11. Pochodna funkcji

Transkrypt

1 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy, że funkcja f ma pochodną w punkcie lub, że jest różniczkowalna w punkcie, gdy istnieje skończona granica ilorazu różnicowego w punkcie Przez pochodną funkcji f w punkcie rozumiemy liczbę rzeczywistą, oznaczaną, równą granicy ilorazu różnicowego w punkcie, to znaczy Uwaga. Pochodna funkcji w punkcie może nie istnieć. Na przykład funkcja f:r >R określona wzorem f(x)= x nie ma pochodnej w punkcie =0. Funkcja jest różniczkowalna w zbiorze, jeśli posiada pochodną w każdym punkcie należącym do tego zbioru. Twierdzenie ( o działaniach na pochodnej funkcji w punkcie). Niech f,g:x >R będą funkcjami różniczkowalnymi w punkcie założeniu, że g(x) 0 dla x X) są różniczkowalne w punkcie (a) = (b) (f g) ( =f (, (c) (f g) ( = (d). Wówczas f+g, f g, fg oraz ( przy., przy czym: Twierdzenie ( o pochodnej w punkcie funkcji złożonej). Niech R, gdzie h:x >R, g:y >R, X,Y R oraz h(x) Y. Jeśli funkcja h jest różniczkowalna w punkcie X, funkcja g zaś różniczkowalna w punkcie, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie oraz Twierdzenie ( o pochodnej funkcji złożonej). Niech R, gdzie h:x >R, g:y >R, X,Y R oraz h(x) Y. Jeżeli funkcje h i g są różniczkowalne, to funkcja f jest różniczkowalna oraz.

2 Twierdzenie ( pochodnej w punkcie funkcji odwrotnej). Niech X,Y R będą zbiorami niepustymi oraz niech f:x >Y będzie bijekcją. Jeśli f ma w punkcie X pochodną różną od zera oraz funkcja jest ciągła w punkcie to funkcja odwrotna ma pochodną w punkcie oraz. Wniosek. Wielomiany i funkcje wymierne są różniczkowalne. Twierdzenie. Niech a R. Wówczas (a) = w (0, + ), (b) w (0, + ), gdy a>0, a 1. (c) w R, (d) w R, gdy a>0, (e) w (0, + ). Twierdzenie. Funkcje trygonometryczne są różniczkowalne oraz (a) (b) oraz oraz Wniosek. Funkcje arcsin i arccos są różniczkowalne w przedziale (-1, 1) oraz w (-1, 1). Funkcje ar ctg i arcctg są różniczkowalne oraz w R. Tw. Rolle a. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a,b] i różniczkowalną w przedziale (a,b). Jeśli f(a)=f(b), to istnieje (a,b) takie, że

3 Definicja stycznej. W matematyce styczną do krzywej w punkcie P jest prosta, będącą granicą siecznych do krzywej przechodzących przez punkty P i Q, gdy Q dąży do P. Granica ta nie zawsze istnieje, ale jej istnienie związane jest z istnieniem pochodnej funkcji wyznaczającej tę krzywą. Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego. Jeżeli funkcja f jest określona w punkcie, a także jest różniczkowalna w, to zachodzi związek:, gdzie jest kątem nachylenia do osi x stycznej do wykresu funkcji w punkcie funkcji f w punkcie jest prosta o równaniu: Styczną do wykresu

4 Spójrzmy na rysunek. Jeśli dąży do zera, to punkt B dąży, po wykresie funkcji f, do punktu A. Każdemu położeniu punktu B odpowiada sieczna przechodząca przez B i przez A. Zatem styczną do wykresu funkcji f w punkcie A=( możemy traktować jako graniczne położenie siecznej AB, gdy B dąży po wykresie do A. Stąd wynika, że pochodną funkcji f w punkcie można interpretować geometrycznie jako współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A=( Tw. (warunek konieczny różniczkowalności funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f:x >R jest różniczkowalna w to f jest ciągła w. Przykład. Funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie

5 Twierdzenie (warunek konieczny różniczkowalności). Jeśli funkcja f:x >R jest różniczkowalna, to funkcja f jest ciągła. Definicja (pochodne jednostronne funkcji). Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę jednostronną w punkcie to granicę tę nazywamy pochodną jednostronną funkcji f w punkcie i oznaczamy odpowiednio symbolami: pochodna prawostronna lub pochodna lewostronna Twierdzenie. Na to, aby funkcja f miała pochodną w punkcie potrzeba i wystarczy, aby istniały w tym punkcie obie pochodne jednostronne i były sobie równe. Przykład. Funkcja f(x)= x, x R nie jest różniczkowalna w, gdyż, Kryterium monotoniczności funkcji. Niech P będzie przedziałem oraz niech f:p >R będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas: (a) Funkcja f jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x P. (b) Funkcja f jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x P. Wniosek (kryterium ścisłej monotoniczności funkcji). Niech P będzie przedziałem oraz niech f:p >R będzie funkcją różniczkowalną. (a) Jeśli dla x P, to f jest ściśle rosnąca. (b) Jeśli dla x P, to f jest ściśle malejąca. Twierdzenie (kryterium ścisłej monotoniczności). Niech f:(a,b) >R będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas: (a) f jest ściśle rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy dla x (a,b) oraz zbiór E={x (a,b): } jest gęsty w (a,b). (b) f jest ściśle malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy dla x (a,b) oraz zbiór F={x (a,b): } jest gęsty w (a,b). Twierdzenie Lagrange a o wartości średniej. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a,b] i różniczkowalną w przedziale (a,b). Wówczas istnieje (a,b), że f(b) f(a) =

6 Twierdzenie Lagrange a zapisane w tej postaci mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów b i a wyraża się przez przyrost wartości zmiennej i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między a i b stąd właśnie nazwa twierdzenia.