodną.

4 Wzór Taylora Twierdzenie (Wzór Taylora) Załóżmy, że funkcja jest krotnie różniczkowalna w przedziale. Oznaczmy. Wtedy zachodzi gdzie wyraz, zwany resztą tego rzędu, można przedstawić w jednej z postaci dla pewnego (reszta w postaci Lagrange'a), lub (reszta w postaci Cauchy'ego). Uwaga przed dowodem Wzór Taylora można uważać za uogólnienie wzoru Lagrange'a: Ten ostatni to szczególny przypadek wzoru Taylora dla. Dowód Wypiszmy z wzoru (6) resztę: Oznaczmy przez funkcję pomocniczą zdefiniowaną w ten sposób, że w zastępujemy przez : Pochodna funkcji jest równa:

5 W powyższej sumie kasują się więc wszystkie człony oprócz ostatniego i mamy Zarazem:,. Stosując do funkcji twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej, otrzymujemy więc skąd otrzymujemy czyli resztę w postaci Cauchy'ego (8). Pozostaje pokazać, że równoważną postacią reszty jest postać Lagrange'a (7). W dowodzie używa się wzoru Cauchy'ego o wartości średniej z funkcjami: i. Wzór Cauchy'ego o wartości średniej mówi, że: dla pewnego Tu mamy:,,, skąd wynika, uwzględniając (9) czyli otrzymujemy tzn. postać reszty Lagrange'a (7). Uwagi 1. Wzoru Taylora zazwyczaj używa się w postaci:

6 Można na ten wzór patrzeć jako na przybliżenie funkcji w otoczeniu punktu przez wielomian ( tego stopnia). Jeśli umiemy oszacować resztę, to daje nam ona dokładność tego przybliżenia. Dla, powyższa wersja wzoru Taylora nazywana jest wzorem Maclaurina 2. Gdy funkcja jest różniczkowalna dowolną ilość razy, to reszta może być dowolnie wysokiego rzędu. Okazuje się, że można "odsunąć ją do nieskończoności" zapisać rozwinięcie Taylora jako nieskończony szereg. Aby to precyzyjnie wyrazić, potrzebne jest pojęcie zbieżności szeregu i jakieś kryteria zbieżności; zajmiemy się tym niedługo. Przykłady 1. Zapiszmy wzór Taylora dla funkcji w otoczeniu punktu z dokładnością do drugiego rzędu. Mamy:,, tak więc Stąd wynika, że dla każdego zachodzi równość 2. bo reszta jest dodatnia (jako że i ). Nierówność ta posiada wyrazisty sens geometryczny patrz wykres. Wzór Taylora pozwala w następujący sposób zwiększyć moc reguły de l'hospitala: Twierdzenie Jeśli funkcje i posiadają te pochodne ciągłe i jeśli to

7 Dowód We wzorze Taylora (6) zastąpmy przez. Z uwagi na znikanie pierwszych zostaje tylko sama reszta: pochodnych Tak więc Przechodząc do granicy i biorąc pod uwagę ciągłość funkcji i (podobnie jak to było przy dowodzie zwykłego tw. de l'hospitala), otrzymujemy wzór (11). CBDO Przykład Kryteria na ekstrema Niedawno pokazaliśmy, że jeśli funkcja (różniczkowalna) posiada w punkcie ekstremum, to. Pamiętamy też, że na odwrót nie jest: Jeśli, to nie znaczy, że w znajduje się ekstremum (np. dla ). Równość jest więc warunkiem koniecznym, ale niedostatecznym na istnienie tam ekstremum. Okazuje się, że badanie wyższych pochodnych daje ogólniejsze kryterium na istnienie ekstremum: Twierdzenie Załóżmy, że funkcja jest różniczkowalna krotnie i ta pochodna jest ciągła. Niech również Wówczas, jeśli jest parzyste, to w punkcie funkcja ma ekstremum właściwe: maksimum, jeśli, minimum, jeśli. Jeśli natomiast jest liczbą nieparzystą, to nie posiada ekstremum w punkcie.

8 Dowód Z wzoru Taylora mamy: i, ponieważ na mocy założenia pierwszych pochodnych zeruje się w punkcie, mamy Załóżmy, że jest liczbą parzystą. Niech. Ze względu na ciągłość funkcji w punkcie istnieje takie, że nierówność: implikuje. Jeśli więc, to i, zatem. Patrząc teraz na (13) widzimy, że jeśli (pamiętajmy, że jest parzyste, więc ). Powyższa nierówność oznacza, że w punkcie funkcja posiada maksimum. Z analogicznego rozumowania wynika, że jeśli jest liczbą parzystą i zachodzi:, to (znowu dla i ), co znaczy, że w punkcie funkcja ma minimum. Załóżmy teraz, że jest liczbą nieparzystą. Niech (w przypadku przeciwnym, tzn., rozumowanie jest analogiczne). Weźmy znów takie, aby dla było. Mamy wówczas dla nierówność a dla zachodzi nierówność tak więc w punkcie nie ma ani maksimum, ani minimum. Przykład Funkcja posiada w minimum, jeśli jest parzyste i nie posiada minimum, jeśli jest nieparzyste. Uwaga Najczęściej spotyka się w zastosowaniach ekstrema niezdegenerowane, tzn. takie, że druga pochodna jest różna od zera. Wtedy testowanie, czy dany punkt krytyczny odpowiada ekstremum, kończy się na drugiej pochodnej.

9 Interpretacja geometryczna drugiej pochodnej. Punkty przegięcia Uprzednio widzieliśmy, że jeśli, to funkcja rośnie w otoczeniu. Jeśli więc, to funkcja rośnie; a jeśli ponadto, to rośnie jeszcze szybciej. To była heurystyka, a teraz Twierdzenie Jeśli druga pochodna funkcji jest ciągła i: 1. zachodzi 2. krzywa jest dla pewnego otoczenia punktu położona powyżej, to krzywa jest dla pewnego otoczenia punktu położona powyżej stycznej do tej krzywej w punkcie ; zachodzi krzywa jest dla pewnego otoczenia punktu położona poniżej, to krzywa jest dla pewnego otoczenia punktu położona poniżej stycznej do tej krzywej w punkcie. Uwaga Patrząc na wykres funkcji, widzimy, że w pierwszym przypadku wykres jest skierowany wypukłością do dołu, a w drugim do góry.

10 Dowód 1. Oszacujmy różnicę między ilorazem różnicowym a pochodną: Na mocy wzoru Taylora mamy: Ponieważ, to dla dostatecznie małego mamy również Interpretując iloraz różnicowy jako tangens kąta nachylenia siecznej do osi wnioskujemy, że dla tangens ten jest większy niż, tzn. większy niż tg kąta między styczną a osią. A to oznacza, że rozważana krzywa leży nad styczną, tak jak na rys. (3). 2. jest analogiczny. Przykłady Parabola w każdym punkcie leży nad styczną nic dziwnego, bo druga pochodna wszędzie jest tu równa 2. Wykres funkcji wykładniczej również leży wszędzie nad styczną tak być musi, bo druga pochodna. Punkt przegięcia Rozważmy sytuację, gdy krzywa posiada w punkcie styczną i dla dostatecznie małych przyrostów dodatnich krzywa leży po jednej strone stycznej (np. nad styczną), a dla dostatecznie małych przyrostów ujemnych leży po drugiej stronie krzywej (np. pod krzywą). Innymi słowy: Rozpatrzmy wyrażenie: i dla dostatecznie małego mamy: : oraz :. W takiej sytuacji mówimy, że krzywa ma punkcie punkt przegięcia. Przykład Sinusoida ma punkt przegięcia dla. Mamy bowiem:. Dla mamy, dla jest.

11 Z tw. powyżej wynika, że jeśli, to krzywa leży (lokalnie) po jednej stronie stycznej. W takiej sytuacji, punkt nie jest punktem przegięcia. Możemy to sformułować jako Twierdzenie Jeśli punkt jest punktem przegięcia krzywej, to. Sytuacja odwrotna nie zachodzi (np. dla w ). Funkcje wypukłe, wklęsłe i ich własności Funkcje wypukła i wklęsła Funkcję nazywamy wypukłą na, jeśli dla dowolnych i mamy rys. zaś wklęsłą, jeśli Wniosek Funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja jest wklęsła. Wystarczy więc w dalszym ciągu zająć się tylko funkcjami wypukłymi. Twierdzenie Funkcja jest wypukła na wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego skończonego zbioru punktów i dla dowolnego zestawu liczb, takich, że, i, zachodzi Dowód indukcyjny. Niech będzie wypukła na wtedy nierówność (16) zachodzi dla. Załóżmy, że teza jest prawdziwa dla (tzn. prawdziwa jest. Niech i, będą takie, jak w sformułowaniu twierdzenia. Jeśli, to nierówność jest trywialna. Weźmy więc. Mamy:

12 a to znaczy, że prawdziwa jest. Udowodniliśmy więc implikację, czyli teza jest prawdziwa dla każdego. W drugą stronę, dla mamy definicję funkcji wypukłej. CBDO Inne, równoważne kryteria wypukłości Istnieją też inne równoważne kryteria wypukłości; użyteczne okaże się zaraz następujące stwierdzenie: 1. jest wypukła dla dowolnych punktów z przedziału spełniona jest nierówność 2. jest wypukła dla dowolnych punktów z przedziału spełniona jest nierówność 3. jest wypukła dla dowolnych punktów z przedziału spełniona jest nierówność Dowód Jeśli, to, gdzie i. jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów mamy nierówność Ponieważ, i są dodatnie, to nierówność (20) jest równoważna nierówności czyli otrzymaliśmy (17).

13 Nierówność (20) można też zapisać w postaci która jest równoważna nierówności czyli otrzymaliśmy (18). Wreszcie, gdy nierówność (20) zapiszemy w postaci czyli otrzymaliśmy (19). CBDO Wniosek 1 Jeśli jest wypukła na, to istnieją granice: lewo- i prawostronne pochodne: Ponadto. Dowód Zauważmy, że funkcja jest monotoniczna i ograniczona (powyższe Stw.), a stąd wynika istnienie granicy (podobnie jak dla ciągów). Wniosek 2 Funkcja wypukła na odcinku otwartym jest ciągła. Założenie otwartości odcinka jest istotne: Funkcja wypukła na odcinku domkniętym może być nieciągła na jego brzegu. (rys. (4))

14 Funkcja wypukła na odcinku domkniętym może być nieciągła na jego brzegu Dla funkcji różniczkowalnych, mamy proste kryterium wypukłości. Twierdzenie Funkcja różniczkowalna na jest wypukła jej pochodna jest funkcją niemalejącą. Funkcja dwukrotnie różniczkowalna na jest wypukła jej druga pochodna jest nieujemna. Dowód Widać, że drugi punkt wynika z pierwszego; wystarczy więc udowodnić pierwszy. Niech będą punktami w. Z tw. Lagrange'a istnieją oraz takie, że oraz. Nierówność jest więc równoważna nierówności Stąd powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich jest funkcją niemalejącą. Ze Stw. wyżej wynika teza. wtedy i tylko wtedy, gdy CBDO Znaczenie wypukłości Badanie funkcji: Kryteria na ekstremum, położenie stycznych do wykresu. Termodynamika: Z wypukłości energii swobodnej wynika dodatniość takich (fizycznie oczywistych, ale trudnych bezpośrednio do udowodnienia) wielkości, jak ciepło właściwe: są to drugie pochodne en. sw. (tu: po temperaturze). 1. Wzór ten daje się znacząco uogólnić na dowolne funkcje, dając tym samym sposób na przybliżenie dowolnej funkcji przez wielomian; zrobimy to już niedługo.