Pochodna funkcji odwrotnej

Transkrypt

1 Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie od tego, czy jest rosnąca czy malejąca). Pokażemy, że w tym przedziale funkcja też jest różniczkowalna, a przy okazji wyprowadzimy wzór na pochodną funkcji odwrotnej. Mianowicie mamy Jeśli tzn., to przy założeniu że. Przy zadanym weźmy. Mamy więc, tzn., skąd. Możemy więc traktować jako funkcję. Ze względu na ciągłość funkcji, mamy, a ponadto dla mamy, ponieważ funkcja jest różnowartościowa. Mamy więc: Przy drugiej równości powyżej korzystaliśmy z faktu, iż dla funkcji ciągłych, mamy: Jeśli, to. powyższe ma ilustrację/interpretację geometryczną. Rozpatrzmy krzywą daną równaniem. Poprowadźmy w jakimś punkcie (tu ) styczną do tej krzywej i znaczmy przez kąt utworzony przez styczną z osią, a przez kąt utworzony przez styczną z osią. Oczywiście. Wówczas czyli zgodnie z wzorem (1). Za pomocą powyższego twierdzenia policzymy pochodne kolejnych funkcji elementarnych.

2 i, ogólniej,. Weźmy ; wtedy. Mamy:, a ostatnia równość to właśnie. W ogólniejszym przypadku, bierzemy, a dla funkcji odwrotnej. Pamiętamy, że Weźmy i wtedy. Mamy:, (znak pierwiastka to plus, bo 2. ), a ostatnia równość to. Rozważania są analogiczne:, ; jedyna różnica jest w znaku, bo i dalej jak w a), z wynikiem końcowym.. Dla jest, ; stąd

3 Ekstrema funkcji. Rolle'a Maksimum i minimum Niech funkcja będzie określona w otoczeniu punktu (tzn. w jakimś przedziale otwartym, zawierającym ). Jeśli istnieje takie, że. to mówimy, że funkcja mamy nierówność: ma maksimum w punkcie. Jeśli zaś przy analogicznych założeniach to mówimy, że funkcja ma minimum w punkcie. Innymi słowy, w punkcie występuje maksimum (minimum), jeśli istnieje takie otoczenie punktu, że jest największą (najmniejszą) liczbą w zbiorze wartości, jakie funkcja przyjmuje na. Jeśli we wzorach (2) i (3) zastąpić znaki ( ) przez ( ), to mamy do czynienia z maksimum (minimum) właściwym. Przykłady Funkcja posiada minimum w punkcie ; funkcja posiada maksima w punktach, oraz minima w punktach,. funkcja posiada minimum w. Esktrema Maksima i minima obejmujemy wspólną nazwą ekstremów funkcji. Z pojęciem ekstremum ściśle jest związane (ale różne) pojęcie kresów wartości funkcji na zbiorze. Ekstrema są pojęciami lokalnymi: Aby stwierdzić, czy funkcja posiada ekstremum w danym punkcie, wystarczy znać wartości funkcji w dowolnie małym otoczeniu punktu. Natomiast wyznaczenie kresów zbioru wartości funkcji na zbiorze wymaga znajomości funkcji na całym. Z definicji maksimum wynika natychmiast Jeśli funkcja określona w przedziale osiąga kres górny w punkcie należącym do wnętrza tego przedziału (tzn. ), to funkcja posiada maksimum w. (analogicznie dla kresu dolnego i minimum).

4 Kresy Jeśli okaże się, że kres górny funkcji jest osiągany w jednym z końców przedziału (np. w ), to nie mówimy, iż w tym punkcie funkcja posiada maksimum, ponieważ funkcja nie jest określona w otoczeniu. Np. funkcja na zbiorze posiada kres górny równy 1; nie nazywamy go jednak maksimum. Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i posiada w tym punkcie ekstremum, to. Załóżmy, że posiada w punkcie maksimum (jeśli minimum, to rozumowanie jest analogiczne). Weźmy więc takie, aby dla dowolnego takiego, że, zachodziła nierówność. Dzieląc przez, otrzymujemy dla dla Ponieważ z założenia istnieje pochodna, to Z poprzednich nierówności wynika jednak, że. Musi więc być odwrotne nie zachodzi: Równość może być spełniona, mimo iż funkcja nie posiada ekstremum w. Jest tak np. dla funkcji w punkcie. Punkt krytyczny Jeśli funkcja jest różniczkowalna w i, to punkt nazywamy punktem krytycznym funkcji. Istnienie ekstremum funkcji różniczkowalnej w punkcie oznacza, że styczna do krzywej punkcie jest równoległa do osi (z możliwością, że się z tą osią pokrywa). w

5 (Rolle'a) Niech funkcja będzie ciągła w przedziale domkniętym i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału. Jeśli, to istnieje takie, że oraz. Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym [a,b] i f(a)=f(b) to istnieje taki punkt c, że dla Jeśli funkcja jest stała, to. Można wtedy wziąć dowolny i teza tw. Rolle'a będzie spełniona. Załóżmy więc, że funkcja nie jest stała; np. niech przyjmuje wartości większe od. Oznaczając przez kres górny zbioru wartości funkcji na przedziale, mamy:. Zatem, z tw. Weierstrassa, istnieje takie, że. Przy tym, ponieważ z założenia ; zatem. To znaczy, że funkcja osiąga kres górny w punkcjie położonym wewnątrz przedziału. Zgodnie z twierdzeniem niedawno udowodnionym funkcja posiada w punkcie maksimum, co z kolei implikuje (pamiętając o różniczkowalności wewnątrz przedziału), że. Rolle'a można sformułować w następujący sposób: Jeśli, to istnieje takie, że przy tych samych założeniach, tzn. funkcja ma być różniczkowalna wewnątrz przedziału (lub, jeśli ; nie zakładamy tu, że lecz jedynie że ) i ciągła w oraz.

6 Lagrange'a i Cauchy'ego (Lagrange'a) Załóżmy (podobnie jak w tw. Rolle'a), że funkcja jest ciągła w przedziale i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału. Zachodzi wówczas wzór Lagrange'a gdzie oraz. Wzór ten nazywany jest też wzorem Lagrange'a na wartość średnią, lub twierdzeniem o przyrostach skończonych. Widać, że szczególnym przypadkiem (gdy ) jest tw. Rolle'a. Okazuje się, że dowód tw. Lagrange'a można sprowadzić do tw. Rolle'a. Weźmy mianowicie funkcję i ponadto jest ciągła na i różniczkowalna w ; jej pochodna jest Ponadto, zatem spełnia założenia tw. Rolle'a. Skoro tak, to pochodna znika w pewnym punkcie między i. Możemy to wypowiedzieć tak, że istnieje takie, że czyli zachodzi wzór z tezy tw. Lagrange'a.

7 W sposób podobny, jak wzór (4) przy tw. Rolle'a, można tezę tw. Lagrange'a sformułować w następujący sposób: Dla funkcji różniczkowalnej wewnątrz przedziału i ciągłej na (to dla ; dla jest to przedział ) istnieje takie, że Wnioski wypływające z twierdzenia Lagrange'a Z tw. Lagrange'a wypływają dwa wnioski, bardzo ważne dla rachunku całkowego: Jeśli zachodzi, to funkcja w tym przedziale jest stała. Na mocy udowodnionego dopiero co wzoru (6), mamy bowiem dla każdego i :, co oznacza, że const. Jeśli zachodzi, to const. Mamy:, czyli funkcja ma pochodną równą zeru. Na mocy dopiero co udowodnionego twierdzenia znaczy to, że jest stała, tzn. const. (Cauchy'ego; (czasem z przydomkiem: O wartości średniej)) Jeśli funkcje i są ciągłe na przedziale i różniczkowalne wewnątrz oraz jeśli jest, to istnieje takie, że

8 gdzie. Przed dowodem Lagrange'a otrzymuje się z tw. Cauchy'ego, jeśli podstawić. Okazuje się, że także tw. Cauchy'ego wynika z tw. Lagrange'a, ale tu trzeba zaargumentować następująco: Weżmy funkcję (mianownik mamy Funkcja jest różny od zera ze względu na założenie, że wszędzie w przedziale i tw. Rolle'a). spełnia założenia tw. Rolle'a: Jest różniczkowalna i ciągła jak trzeba, oraz. Pochodna funkcji jest zatem (z tw. Rolle'a) istnieje takie, że. Podstawiając we wzorze (8), otrzymujemy (7). Analogicznie do sposobu, w jaki tw. Rolle'a i Lagrange'a były wyrażane wzorami (4) i (6), można tw. Cauchy'ego sformułować tak: Istnieje takie, że W powyższym wzorze jest TO SAMO w liczniku i mianowniku. Różniczkowanie funkcji złożonych Niech,, przy tym funkcja jest określona na zbiorze wartości funkcji ; ponadto niech i będą różniczkowalne, a pochodna niech będzie ciągła. Następujący wzór wyraża pochodną funkcji złożonej przez pochodne i.

9 tzn. Przy danych i weźmy, tzn.. Zastosujmy teraz wzór Lagrange'a na wartość średnią w wersji (6) do funkcji ; otrzymamy dla pewnego (pamiętajmy, że jest pewną funkcją ). Co stanie się z powyższym wyrażeniem, gdy weźmiemy jego granicę przy? Otóż ze względu na ciągłość funkcji, mamy, a ponieważ, to również. Skoro tak, to, co w połączeniu z ciągłością funkcji daje Mamy więc: Przykłady na dwa sposoby: (różniczkowanie funkcji złożonej) Udowodnimy teraz anonsowany wcześniej wzór Dow. Napiszmy w postaci: i ze wzoru na pochodną funkcji złożonej Niejednokrotnie trzeba kilkakrotnie zastosować twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Mamy np. pochodną funkcji trzykrotnie złożonej:

10 Sztuczka mnemoteczniczna Wzór powyższy można zapamiętać np. w następujący sposób: Oznaczmy:,,, oraz. Można wtedy napisać pamiętając,w jakich punktach są liczone wszystkie pochodne. W powyższym wzorze pochodne zachowują się jak ułamki. Ale UWAGA! Jest to zbieżność przypadkowa; inne pochodne (zwł. cząstkowe) już siętak nie zachowują! wzór na pochodną funkcji odwrotnej ze wzoru na pochodną funkcji złożonej: biorąc pochodną: i lub Związek między znakiem pochodnej a monotonicznością funkcji Z tw. Lagrange'a wynika następujący związek pomiędzy znakiem pochodnej a tym, czy funkcja rośnie, czy maleje. * Jeśli zachodzi nierówność, to funkcja jest w tym przedziale ściśle rosnąca. Jeśli mamy, to funkcja jest ściśle malejąca. Ze wzoru (6) mamy, dla : jeśli w przedziale pochodna jest stale dodatnia, bądź, jeśli pochodna jest stale ujemna. Czyli funkcja jest ściśle rosnąca w pierwszym przypadku, a ściśle malejąca w drugim. Jeśli założyć, że zachodzi nierówność nieostra ( ), to w tezie mamy, że funkcja jest rosnąca (malejąca). Zachodzi również twierdzenie odwrotne do powyższego:

11 Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i rośnie (maleje) w jakimś przedziale zawierającym ten punkt, to (odpowiednio ). Jeśli rośnie, to dla mamy i przechodząc do granicy otrzymujemy. Jeśli funkcja maleje, to rozumowanie jest analogiczne. Z tw. *( wynika (wynikające z tw. *) Jeśli i pochodna jest ciągła w punkcie, to funkcja jest ściśle rosnąca w pewnym otoczeniu punktu. Analogicznie: Jeśli i pochodna jest ciągła w punkcie,to funkcja jest ściśle malejąca w pewnym otoczeniu punktu. Ponieważ funkcja jest ciągła w, to nierówność mówi, że w pewnym otoczeniu punktu funkcja jest dodatnia:. Znaczy to, że pochodna jest dodatnia. Na mocy funkcja jest rosnąca w tym przedziale. Powyższe twierdzenie można przeformułować w następujący sposób: 1. Jeśli, to (przy założeniu ciągłości pochodnej) funkcja jest różnowartościowa w pewnym otoczeniu punktu, tzn. dla ( ). Skoro tak, to funkcja posiada w tym przedziale funkcję odwrotną, czyli równanie: posiada w tym przedziale dokładnie jedno rozwiązanie..

12 2. Jak wiemy, pochodna tejże funkcji odwrotnej jest odwrotnością pochodnej funkcji. 3. Powyższe fakty: Przy założeniu istnieje w otoczeniu punktu funkcja odwrotna, lub że równanie: ma dokładnie jedno rozwiązanie w otoczeniu punktu przenoszą się na wyższe wymiary, tzn. zachodzą dla odwzorowań. Oczywiście konieczne jest stosowne uogólnienie pojęć. Będzie o tym mowa w semestrze II. Wyrażenia nieoznaczone i reguła de l'hospitala Często zdarza się konieczność obliczania granic postaci następującej: Wyrażenia tego rodzaju noszą nazwę wyrażeń nieoznaczonych typu. Jeśli funkcje i są ciągłe w przedziale domkniętym i są różniczkowalne wewnątrz tego przedziału i jeśli, to przy założeniu, że ta ostatnia granica istnieje. Kluczem do dowodu jest twierdzenie Cauchy'ego o wartości średniej. Oznaczmy:. Należy dowieść, że Ale: Równości: i wzór Cauchy'ego (7) dają: dla pewnego. Oznaczmy. Z założenia istnieje. Ponieważ zaś, to też i, co za tym idzie, też istnieje i jest równe ; mamy więc

13 skąd otrzymujemy wzór (de l'hospitala). Analogiczne twierdzenie mamy w przypadku granicy lewostronnej. Wzór de l'hospitala W przypadku, gdy pochodne i są ciągłe w punkcie, a ponadto, ze wzoru (10) (plus jego odpowiednika dla granicy lewostronnej) natychmiast wynika wzór de l'hospitala: Po prawej stronie powyższego wzoru nie ma granicy! Analogiczne wzory mamy w przypadku granic jednostronnych i pochodnych jednostronnych. Przykład Jeśli zdarzy się, że po prawej stronie wyrażenia (12) mamy, to tegoż wzoru nie daje się stosować. Ale można postępować rekurencyjnie! tzn. badać wyższe pochodne. Powyższe twierdzenia dotyczyły wyrażeń typu. Przez sztuczki z zamianą zmiennych i inne, można też liczyć inne wyrażenia nieoznaczone: ; ; ; ;.