Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Transkrypt

1 Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego r > 0. Liczba g jest granica właściwa funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy f(x) = g, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciagu punktów (x n ) z sasiedztwa S(x 0, r) zbieżnego do x 0 mamy: f(x n) = g. n Uwaga Jeśli zamienimy S(x 0, r)" na sąsiedztwo prawostronne x 0 S + (x 0 ) = (x 0, x 0 + r) dla pewnego r > 0-otrzymamy definicję granicy prawostronnej w funkcji f w punkcie x 0 ; granica lewostronna- podobnie... 1

2 Obrazowo: funkcja f ma w punkcie x 0 granicę właściwą g, gdy jej wartości odpowiadają argumentom dążącym do punktu x 0 (i różnym od tego punktu) dążą do liczby g. Podana przez nas definicja granicy funkcji w punkcie została sformułowana przez E. Heinego ( ). 2

3 Przykład Uzasadnic, że (2x 7) = 1. x 4 Rozwiazanie. Niech {x n } będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunki: {x n } S(4, r) dla pewnego r > 0 oraz Wtedy x n = 4. n (2x n 7) = 2 ( x n) x n x n 7 = = 1. x n 3

4 Granica właściwa w nieformalnie Obrazowo: funkcja f ma w granicę właściwą g, jeżeli jej wartości odpowiadające argumentom dążącym do dążą do granicy g. Zamiast równości x f(x) = g stosowany jest też zapis f(x) g, gdy x. Uwaga. Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w jest podobna do poprzedniej. Przykład Można pokazać, że x 5 x + 3 = 0. 4

5 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji Twierdzenie 1 (o arytmetyce granic funkcji) Jeżeli funkcje f i g maja granice właściwe w punkcie x 0, to (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x), (1) (f(x) g(x)) = f(x) g(x), (2) (cf(x)) = c f(x), c R, (3) (f(x) g(x)) = f(x) g(x), (4) f(x) g(x) = f(x) x x0 g(x), o ile g(x) 0, (5) Uwaga. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic funkcji w i w. 5

6 Przykład. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji można obliczyć: x 1 x 1 x 5 1 = 2 5. Dwie ważne granice Można pokazać, że oraz że x 0 x 0 sin x x = 1 (6) e x 1 x = 1. (7) 6

7 Asymptota pozioma Definicja 2 (asymptoty poziomej funkcji) Prosta y = b nazywamy asymptota pozioma funkcji f w wtedy i tylko wtedy, gdy: (f(x) b) = 0. x Analogicznie definiujemy asymptotę poziomą w. Przykład. Prosta y = 0 jest asymptotą poziomą funkcji wykładniczej f(x) = ( 1 x 2) w + bo: [ ( 1 ] x 2 )x 0 = 0. 7

8 Funkcje ciagłe Definicja 3 (funkcji ciagłej w punkcie) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0, r) dla pewnego r > 0. Funkcja f jest ciagła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = f(x 0 ). (8) Obrazowo: funkcja jest ciągła w punkcie, gdy jej wykres nie przerywa się w tym punkcie. 8

9 Zadanie. Korzystając z definicji Heinego funkcji uzasadnić ciągłość w punkcie x 0 = 1 funkcji: f(x) = 2x 5. Rozwiazanie. Mamy pokazać, że jeżeli n x n = x 0 = 1 to (2x n 5) = 2x 0 5 = 3 n W tym celu należy skorzystać z twierdzenia granicy iloczynu oraz różnicy ciągów. 9

10 Definicja 4 Przedziałem nazywamy zbiór postaci: (a, b),(a, b], [a, b), [a, b], gdzie a < b, lub (, a), (, a], (a, ), [a, ), (, ), gdzie a R. Uwaga. Przedziałami otwartymi będziemy nazywać zbiory postaci (a, b), (, a), (a, ), (, ) a, b R. 10

11 Funkcje ciagłe na przedziale otwartym Definicja 5 Funkcja jest ciagła na przedziale otwartym I, jeżeli jest ciagła w każdym punkcie tego zbioru. Funkcje ciagłe na przedziale domkniętym co najmniej z jednej strony Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła na przedziale [a, ) jeśli jest ciągła na przedziale otwartym (a, ) i prawostronna granica funkcji f w punkcie a jest równa f(a). itd. 11

12 Obrazowo, funkcja jest ciągłą na przedziale, gdy jej wykres można narysować bez odrywania ręki. Ćwiczenie. Uzasadnić ciągłość podanych funkcji na wskazanych przedziałach: a) f(x) = 1 x 2, [ 1, 1]; b) f(x) = 1 x 1, (1, ). 12

13 Działania na funkcjach ciagłych Twierdzenie (o ciagłości sumy, róznicy, iloczynu i ilorazu funkcji) Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0, to: 1. funkcja f + g jest ciągła w punkcie x 0 ; 2. funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0 ; 3. funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0 ; 4. funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0, o ile g(x 0 ) 0. 13

14 Twierdzenie 2 Jeżeli 1. funkcja f jest ciagła w punkcie x 0, 2. funkcja g jest ciagła w punkcie y 0 = f(x 0 ) to funkcja g f jest ciagła w punkcie x 0. Można pokazać, że funkcje wielomianowe, wykładnicze, trygonometryczne i ogólnie: wszystkie funkcje elementarne sa ciagłe. 14

15 Iloraz różnicowy Definicja 6 Niech x 0 R oraz niech funkcja f bedzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0, r), gdzie r > 0. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadajacym przyrostowi x, gdzie r < x < r, zmiennej niezależnej nazywamy liczbę f x = f(x 0 + x) f(x 0 ). x 15

16 Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty (x 0, f(x 0 )), (x 0 + x, f(x 0 + x)) do dodatniej części osi Ox. 16

17 Pochodna funkcji Definicja 7 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0, r) dla pewnego r > 0. Pochodna właściwa funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę właściwa f (x 0 ) = f(x) f(x 0 ) x x 0. Równoważna definicja pochodnej Pochodna funkcji f jest granicą ilorazu różnicowego f x gdy x 0: f (x 0 ) = x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ). x 17

18 Oznaczenia Do oznaczania pochodnej funkcji f w punkcie x 0 stosowane są także symbole df dx (x 0) lub df(x 0) dx oraz Df(x 0 ). 18

19 Przykład Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji w puncie x 0 funkcji f Obliczamy f(x) = x 2, x 0 R. f (x 0 ) = f(x) f(x 0 ) x x 0 = (x + x 0 ) = 2x 0 19