Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria"

Transkrypt

1 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć czwarty wyraz rozwinięcia dwumianu: a) ( ) ( ) n n = 0 c) = n d) 4 n ( x ) 5 b) x 4. Udowodnić metodą indukcji: n(n + ) a) n = b) (n ) = n c) n + n jest podzielne przez d) 0 n 4 jest podzielne przez 6 e) n + n f) + 3 n n + 3 ( ) n = n 3 ( ) x 7 + x ( ) n n 4 Zajęcia nr i 3 (4h) Trygonometria 5. Podane miary stopniowe kątów wyrazić w radianach: a) 360 b) 90 c) 8 d) 5 6. Określić znak każdej z liczb: sin x, cos x, tg x, ctg x, wiedząc że a) x (π, 3 π) b) x (, 3) c) x (5, 6) 7. Obliczyć cos x i tg x, jeśli sin x = 4 5 i x ( π, π) 8. Obliczyć sin x i cos x, jeśli tg x = i x ( π, 0) 9. Obliczyć sin x i cos x, jeśli sin x = 3 i x ( π, π) 0. Sprawdzić czy podana równość jest tożsamością trygonometryczną: a) cos 4 x sin 4 x = cos x sin sin x x b) + cos x + + cos x = sin x sin x. Naszkicować wykresy funkcji: a) f(x) = sin x + b) f(x) = cos(x π 4 ) c) f(x) = sin x cos x sin x d) f(x) = tg x e) f(x) = f) f(x) = sin x + sin x cos x. Uprościć wyrażenie: a) tg(3π α) b) ctg( π + α) c) cos(π α) d) sin(α 5 π) 3. Uprościć wyrażenie: a) sin x( + ctg x) + cos x( + tg x) b) sin x ctg x cos x jeśli x (π, π) 4. Rozwiązać równania: a) cos x = + cos x b) cos 3x = cos x c) 3 sin x = cos x d) sin x cos x = 0 e) tg x + ctg x = 4 sin x f) tg x = cos x g) tg x sin x = tg x sin x h) ctg x cos x = sin x i) tg x + tg x = tg 3x sin x

2 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze 5. Rozwiązać nierówności: cos x a) cos x+tg x < +sin x w przedziale (0, π) b) < w przedziale (0, π) cos x cos x + cos x c) > w przedziale (0, π) d) sin x ( cos x) w przedziale (π, π) cos x 6. Sprawdzić tożsamości: a) tg x + ctg x = sin x d) b) 4 ctg x = 4 4 cos x cos x c) cos x cos 3x sin 3x sin x = tg x sin x + sin x + cos x + cos x = tg x e) cos x( + tg x tg x) = f) tg( π 4 + x) tg( π 4 x) = tg x Zajęcia nr 4 (h) Potęgi o wykladniku rzeczywistym. Równania i nierówności kwadratowe, wzory Viete a. Dzielenie wielomianów. 7. Daną liczbę zapisać jako potęgę liczby : ( a) (6 3 4) 5 b) 8 4 d) 3 e) ) c) f) 4 8. Sprowadzić do najprostszej postaci wyrażenia: a) (x8 x 3 ) 4 x 7 x 9 x 0 b) ( y 3 y) y > 0 c) 4 y 8 y 6 ( x ( x) ) 8 x 0 9. Nie obliczając pierwiastków równania x 5x 6 = 0 obliczyć: a) iloczyn pierwiastków tego równania b) sumę odwrotności pierwiastków tego równania c) sumę kwadratów pierwiastków tego równania d) sumę odwrotności kwadratów pierwiastków tego równania 0. Rozłożyć na czynniki wielomian W (x), wiedząc że liczba p jest jego pierwiastkiem a) W (x) = x 3 + x 7x 3; p = 3 b) W (x) = 9x 4 x 3 x x; p =. Sprawdzić, czy liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 4 x 3 3x + 3x 0. Nie wykonując dzielenia, wyznaczyć resztę z dzielenia a) wielomianu x 6 + x 5 + 3x + 4 przez wielomian x b) wielomianu x 5 + x 4 + 3x + przez wielomian (x + )(x ) 3. Dla jakiej wartości parametru m przy dzieleniu wielomianu 3x 3 +mx 4x+ przez x otrzymujemy resztę równą 6? 4. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x jest równa, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x jest równa 4. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian x 3x + 5. Rozwiązać równania: a) x + 3 x = 4 x x + b) 4 + x x = x c) 9 5x = 3 x x

3 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze 3 6. Rozwiązać nierówności: a) x 3 + 6x + x + 6 > 0 b) x 3 + 3x 9x c) 3x 3 + 8x 9x < 0 d) 4x 4 + 4x 3 + 3x x 0 e) (x3 )(x )(x ) x(x + ) 0 f) 4 x 5x + 6 < 0 x 3 Zajęcia nr 5 (h) Równania i nierówności kwadratowe z parametrem. Wartość bezwzględna. Równania i nierówności wymierne. 7. Wyznaczyć takie wartości parametru m, aby równanie a) (m )x + 6x + = 0 miało dokładnie jedno rozwiązanie b) (m + )x 4x + = 0 miało dwa różne rozwiązania 8. Wyznaczyć te wartości parametru m, dla którego równanie (m )x 4 (m + 3)x + m + = 0 ma cztery róźne pierwiastki rzeczywiste. 9. Dla jakich wartości parametru k równanie (k + )x + x + = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków. 30. Dla jakich wartości parametru m równanie x + mx + m a) ujemne b) nieujemne = 0 ma dwa różne pierwiastki 3. Rozwiązać równania i nierówności: a) x 9 + x 4 = 5 b) x 5x + 4 x 4 c) x < x d) x 4x = 6 x e) x 3 = 3x 7 f) x 5x + 3 = 3 Zajęcia nr 6 (h) Własności funkcji. 3. Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji: x + a) f(x) = x b) f(x) = cos x c) f(x) = tg x + ctg x x 33. Dane są funkcje: f(x) = x 9 i g(x) = x. Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji: a) f(x) g(x) b) f(x) c) (f g)(x) d) (g f)(x) g(x) 34. Zbadać parzystość i nieparzystość funkcji: a) f(x) = sin x tg x b) f(x) = 4 + 3x + x + 4 3x + x 35. Wykazać, że funkcja f(x) = x + jest rosnąca w R 36. Wykazać, że funkcja f(x) = { x dla x 0 x dla x > 0 jest malejąca w R 37. Zbadać różnowartościowość funkcji: a) f(x) = 3x b) f(x) = x x c) f(x) = x + { x dla x x 3 dla x >

4 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze Znaleźć okres podstawowy funkcji: a) f(x) = sin(x + ) b) f(x) = tg x c) f(x) = sin π x + cos π x 39. Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji: a) f(x) = 3x + b) f(x) = (x ) 3 c) f(x) = x + x 40. Naszkicować wykresy funkcji: a) f(x) = sin(x + π ) b) f(x) = (x 3) + 4 c) f(x) = cos(x π) d) f(x) = x 4 e) f(x) = x + + x f) f(x) = { x x + x x + x x < 0 g) f(x) = cos x h) f(x) = x 4 x i) f(x) = x + x x 0 Zajęcia nr 7 (h) Funkcja liniowa i kwadratowa. 4. Znaleźć wzór funkcji liniowej f, wiedząc że: a) jej wykres przecina oś Oy w punkcie o rzędnej, a miejscem zerowym funkcji f jest 4. b) jej wykres przechodzi przez punkt A(, 8) i jest równoległy do wykresu funkcji g(x) = 3x + 7 c) jej wykres jest nachylony do osi Ox pod kątem 60 i przechodzi przez punkt (, 3) 4. { Wyznaczyć funkcję liniową, taką aby dla każdego x R spełnione były warunki: f(3x) = 3f(x) a) b) f(x) = f(x) + f(x + 3) = f(x) Wyznaczyć funkcję liniową będącą funkcją nieparzystą i taką, dla której f() = Wyznaczyć funkcję liniową będącą funkcją parzystą i taką, dla której f() = Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = (m )x + 3 jest a) stała b) rosnąca c) malejąca 46. Wyznaczyć funkcję kwadratową, o której wiemy że: a) f() = f(3) = 0 i funkcja ta osiąga wartość najmniejszą równą b) f(0) = f() = 3 i funkcja ta osiąga wartość największą równą 0 c) parabola, będąca jej wykresem, przechodzi przez punkt A(, 0), a jej wierzchołek ma współrzędne (, 4) d) parabola, będąca jej wykresem, przechodzi przez punkt A(, 8) i jest styczna do osi Ox w punkcie B(4,0) 47. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji, osiąganą w przedziale, 4 a)f(x) = x 6x + 5 b)f(x) = x + 8x Znaleźć parzystą funkcję kwadratową, spełniającą warunki: f(0) = i f() = 3. Czy istnieje nieparzysta funkcja kwadratowa, spaełniająca te warunki? 49. Rozwiązać układ równań: { y = x 4 y = x + x Zajęcia nr 8 (h) Funkcja homograficzna i jej własności 50. Dana jest funkcja f(x) = 5x 6 x 3 a) Znaleźć punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych b) Naszkicować wykres tej funkcji c) Znaleźć ten argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 3

5 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze 5 5. Naszkicować wykres funkcji: a) f(x) = x + x b) f(x) = x + x d) f(x) = x 3x x 4 x e) f(x) = 9 (x + 3) x 4 x + x c) f(x) = x x + x + f) f(x) = x + x 5. Określić dziedzinę naturalną funkcji f(x) = x 4x + 4 x. Naszkicować jej wykres i podać zbiory, w 4 których jest monotoniczna. x + x Wyznaczyć dziedzinę i narysować wykres funkcji f(x) = x. Rozwiązać algebraicznie i graficznie nierówność f(x) > Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f(x) = x + 3 x 3 w przedziale:, Zajęcia nr 9 (3h) Funkcja wykładnicza i logarytmiczna. 55. Zaznaczyć w układzie ( ) współrzędnych zbiór punktów (x, y), których współrzędne spełniają: x { y a) nierówność y b) układ nierówności: x + y < 3 3 x 56. Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji a) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = x 57. Naszkicować wykresy funkcji: a) f(x) = x + b) f(x) = 3 x + c) f(x) = x+ x ( ) x d) f(x) = e) f(x) = x f) f(x) = x x 58. Rozwiązać równania: a) 5 x = ( ) x b) 3 x = 9 4 x c) = 8 x+7 ( ) 5 x d) 7 = 49 e) 3 x = f) 4 x x = 59. Dana jest funkcja f(x) = 3 x + 3 x. a) Sprawdzić, że f(x) jest parzysta b) Zbadać jej monotoniczność na przedziale 0, + ) c) Wyznaczyć najmniejszą wartość tej funkcji. 60. Rozwiązać równanie: 6 x+ 4 x+ 4x 3 3 = 0 6. Dana jest funkcja f(x) = 9 x 0 3 x + 9. Wyznaczyć: a) zbiór wartości tej funkcji b) jej miejsca zerowe. 6. Rozwiązać nierówność: 4 9 x < 4 6 x x 63. Rozwiązać równanie: 3 3x+ 3 3 x x = 3

6 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze Obliczyć: a) log b) log c) log 9 tg π 6 d) log 3 log 3 4 e) log 3 5 log 5 7 f) log log Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji: a) f(x) = log (3 x) b) f(x) = log [ log (x 5x+6)] c) f(x) = log x (3 x) 66. Naszkicować wykresy funkcji: a) f(x) = log x + b) f(x) = log ( x) c) f(x) = log 3 (x ) d) f(x) = log 3 x e) f(x) = log x f) f(x) = log ( x) 67. Rozwiązać równania: a) log (9 x ) = 3 x b) log 3(x ) = 9 c) log 3 x = 6 log3 x d) x log 0 x = 00x Zajęcia nr 0 (h) Ciąg arytmetyczny i geometryczny. Ciągi monotoniczne i ograniczone. 68. Zbadać czy podany ciąg jest ograniczony: a) a n = n n + b) a n = n c) a n = n Zbadać monotoniczność ciągów: a) a n = n + n n b) a n = n!(n)! (3n)! c) a n = n + 3 n Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 7 i jest dwa razy mniejszy od wyrazu szóstego. Wyznaczyć wyraz ogólny tego ciągu. 7. Pierwszy wyraz skończonego ciągu arytmetycznego jest równy 4, a różnica wynosi. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu wynosi 89. Obliczyć liczbę wyrazów tego ciąagu. 7. Pierwszy wyraz malejącego ciągu arytmetycznego jest równy 3, a iloczyn wyrazów czwartego i piątego jest równy 5. Obliczyć różnicę ciągu i sumę pierwszych 4 jego wyrazów. 73. Dla jakich x poniższe liczby tworzą (w podanej kolejności) ciąg geometryczny? a), x, 8 b) x, x, 5x 3 4x c) x+ + 9, x +, 74. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 6, a iloraz wyrazów dziesiątego i szóstego wynosi 6. Wiedząc, że ciąg ten nie jest monotoniczny wyznaczyć wzór na wyraz ogólny. 75. Iloraz ciągu geometrycznego jest równy 3, a suma jego pięciu początkowych wyrazów wynosi 605. Znaleźć pierwszy wyraz tego ciągu i określić monotoniczność ciągu. 76. Rozwiązać równanie albo nierówność (lewa strona jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego): a) + x + 4x +... = b) sin x + sin x + sin 3 x +... = tg x c) + x + x + x d) + log x + log x +... < e) 3 x + 3 x + 3 x +... = 3 x+ f) cos x + cos 3 x + cos 4 x... = cos x Podać wzór na n ty wyraz ciągu a n, jeżeli a) a = 5, a n+ = a n + dla n b) a = 5, a n+ = a n dla n Z +

7 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze 7 Zajęcia nr (h) Twierdzenie o trzech ciągach. Granica ciągu. 78. Dla jakich wartości parametru p ciąg 4n a n = (p )n + 5 a) ma granicę równą b) dąży do Podać wzory takich ciągów a n i b n, które są zbieżne do zera, natomiast ciąg c n = a n b n a) ma granicę równą 5 b) ma granicę równą 0 c) dąży do Znaleźć granice (przy n ) ciągów o wyrazie ogólnym a n a) a n = 6n7 n 4 + n 3 n 5 + d) a n = n4 n + + 8n 6 e) a n = g) a n = 4n 5 n 7 b) a n = n5 3n + 3n 5 c) a n = n4 + 3n n 4 n 5 4n + 5n 7 n f) a n = n + n n n h) a n = n + 6 n + n i) a n = n + 3 n 3 n + + n 8. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach policzyć granice: a) a n = n 5 n + 3 n + n b) a n = n + + n n + n c) a n = n 3 n + n 5 n + 4 n 8. Zbadać istnienie granicy ciągów: a) a n = + ( )n b) a n = n n + 3 sin πn c) a n = n + ( ) n Zajęcia nr (h) Rachunek wektorowy. 83. Dane są punkty: A(, 3), B(3, 7) i C(, 4). a) Obliczyć współrzędne wektorów AB i BA b) Obliczyć długość wektora AB c) Znaleźć taki punkt D, aby AB = CD d) Obliczyć współrzędne środka odcinka AB 84. Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Zapisać wektory AB i AD za pomocą wektorów AC i BD 85. Znaleźć współrzędne końca B wektora AB = [, 5], A(, 3). jeżeli jego początek znajduje się w punkcie 86. Dany jest wektor u = [ 3, 4]. Znaleźć wersor (wektor jednostkowy) równoległy do u o zwrocie przeciwnym do u. 87. Dane są wektory: u = [, ], v = [, ], i w = [6, 4]. Przedstawić wektor w jako kombinację liniową wektorów u i v. 88. W ABC dany jest wierzchołek A(0, 3) i środek S(3, ) boku AB oraz wektor BC = [ 7, 5]. Wyznaczyć współrzędne wektora AC. 89. Dane są wektory a = [3, ], b = [, 4]. Obliczyć a) ( a) b b) ( a b) a 90. Znaleźć A trójkąta ABC o wierzchołkach A(, ), B(3, ) i C(, ).

8 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze 8 9. Dane są wierzchołki czworokąta A(6, ), B(5, ), C(.), i D(, 4). Wykazać, że jego przekątne AC i BD są prostopadłe. 9. Dane są wektory a = [5, 4], b = [k, k + 3]. Dla jakich k wektory te są a) równoległe b) prostopadle? 93. Znaleźć długość wektora a = 3 p q, wiedząc że p =, q =, ( p, q) = π Obliczyć kąt między wektorami a i b, jeśli wektory 3 a + b i b a są prostopadłe oraz a =, b =. 95. Wektory a i b tworzą kąt π 6. Obliczyć kąt między wektorami p i q, jeżeli p = a + b, q = a b, a = 3, b =. 96. Zbadać wzajemne położenie par prostych: Zajęcia nr 3 i 4 (4h) Geometria analityczna R. a) { x = t l : y = + t { b) x = + t l : y = 3t { x = + t l : y = t { c) x = + t l : y = + t { x = + t l : y = 3 + t { x = + t l : y = + t 97. Dla jakich wartości parametru k proste 3kx y + 3 = 0 i x + 4y 3 = 0 są prostopadłe? Znaleźć równania dwusiecznych kątów między tymi prostymi. 98. Znaleźć punkt symetryczny do A(, 9) względem prostej x 3y + 8 = W trójkącie ABC dane są współrzędne wierzchołka B(0, 5) i wektory boków AB = [4, ], CB = [ 8, 7]. Znaleźć równanie wysokości opuszczonej z punktu C na bok AB. 00. Ramiona trójkąta równoramiennego mają równania 7x+y +5 = 0 i x y 3 = 0. Znaleźć równanie podstawy, przechodzącej przez punkt P (0, ). 0. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt P (, 4) i przecinającej proste 3x + y = 0 oraz x y + 4 = 0 w punktach M i N w taki sposób, że P jest środkiem odcinka MN. 0. Narysować w układzie współrzędnych zbiór: a) A = { (x, y) : x + y + x > 0 } b) A = { (x, y) : 3x + 6x + 3y + y + 4 } c) A = { (x, y) : x + y > 4 } d) A = {(x, y) : xy y + x 0} e) A = { (x, y) : 4x y } f) A = {(x, y) : xy } 03. Znaleźć równanie stycznej do okręgu x + y = 5 a) w punkcie A(, ) b) przechodzącej przez punkt B(0, 5) c) równoległej do prostej x y = 0 d) prostopadłej do prostej x y = Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach: A(, 5), B(8, ) i C(9, ). 05. Dwie wysokości trójkąta ABC, gdzie A(, 3), zawarte są w prostych o równaniach x = 0 i x + 3y = 0. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5)

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5) Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: 5 3 10 27 = 10 3 5 9. Zad.2 Wartość wyrażenia (3 1 3 27 2 3 9 1 ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia:

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym

ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki

Bardziej szczegółowo

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log )

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log ) ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr LICZBY RZECZYWISTE Zad. Wskaż liczby wymierne: 4 9 ; 7; 6; π;, 333...; 3, (); 3 5; ( ) 0 ; 7 9 ; 4, 000000...; 3 7 7 3 ; 3 3 3. Zad. Dane są liczby

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki Poziom podstawowy

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki Poziom podstawowy Matematyka- Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki. Poziom podstawowy, Maria Płażewska Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki Poziom podstawowy Spis

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY)

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY) ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY) wersja robocza - 19.03.2019 Edukacja Karol Suchoń Korepetycje, zajęcia, przygotowanie do egzaminu www.karolsuchon.pl kontakt: kontakt@karolsuchon.pl

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4 Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Przygotowanie do poprawki klasa 1li Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5

1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5 Matematyka Liceum Klasa II Zakres podstawowy Pytania egzaminacyjne 07. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: 5 A. y = B. y = 5 C. y = D. y =.. Dana jest funkcja liniowa f() = + 4. Które

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny. Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja liniowa WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES ROZSZERZONY

I. Funkcja liniowa WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES ROZSZERZONY I. Funkcja liniowa wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Funkcje elementarne. Matematyka 1 Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 2a zakres rozszerzony. I Przekształcenia wykresów funkcji

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 2a zakres rozszerzony. I Przekształcenia wykresów funkcji WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 2a zakres rozszerzony I Przekształcenia wykresów funkcji Stopień bardzo Wiadomości i umiejętności Uczeń: - zna określenie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY DRUGIEJ M. zakres rozszerzony

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY DRUGIEJ M. zakres rozszerzony WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY DRUGIEJ M. zakres rozszerzony Funkcje i ich własności. -podać przykład funkcji; -rozpoznać funkcję, wskazać jej dziedzinę i zbiór

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI Zadania zamknięte (0- pkt) Zadanie Jeżeli a = log 6 to a jest równe: 4 A. B. C. - Zadanie Warunek x ; 8 jest rozwiązaniem nierówności: A. x + 5 > B. x 5 C. x 5 x + 5 Zadanie Wskaż warunek, który opisuje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019

WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciele uczący Poziom matematyka 3e Łukasz Jurczak rozszerzony 6. Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne.

Bardziej szczegółowo

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D) FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres rozszerzony) klasa 2. 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 }

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 } Zadanie 0 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y } oraz B = { (x, y) ; x R i y R i 4x + 4y 4x 5 } Zaznacz osobno zbiór B-A ( ) Niech m N. Oznaczmy zbiory : A m = { (x,

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO PRAWDZIANÓW W KLAIE PIERWZEJ I Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Zad Dane są liczby: i y + Oblicz: a) sumę i y ; b) różnicę i y ; c) iloczyn i y ; d) iloraz i y ( usuń niewymierność

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI (zakres rozszerzony) klasa 2LO

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI (zakres rozszerzony) klasa 2LO Wymagania stawiane przed uczniem podzielone są na trzy grupy: Wymagania podstawowe (zawierają wymagania konieczne); Wymagania dopełniające (zawierają wymagania rozszerzające); Wymagania wykraczające. KRYTERIA

Bardziej szczegółowo

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń PESEL Kod ucznia Próbna matura z WSiP Marzec 07 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2 LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MARZEC 06 ODPOWIEDZI I PROPOZYCJA OCENIANIA ZAMKNIĘTE ODPOWIEDZI Nr zadania 5 Odpowiedź C D C B B ZADANIE Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ Zadanie 6 cyfra dziesiątek jedności OTWARTE

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji

Bardziej szczegółowo