TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

Transkrypt

1 TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach Ciągi monotoniczne Warunek zbieżności Cauchy ego SZEREGI Sumy częściowe Ciąg sum częściowych Definicja sumy szeregu Warunek zbieżności Cauchy ego dla szeregów Pojęcie sumy szeregów Warunek konieczny zbieżności (a n 0) Szereg harmoniczny 1/n jako przykład rozbieżnego Arytmetyczne własności szeregów: Szeregi o wyrazach dodatnich: Kryteria zbieżności: Porównawcze (w różnych wersjach) D Alamberta GRANICE FUNKCJI Lewo i prawostronna w punkcie x 0 Granica w punkcie x 0 Definicja granicy Heinego Równoważność obu definicji granic

2 Działania arytmetyczne na granicach Granica nieskończona w punkcie x 0 Ciągłość funkcji Własność Darboux Tw. O lokalnym zachowaniu znaku Pojęcie ograniczenia górnego i dolnego, sup, inf Tw. Weierstrassa POCHODNE Definicja pochodnej w punkcie Interpretacja geometryczna pochodnej jako kąta nachylenia stycznej do wykresu o Przykład interpretacji fizycznej: prędkość chwilowa jako pochodna drogi, przyspieszenie jako pochodna prędkości Definicja funkcji pochodnej Arytmetyczne własności pochodnych o dowód że (f+g) =f +g Pochodna funkcji złożonej Pochodna funkcji odwrotnej Definicja minimum, maksimum lokalnego Warunek konieczny istnienia ekstremum Warunek wystarczający istnienia ekstremum: zmiana znaku pochodnej w punkcie Tw Rolle a Tw Cauchy ego Tw Lagrange a o wartości średniej Geometryczne interpretacje tych twierdzeń Własności pochodnej a monotoniczność funkcji Reguła de l Hospitala Pochodne wyższych rzędów Wzór dla n-tych pochodnych o Policzone na piechotę wzory na (fg), (fg)

3 Wypukłość i wklęsłość funkcji Znak drugiej pochodnej a wypukłość/wklęsłość punkt przegięcia (i jego geometryczna interpretacja) Warunki wystarczające ekstremum w terminach własności pierwszej i drugiej pochodnej o (np. zagadnienie typu: jaki trójkąt równoramienny ma największe pole przy danym obwodzie, dlaczego kwadrat jest prostokątem o największym polu przy danym obwodzie) Schemat badania przebiegu zmienności funkcji CAŁKA NIEOZNACZONA definicja funkcji pierwotnej Definicja całki nieoznaczonej Liniowość całki Całkowanie przez części o Uzasadnienie! Całkowanie przez podstawienie o uzasadnienie Czysto formalna manipulacja symbolami dx, dy przy podstawieniu o Na przykładzie oraz CAŁKA OZNACZONA Całka oznaczona definicja o Przykład fizyczny: prędkość jako pochodna drogi - droga jako całka z prędkości Liniowość całki oznaczonej Wzór na całkowanie przed części i przez podstawienie całki oznaczonej wraz z uzasadnieniami Addytywność całki jako funkcji przedziału Monotoniczność całki (jeśli g f to

4 Twierdzenie o wartości średniej dla całki Interpretacja geometryczna: całka jako pole pod krzywą o Przykłady (pole koła) Wzór na długość wykresu funkcji f Objętość figur obrotowych Pole powierzchni bocznej figury obrotowej Całki niewłaściwe. Definicja KILKA PYTAŃ O CHARAKTERZE TESTOWYM: POCHODNE Proszę policzyć z definicji pochodną funkcji f(x) w punkcie x 0 f(x)=x 2 w x 0 =1 f(x)=x 3 w x 0 =0 f(x)=(x+1) 2 w x 0 =0 f(x)=1/x w x 0 =1 Czy prawdziwe są stwierdzenia (UWAGA! To jest test na czas reakcji - na każde pytanie jest 5 sekund) Każda funkcja ciągła jest różniczkowalna Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła Jeśli funkcja ma obie pochodne jednostronne w punkcie x 0, to jest w tym punkcie różniczkowalna Czy prawdą jest, że (x jest tu zawsze zmienną, inne parametry są stałe). o (e ax ) = e ax o (x 16 ) = 16 x 16 o (cos(ax)) = a cos(ax) o (sin(ax)) = a cos(ax) o (x 2 sinx) = (2x+x 2 )cos(x) o (x 2 e x ) = (2x+x 2 ) e x o (x 2 e ax ) = (2x+x 2 ) e ax o (x ln(x)) = 1+ln(x) o (sin(x) ln(x)) = cos(x)ln(x)+sin(x)ln(x) o (ln(x)) 2 =2ln(x) o (ln(x)) 3 = 3 (ln(x)) 2 /x W wypadku odpowiedzi negatywnych jakie są poprawne?

5 Proszę udowodnić wzory na arytmetyczne własności pochodnych (sumę, iloczyn, iloraz) Proszę obliczyć pochodną iloczynu trzech funkcji f(x)g(x)h(x), a potem czterech funkcji f(x)g(x)h(x)s(x), a potem pięciu etc. Proszę obliczyć pochodną funkcji F= fg/h Proszę obliczyć pochodną funkcji F= f/gh Proszę obliczyć pochodną złożenia funkcji F= f (gh) (tzn.: F(x) = f(g(x)h(x)) Proszę obliczyć (fg) Proszę obliczyć (fgh) POLICZ CAŁKI NIEOZNACZONE