Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Transkrypt

1 Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro II, zdzislaw.otachel@up.lublin.pl materiały: zotachel/geo2i3 konsultacje: wtorek 10-12, środa Lublin, 2016/17

2 Pochodne cząstkowe Niech G R p będzie zbiorem otwartym. Rozważmy funkcję: f : G x = (x 1, x 2..., x p ) z = f (x) = f (x 1, x 2..., x p ) R. Definicja 1 Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji z = f (x) = f (x 1, x 2..., x p ) w punkcie a = (a 1, a 2,..., a p ) G względem zmiennej x i, i = 1, 2,... p nazywamy granicę: lim t 0 f (a 1, a 2,..., a i + t,..., a p ) f (a 1, a 2,..., a i,..., a p ). t Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego będziemy oznaczać: z x i, f x i, z x i, f x i, a dla zaznaczenia zależności od punktu a = (a 1, a 2,..., a p ) np.: ( ) z (a 1, a 2,..., a p ), lub f x x i (a 1, a 2,..., a p ), itp. i

3 Funkcje klasy C 1, gradient Funkcję dwóch lub więcej zmiennych określoną na podzbiorze otwartym przestrzeni euklidesowej R p nazywamy funkcją klasy C 1 na tym zbiorze, jeżeli ma ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe na tym zbiorze. Zauważmy, pochodne cząstkowe funkcji p zmiennych są funkcjami p zmiennych. Wektor utworzony z pochodnych cząstkowych funkcji f (x 1, x 2..., x p ) w punkcie a = (a 1, a 2,..., a p ) nazywać będziemy gradientem funkcji f w tym punkcie i oznaczać f (a): f (a 1, a 2,..., a p ) = [f x 1 (a), f x 2 (a),..., f x p (a)].

4 Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych Niech f : G (x, y) z = f (x, y) R i (x 0, y 0 ) G, gdzie G jest zbiorem otwartym. Funkcje z = f x (x, y 0 ) i z = f y (x 0, y) są funkcjami jednej zmiennej ( x i y, odpowiednio) o wykresach przechodzących przez punkty (x 0, f (x 0, y 0 ) i (y 0, f (x 0, y 0 ). Istnienie pochodnych czastkowych w punkcie (x 0, y 0 ), tj. f x(x 0, y 0 ) i f y (x 0, y 0 ) jest równoważne istnieniu pochodnych funkcji jednej zmiennej: dfx dx (x 0) i dfy dy (y 0). Co więcej, są one równe. A zatem, f x(x 0, y 0 ) jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej płaskiej z = f x (x, y 0 ) w punkcie x 0 do osi odciętych. Analogicznie, f y (x 0, y 0 ) jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej płaskiej z = f y (x 0, y) w punkcie y 0 do osi odciętych.

5 Obliczanie pochodnych cząstkowych u = xy 2 z 3 y sin z, u = x yz, u = z 4 (5xy 2 3yz 2 ) 2, u x = y 2 z 3 u y = 2xyz 3 sin z u z = 3xy 2 z 2 y cos z u x = yzx yz 1 u y = (ln x)x yz z u z = (ln x)x yz y u x = 2z 4 (5xy 2 3yz 2 )5y 2 u y = 2z 4 (5xy 2 3yz 2 )(10xy 3z 2 ) u z = 4z 3 (5xy 2 3yz 2 ) 2 + 2z 4 (5xy 2 3yz 2 )( 6yz),,.

6 Zbiory wypukłe w R p Niech x = (x 1, x 2,..., x p ) i y = (y 1, y 2,..., y p ) będą punktami, a v = [v 1, v 2,..., v p ] wektorem w R p. Określimy działania: x + v = (x 1 + v 1, x 2 + v 2,..., x p + v p ), y x = [y 1 x 1, y 2 x 2,..., y p x p ]. Suma punktu i wektora jest punktem, różnica punktów jest wektorem. Odcinkiem o końcach w punktach x i y nazywamy zbiór [x, y] := {x + θ(y x) : 0 θ 1}. Podzbiór przestrzeni R p nazwiemy wypukłym, jeżeli wraz z dwoma punktami do tego zbioru należy odcinek o końcach w tych punktach. Przedziały (otwarte i domknięte), kule (otwarte i domknięte), cała przestrzeń to przykłady zbiorów wypukłych.

7 Różniczkowalność i różniczka funkcji wielu zmiennych Jeżeli f jest różniczkowalna w (x 1, x 2,..., x p ), to posiada gradient f w tym punkcie (istnieją wszystkie cząstkowe pochodne) i v = f. Niech f (x) będzie funkcją określoną dla x = (x 1, x 2,..., x p ) należących do pewnego zbioru otwartego i wypukłego G R p. Dla wektora x = [ x 1, x 2,..., x p ] R p oznaczmy f (x) := f (x+ x) f (x), x, x+ x G. Definicja 2 Funkcję f nazwiemy różniczkowalną w punkcie (x 1, x 2,..., x p ) G, jeżeli istnieje taki wektor v = [v 1, v 2,..., v p ] R p, że f (x) < v, x > lim = 0. x 0 x Wtedy wyrażenie df (x) :=< v, x >= p i=1 v i x i nazywać będziemy różniczką zupełną (1-szego rzędu) funkcji f w punkcie x.

8 O przedstawianiu przyrostu funkcji Twierdzenie 1 Niech f (x) będzie funkcją klasy C 1 na pewnym zbiorze otwartym i wypukłym G i x, x+ x G. Przyrost f (x) funkcji f można przedstawić w postaci gdzie ϱ 0, gdy x 0. f =< f (x), x > +ϱ x, Dla funkcji dwóch zmiennych f (x, y) : f = f (x+ x, y+ y) f (x, y) = f x x +f y y +ϱ x 2 + y 2, gdzie ϱ 0, gdy x, y 0.

9 Różniczkowalność i różniczka funkcji wielu zmiennych - cd. Jeżeli f jest funkcją klasy C 1 na G, to wobec Def. 2 i Tw. 1: f jest różniczkowalna w każdym punkcie x G; wektor v (z Def. 2) jest gradientem f w punkcie x; różniczka zupełna ma postać: df =< f, x >= f df = p i=1 p i=1 f i x i ; f i x i ; przybliżenie jest tym lepsze im mniejszy jest x; dla funkcji f (x, y) dwóch zmiennych: f (x+ x, y+ y) f (x, y) + f x x + f y y. (1)

10 Równanie płaszczyzny stycznej z = f (x, y), (x, y) G R 2 - funkcja klasy C 1, Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji (powierzchni) {(x, y, z) : (x, y) G, z = f (x, y)} w punkcie (x 0, y 0 ) G: y f (x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ).

11 Przykład 1 Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia 2, 1 8, 05. Przyjmiemy: Mamy: Stąd: f (x, y) = xy, x = 2, y = 8, x = 0, 1; y = 0, 05. f x = 1 y 2 x, f y = 1 x 2 y. f x(2, 8) = 1, f y (2, 8) = 1 4. Korzystając ze wzoru (1) dostajemy: 1 2, 1 8, , 1 + 0, 05 = 4,

12 Różniczkowalność a ciągłość Wiadomo, że dla funkcji 1-zmiennej różniczkowalność w sensie Definicji 2 jest równoważna istnieniu pochodnej, a to z kolei pociąga ciągłość w punkcie. Dla funkcji 2-ch i więcej zmiennych istnienie pochodnych cząstkowych w punkcie nie implikuje różniczkowalności (t.j. istnienia różniczki zupełnej) ani nawet ciągłości. Natomiast istnienie różniczki zupełnej w punkcie pociąga istnienie pochodnych cząstkowych i ciągłość funkcji w tym punkcie. Oczywiście funkcja nieciągła w punkcie nie posiada różniczki zupełnej w tym punkcie, ale może posiadać pochodne cząstkowe - nieciągłe w tym punkcie.

13 Przykład 2 f (x, y) = { 1, xy = 0, 0, xy 0. f (x, y) nie jest ciągła w punkcie (0, 0) - łatwo to sprawdzić rozważając ciągi punktów (x n, y n ) = (0, 1/n) i (x n, y n) = (1/n, 1/n). Posiada pochodne cząstkowe w punkcie (0, 0): f ( x, 0) f (0, 0) 1 1 lim = lim = 0, x 0 x x 0 x f (0, y) f (0, 0) 1 1 lim = lim = 0. y 0 y y 0 y

14 Przykład 3 f (x, y) = { xy x 2 +y 2, (x, y) (0, 0), 0, x = y = 0. f (x, y) jest ciągła w punkcie (0, 0), bo xy xy = x 0, gdy (x, y) (0, 0). x 2 +y 2 y 2 Wzdłuż obu osi współrzędnych f (x, y) jest równa zero, stąd posiada pochodne cząstkowe: f x(0, 0) = 0 = f y (0, 0). Gdyby miała różniczkę zupełną w (0, 0), to df (0, 0) = f x(0, 0) x + f y (0, 0) y = 0. Mamy: f (0, 0) df (0, 0) x y lim = lim ( x, y) (0,0) ( x) 2 + ( y) 2 ( x, y) (0,0) ( x) 2 + ( y) 2. Łatwo stwierdzić, że granica ta nie istnieje. Stąd f (x, y) nie jest różniczkowalna w punkcie (0, 0).

15 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Niech f (x 1, x 2..., x p ) będzie funkcją określoną na pewnym zbiorze otwartym G R p. Definicja 3 Pochodną cząstkową rzędu k funkcji z = f (x 1, x 2..., x p ) nazywamy pochodną cząstkową (o ile istnieje) pochodnej cząstkowej rzędu k 1. Mowimy, że f jest klasy C k na zbiorze G, jeżeli ma wszystkie pochodne cząstkowe do rzędu k włącznie i są one ciągłe na G. Twierdzenie 2 (Schwarz) Jeżeli w pewnej kuli o środku w punkcie x istnieją pochodne mieszane różniące się kolejnością różniczkowania i są one ciągłe w x, to są równe.

16 Pochodne cząstkowe rzędu k funkcji z = f (x 1, x 2..., x p ) będziemy oznaczać: f (k) x α 1 1 x α x αp p lub k f x α 1 1 x α x αp p, α 1 + α α p = k gdzie α i, i = 1, 2,..., p są liczbami naturalnymi. Np. pochodne cząstkowe rzędu drugiego dla funkcji f (x, y) dwóch zmiennych: f xx = 2 f x 2, f xy = Jeżeli f jest klasy C 2, to f xy = 2 f x y, f yx = 2 f x y = 2 f y x, f yy = 2 f y 2. 2 f y x = f yx.