Funkcje dwóch zmiennych

Transkrypt

1 Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista. Jej wykres można wyobrazić sobie w ten sposób, że każdemu punktowi płaszczyzny przypisujemy wysokość punktu wykresu nad poziomem płaszczyzny. Oczywiście wykres taki znajduje się w przestrzeni trójwymiarowej. Dziedzinę funkcji dwóch zmiennych wyznacza się analogicznie jak funkcji jednej zmiennej (tzn. trzeba zwrócić uwagę na te same powody dla których coś może wypaść z dziedziny). Różnica jest taka, że tym razem mamy do czynienia z podzbiorem płaszczyzny, a nie prostej i często dużo łatwiej jest narysować zbiór punktów z dziedziny, niż opisać ją analitycznie. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = arcsin(x + y 3) + x y. Musi być: x + y 3 czyli x + y 4 a to jest pierścień o promieniu mniejszym i większym. Musi być również: x y 0 czyli x y a to jest półpłaszczyzna poniżej prostej y = x. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 (y x) ) + 9 x y. Musi być: 4 (y x) > 0 czyli(y x) < 4 czyli y x. Jest to obszar poniżej prostej y = x + i jednocześnie powyżej prostej y = x Musi być również: 9 x y 0 czyli x + y 3 a to jest koło o promieniu 3. Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, tu także możemy zdefiniować pochodne, z których najważniejsze są pochodne cząstkowe zdefiniowane następująco: W praktyce liczenie pochodnych cząstkowych polega na potraktowaniu jednej zmiennej jako stałej i liczeniu pochodnej funkcji tylko jednej zmiennej. Pochodne drugiego rzędu Dla f(x, y) = x y + xy + y 3 mamy: f x(x, y) = 4xy + y f y(x, y) = x + x + 3y Możemy też zdefiniować pochodne drugiego rzędu (odpowiednik pochodnej funkcji jednej zmiennej): xx to pochodna po zmiennej x z f x yy to pochodna po zmiennej y z f y xy to pochodna po zmiennej y z f x yx to pochodna po zmiennej x z f y Kolejność w dwóch ostatnich wypadkach jest umowna (zależy od podręcznika), na szczęście w praktyce to bez znaczenia, bo Twierdzenie Schwarza mówi, że dla funkcji porządnych (tzn. z ciągłymi pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu) zachodzi równość pochodnych mieszanych: f xy = f yx. Dla funkcji z poprzedniego przykładu mamy: f xx(x, y) = 4y f yy(x, y) = 6y f xy(x, y) = 4x + Znajdź (narysuj) dziedzinę funkcji: x + y a) f(x, y) = b) f(x, y) = ln(x x y ) 9 x + y x y c) f(x, y) = arccos x y

2 Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji: a) f(x, y) = 3x y 3 + xy x + 3 b) f(x, y) = x + y c) f(x, y) = x y x y Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Algorytm znajdowania ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych jest następujący: ) Obliczamy pochodne cząstkowe f x, f y f x = 0 ) rozwiązujemy układ równań: f y = 0 otrzymując rozwiązania A = (x, y ),..., A n = (x n, y n ) (może być jedno, może być więcej, może nie być żadnego). Każde rozwiązanie tego układu nazywamy punktem stacjonarnym, czyli po ludzku mówiąc: punktem podejrzanym o to, że jest w nim ekstremum. Ekstrema mogą być (ale nie muszą) wyłącznie w punktach stacjonarnych. 3) Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu: f znaczy z tego, że dla porządnych funkcji jest: f xy = f xx, f xy, f yx, f czterech pochodnych). 4)Dla każdego znalezionego punktu stacjonarnego A k liczymy wyróżnik, czyli: yy (korzystamy przy tym z twierdzenia Schwarza, to yx, więc tak naprawdę wystarczy policzyć tylko trzy z tych D(x, y) = (f xy ) f xx f yy albo jak kto woli - wyznacznik hesjanu, czyli macierzy drugich pochodnych cząstkowych: det [ f xx(a k ) f xy(a k ) f xy(a k ) f yy(a k ) ] Są trzy możliwości: ˆ wyznacznik ujemny (wyróżnik dodatni) - wówczas w punkcie stacjonarnym nie ma ekstremum ˆ wyznacznik (wyróżnik) równy zero - wówczas nie wiadomo czy jest ekstremum i trzeba zbadać innymi metodami ˆ wyznacznik dodatni (wyróżnik ujemny) - wówczas jeśli f xx(a k ) > 0, to w badanym punkcie jest minimum, a jeśli f xx(a k ) < 0, to jest w nim maksimum f(x, y) = x 3 + y 3 3xy Liczymy pochodne cząstkowe: f x = 3x 3y f y = 3y 3x układ równań: 3x 3y = 0 x = y 3y 3x = 0 y = x Wstawiamy y z pierwszego równania do drugiego: x 4 = x x(x 3 ) = 0 x = 0 x = Dla x = mamy y =, a dla x = 0 mamy y = 0. Są zatem dwa punkty stacjonarne: (0, 0) i (, ). Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu: f xx = 6x f yy = 6y f xy = 3 Hesjan zatem jest postaci: [ 6x 3 3 6y ] Wstawiamy do niego najpierw punkt (0, 0) i liczymy wyznacznik: det [ 0 3 Wstawiamy teraz do niego punkt (, ): det [ ] = 7 > 0 Dodatkowo 6 > 0, więc w punkcie (, ) jest minimum. 3 0 ] = 90 f(x, y) = 4xy + x + y Oczywiście musi być x 0, y 0. Mamy: f x = 4y x f y = 4x y układ równań: 4y = 0 x y = 4x 4x = 0 x = y 4y Wstawiamy y z pierwszego równania do drugiego: x = 4x 4 4x (x 3 4 ) = 0 x = 0 x = 3 Oczywiście x = 0 odrzucamy, a dla x = 3 mamy y = 3. Otrzymaliśmy zatem jeden punkt stacjonarny: ( 3 ). Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu: f xx = f x 3 yy = f y 3 xy = 4

3 Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str 3 Wyróżnik zatem jest postaci: D(x, y) = 6 4 x 3 y 3 Wstawiamy do niego punkt ( 3 ): D ( 3 ) = 48 Dodatkowo f xx ( 3 ) = 8 > 0, więc w punkcie ( 3 ) jest minimum. Ekstrema warunkowe Ekstremum warunkowe funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0 to lokalnie największa lub najmniejsza wartość tej funkcji na zbiorze punktów spełniających ten warunek. Do wyznaczenia ekstremum warunkowego używa się metody współczynników Lagrange a. Definiujemy funkcję: F (x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) i rozwiązujemy układ równań: F x(x, y, λ) = 0 F y(x, y, λ) = 0 g(x, y) = 0 Każdy punkt spełniający ten układ równań jest punktem podejrzanym o to, że istnieje w nim lokalne ekstremum warunkowe. Sprawdzenie warunku koniecznego polega policzeniu w każdym punkcie stacjonarnym wyznacznika tzw. hesjanu obrzeżonego czyli: 0 g x g y H(x, y, λ) = det g x F xx F xy g y F yx F yy Jeśli ten wyznacznik jest dodatni, to w danym punkcie stacjonarnym jest maksimum, a jeśli ujemny to minimum. Ekstrema globalne Na szczęście nie zawsze musimy sprawdzać warunek konieczny istnienia ekstremum. Jeśli szukamy wyłącznie ekstremów globalnych (tzn. wartości największej i najmniejszej danej funkcji), to możemy skorzystać z twierdzenia Weierstrassa, które mówi, że funkcja ciągła na obszarze domkniętym i ograniczonym przyjmuje wartość największą i najmniejszą. Jeśli więc obszar na którym badamy funkcję jest właśnie taki, to wystarczy znaleźć punkty podejrzane o to, że jest w nich ekstremum lokalne, a następnie porównać wartości w tych punktach. Najmniejsza i największa z nich to właśnie ekstrema globalne. W praktyce szukanie ekstremów globalnych jest najczęściej dwuetapowe. Jeśli szukamy tych ekstremów dla funkcji f(x, y) na obszarze g(x, y) 0, to najpierw szukamy punktów stacjonarnych funkcji f leżących ściśle wewnątrz obszaru (spełniających nierówność ostrą), a następnie badamy zachowanie funkcji na brzegu obszaru (czyli wtedy gdy w warunku definiującym obszar zachodzi równość). Tę drugą czynność można zrobić na kilka sposobów: ˆ - używając mnożników Lagrange a ˆ - parametryzując brzeg obszaru ˆ - pozbywając się jednej ze zmiennych Nie zawsze można zastosować wszystkie te metody, często też w danym wypadku jedna jest wyraźnie najlepsza. Zbadać ekstrema globalne funkcji f(x, y) = x y na zbiorze x + y Zauważmy najpierw, że obszar jest domknięty i ograniczony, zatem na pewno funkcja przyjmuje na nim swoje ekstrema globalne. Szukamy najpierw ekstremów lokalnych wewnątrz obszaru: f x = 4x, f y = y, skąd widać, że jedynym punktem podejrzanym o bycie ekstremum lokalnym f jest (0, 0) i istotnie leży on ściśle wewnątrz obszaru. Mamy też f(0, 0) = 0. Musimy więc teraz zbadać zachowanie funkcji f na brzegu, czyli przy warunku x + y =. ˆ Sposób : mnożniki Lagrange a F (x, y, λ) = x y λ(x + y ) więc układ równań: 4x λx = 0 y λy = 0 x + y =

4 Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str 4 Otrzymujemy punkty stacjonarne: (, 0), (, 0), (0, ), (0, ). W dwóch pierwszych wartość funkcji to, a w dwóch ostatnich. Porównując to z ze znalezioną wcześniej wartością 0 otrzymujemy, że wartość największa naszej funkcji w danym kole to, a najmniejsza to. ˆ Sposób : parametryzacja. Parametryzacja brzegu koła, czyli okręgu, to (cos t, sin t) dla t [0, π]. Mamy więc na brzegu obszaru: f(x, y) = f(cos t, sin t) = cos t sin t = 3 cos t Oczywiście na przedziale [0, π] najmniejsza wartość tej funkcji to, a największa, więc takie są ekstrema na brzegu, a wnętrze obszaru tego nie zmienia. ˆ Sposób 3: pozbycie się jednej ze zmiennych. Jeśli x + y =, to y = x i rzecz jasna x [, ], więc: x y = 3x Na przedziale [, ] największa wartość tej funkcji to, a najmniejsza, więc wynik jest jak poprzednio Uwaga: przy badaniu ekstremów globalnych metodą mnożników Lagrange a trzeba zadbać o to by obszar na którym badamy funkcję rzeczywiście był domknięty i ograniczony. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: a) f(x, y) = 8x + y x y 3 y + b) f(x, y) = x + xy + y 4x 6y c) f(x, y) = x 3 + 3xy + xy Wyznacz ekstrema globalne funkcji: a) f(x, y) = 3xy w obszarze x + y b) f(x, y) = x 3 + y 3 9xy + 7 w obszarze 0 x, 0 y c) f(x, y) = x + 3y w obszarze x + y d) f(x, y) = y x w obszarze x + 3y 4 Różniczka zupełna Różniczką zupełną funkcji f(x, y) nazywamy wyrażenie: df = f xdx + f ydy df to przyrost wartości funkcji, a dx i dy przyrosty argumentów. Różniczka zupełna daje nam zatem informacje jak zmiana argumentów wpływa na zmianę wartości funkcji. Inną wersją tego wzoru jest przybliżenie (dla małych dx, dy): f(x + dx, y + dy) f(x, y) + f x(x, y) dx + f y(x, y) dy Pierwsza wersja służy przede wszystkim do szacowania błędu pomiaru, a druga do znajdowania przybliżonej wartości funkcji. Znaleźć błąd pomiaru przyśpieszenia w ruchu jednostajnym a = s jeśli przy pomiarach drogi i czasu wyszło s = 0m, t = s t i znamy maksymalne błędy pomiarów: 0, m dla drogi oraz 0, 0s dla czasu. Mamy: a s = a t t = 4s, czyli a t s(0, ) = 0, 5 i a t(0, ) = 0, a zatem: 3 da = 0, 5ds 0dt Jeśli chcemy oszacować maksymalny błąd pomiaru przyśpieszenia, to musimy oszacować wartość da korzystając z nierówności trójkąta i faktu, że ds 0, i dt 0, 0: da = 0, 5ds 0dt 0, 5 ds + 0 dt = 0, 5 0, + 0 0, 0 = 0, 5 Oznacza to, że zmierzona wartość a(0, ) = 0 jest obarczona błędem co najwyżej 0, 5 m s Znaleźć przybliżoną wartość wyrażenia, 03 + (, 99) 3. Niech f = x + y 3, x =, y = oraz dx = 0, 03 i dy = 0, 0. Wówczas nasze wyrażenie to f(x + dx, y + dy), zatem możemy użyć wzoru na przybliżenie. Mamy: f(x, y) = + 3 = 3 f x = x+y 3, f y = czyli:, 0 + (, 99) , 03 + ( 0, 0) =, y +y 3 f x(, ) = 6 f y(, ) =

5 Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str 5 a) Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia (.0 ) (.98 ) (.0 )+(.98 ) b) Oblicz przybliżoną wartość wyrażenie e π jeśli liczby zaokrąglamy do trzeciego miejsca po przecinku. c) Wyznacz błąd pomiaru wielkości p = 4x, jeśli x = ± 0, 0 i y = 4 ± 0, 0 x+y